Аннотация. В качестве троичной математической модели предложено рассматривать равносторонний сферический треугольник. Его отличительная особенность – объемно-трехмерное воспроизведение и взаимная ортогональность сторон, которая образует безупречное триединство.

Вместо введения.

Любые явления человек сначала осмысливает и описывает, а затем превращает в понятия, в том числе подбирая новые слова или словообразования.

Античные философы видели в триаде мудрость: используя опыт прошлого, люди организуют настоящее и, как могут, предвидят будущее. Идея триады – одна из фундаментальных в большинстве культур и философий: дао–ян–инь, тезис–антитезис–синтез, отец–мать–семья и т.д.

Пифагор полагал, что закон триадичности – универсальный закон мироздания.

В Библии не используется термины троица и триединство. Их смысл богословы ищут в других словах. Часто с необоснованными допущениями и вольными интерпретациями. Почему именно так, приходится только догадываться. Что-то похожее на высказывание из известной русской сказки: пойди туда, не знаю куда, принеси то, не знаю что. Но находят и приносят...

В целом триада-троица вполне соответствует простейшей тройственной структуре познания (П): субъект П, объект П и само действо П. Процесс научного познания сначала направлен от субъекта к объекту, но затем снова возвращается и замыкается на субъекте в рефлекторной форме самосознания. И так многократно по спирали...

В религии процесс познания не имеет обратной связи, поэтому так таковой отсутствует. Поток информации однонаправлен, исключительно от субъекта к воображаемому объекту, и в основном зиждется на пророческих идеях, церковных догматах, вере. И так всё время по одному и тому же кругу...

Не случайно, слово "круг" прочно ассоциируется с циркулем, цирком и церковью, – в их однокоренной основе в переводе с иностранных языков.

Наука производит новое знание. Религия ничего не производит. Хотя, конечно, они имеют немало общего: интуиция, способы идеального отражения незримых сущностей и др.

Истоки геометрического символизма.

Общим принципом троичного символа является взаимоотношение его элементов.

Для перехода от общефилософских рассуждений непосредственно к геометрическому символизму и интерпретации троичного феномена хорошо подходит наблюдение А.Ковалева [1]: «Неделимая единица – самый древний числовой символ совершенства и цельности, то есть – бога... Его геометрическим символом является окружность с точкой в центре – первичная монада. Числовой характеристикой этого геометрического образа являлось отношение площади круга к квадрату радиуса, для которого в III тысячелетии до н.э. в Вавилоне определили, что оно равно 3... То есть число 3 становится первым скрытым символом божественного <начала>. Геометрическим символом, соответствующим этому "прозрению", становится равносторонний треугольник, вписанный в окружность, с точкой в центре».

Конечно, существование бога нельзя ни опровергнуть, ни доказать. Тем более его тройственную структуру. Особенно посредством математического символизма, включая троичные представления, которые берут начало с древних языческих времен. Тем не менее, подобный логический ход весьма полезен, взаимно обогащая науку и религию. Заметим, светское слово обогащение корреспондируется с обожествлением, хотя у них разные смысловые нагрузки. Есть и другие слова, содержащие в себе "бог": убогий, богач, обогнать и др.

Одним из неизменных устоявшихся символов тринитарной концепции является плоскостной равносторонний треугольник – минимальная плоскостная фигура, составленная из трех равных прямолинейных отрезков. Она объединяет три связанных угла и/или три связанные точки. Как знак неделимой основы, на которой можно образовать-возвести пространственную форму. Геометрическим совершенством правильного треугольника в объемном виде становится тетраэдр, состоящий из наименьшего количества пересекающихся плоскостей, формирующих четыре треугольные грани.

Справедливости ради уточним, что минимальной фигурой, содержащей углы, всё-таки является не треугольник, а двуугольник [2], образованный двумя дугами окружностей на плоскости и/или сфере.

Другой троичный знак-символ древности – три переплетенных (пересекающихся) круга.

Круг, вписанный в треугольник, символизирует единство Вселенной (круга) и св. троицы.

Собственно сам христианский термин троица пришел на замену более ранней триады и дословно означает три лица или трилица. Сравните: кириллица – буквально от лица Кирилла (не путать с епископом РПЦ). Хотя он приложил руку к созданию глаголицы. Но это отдельная тема.

Римский кардинал и крупнейший немецкий мыслитель 15 века Николай Кузанский [3, с. 83] сравнивал бога с максимальным кругом, у которого центральная точка, диаметр и окружность тождественны в силу единственности максимума.

Треугольник хорошо воспроизводит тройственность, включая богословскую троицу. Он содержит три угла, которые сосуществуют одновременно и неотделимы друг от друга. Вершины треугольника символизируют ипостаси, а стороны – отношения между ними.

Одна беда: внутренние углы равны 60 градусов. Хотя в математике признаком совершенности-идеальности принято считать перпендикулярность или ортогональность (прямой, правильный угол). Наподобие ортогонального базиса, составленного из попарно ортогональных векторов в n-мерном евклидовом или бесконечно-мерном гильбертовом пространстве.

Подобную попытку предпринимал ещё академик Раушенбах [4]. Его математический объект – это обычный вектор с тремя ортогональными составляющими. Хотя его модель невнятна [5], ибо для трех ортогональных единичных векторов суммарный вектор равняется √3. Кроме того, модель – не тринитарная, а тетрарная. Для того чтобы уйти от квадратного корня из трех, необходимо исходить не из ортогональной декартовой системы, а другой – такой, чтобы сумма трех единичных векторов равнялась четвертому единичному вектору.

Троично-числовой символизм.

Простую числовую форму 1 + 2 = 3 можно интерпретировать как два статических начала, которые образуют третью сущность. Вместе они пребывают в динамике. Например, число 3 символизирует прошлое-настоящее-будущее, рождение-жизнь-смерть, тезис-антитезис-синтез и другие трехфазовые циклические последовательности состояний.

Существуют и другие тройственно-числовые структуры. Так, Геннадий Скакодуб (Украина, Черкассы) поделился любопытной информацией: если число 341421356237309 разделить на 241421356237309, то получим отличное приближение корня из двух √2 ≈ 1,41421356237309...

В трех числах легко увидеть необычное единение одинаковых цифр, воссоздающих необычную числовую троицу-триаду.

Хотя всё довольно просто: делим 2 + √2 на 1 + √2 и получаем точно √2.

Следовательно, упомянутую тройку чисел можно продолжить сколь угодно до бесконечности, сохраняя последовательность цифр в корне из двух.

Вместо двойки можно принять и любое другое положительное число n по общей схеме, вытекающей из очевидного тождества: (n + √n) / (1 + √n) = √n.

Например, для n = 5 получаем: 7,236067977.. / 3,236067977.. = 2,236067977..

То есть числа различаются между собой только целой частью и содержат абсолютно одинаковые цифры после запятой.

Равносторонний сферический треугольник.

Анализируя платоновский "Темей", Юнг подчеркивал умозрительность и абстрактность триадных построений на плоскости, включая треугольные, которые не позволяют достичь осязаемой реальности окружающего мира в его объемности [1].

Однако кроме обычного плоскостного треугольника существуют иные похожие формы. Достаточно перейти-погрузиться в трехмерное пространство, в котором изначальное единство "трех" составляет привычную для нас тройку пространственных измерений.

Сферическим треугольником называется фигура или часть поверхности сферы, образованная тремя дугами окружностей больших кругов (часть плоскости, которая проходит через центр сферы), которые взаимно пересекаются и попарно соединяют три точки.

Угол между пересекающимися окружностями равен углу между касательными к этим окружностям в точке их пересечения.

Стороны сферического треугольника обычно измеряются дуговой мерой, так как не зависят от радиуса сферы. Численно они равны плоским углам при центре сферы, образованным соответствующими радиусами сферы. Сумма сторон сферического треугольника всегда меньше 2π или 360 градусов.

Любой прямоугольный сферический треугольник, в котором, по меньшей мере, один угол равен 90°, полностью определяется двумя элементами. Остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера, обоснованного с использованием звездчатого пятиугольника, который К. Гаусс назвал "замечательной пентаграммой".

Для нас представляет интерес правильный сферический треугольник с тремя прямыми углами или автополярный треугольник [6, с. 532]. Его уникальная особенность состоит в том, что взаимно ортогональные стороны образуют безупречное триединство.

Если разделить поверхность сферы тремя взаимно перпендикулярными большими кругами, то на поверхности получим восемь равносторонних сферических треугольников – октантов, стороны которых равны четверти большой окружности.

Например, на поверхности земли два меридиана, образующие угол 90 градусов, и экватор ограничивают равносторонний сферический треугольник, все три угла которого прямые [7, с. 238]. Для его сторон выполняется равенство a² + b² = 2c². Запись напоминает теорему Пифагора на плоскости, хотя, по сути, сильно отличается.

Пусть два человека решили пойти от Северного полюса на юг вдоль разных направлений-меридианов, составляющих друг с другом угол 90 градусов. Свой путь они завершают на экваторе.

Две его стороны – это половинки соответствующих меридианов, а третья сторона – это "четвертинка" экватора. Меридианы пересекают экватор под прямым углом. То есть в таком треугольнике наличествует три прямых угла. Их сумма равна 270 градусов. В рассматриваемом треугольнике есть прямой угол (даже целых три), значит он прямоугольный. Все его стороны равны, следовательно, он равносторонний.

Сумма углов равна 3/2•π, периметр – 3•2πr/4 = 3/2•πr. Для единичного радиуса r = 1 сумма углов и периметр численно совпадают.

Площадь поверхности сферы равна учетверенной площади большого круга S = 4πr².

Тогда площадь правильного сферического треугольника равна половине площади большого круга S = 0,5·πr². При r = 1 получаем S = 2/π ≈ 1,570.

Примечательно, что 8 равносторонних сферических треугольников образуют сферу, а 8 обычных правильных треугольника формируют октаэдр – один из пяти выпуклых правильных многогранников (платоновых тел).

Золотые проблески.

Чтобы образовать единичную площадь S = 1, необходимо выбрать r = √(2/ π) ≈ 0,798.

Напомним значения золотых констант: Ф = (1 + √5)/2 ≈ 1,618 и √ф = √Ф^–1 ≈ 0,786.

В некотором смысле имеем приближенную золотую модель.

К слову, само деление отрезка золотым сечением можно рассматривать как треугольник, сложившийся в линию. При этом можно проследить переход от равностороннего треугольника к его вырожденному варианту с золотой пропорцией, которая выступает здесь границей пропорциональности. – От отношения 1 до отношения 1,618. Далее треугольник "рассыпается". Но в целом просматривается своеобразная динамика. Треугольник, символизирующий триаду, как бы "дышит" между своими крайними значениями – отношениями длин сторон: 1 и Ф.

Математическая константа π геометрически выражает отношение периметра окружности к её диаметру и является иррациональным трансцендентным числом. Его цифровое представление – бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Иногда утверждают о фундаментальном родстве золотой пропорции с числом пи. В частности, увязывая с формальной формулой [8, с. 125] Ф = 2 cos π/5.

Хотя понятно, что о функциональной связи Ф(π) здесь говорить не приходится [9], ибо число π играет роль условного искусственно-договорного заменителя развернутого угла.

Общность у них одна: и то и другое выражает отношение. Золотая константа Ф характеризует пропорциональное отношение связанных величин, число π – отношение длины окружности к её диаметру.

Можно также говорить о приближенных формулах типа π·√Ф ≈ 4, π/12 ≈ Ф²/10 и др.

Размышлизмы.

Простая модель троичности, содержащая единичные монады, образуется перемножением единиц: 1 x 1 x 1 = 1 или 1 x 1 = 1. Здесь "единое" строго равно каждой из его составляющих. Подобные модели-имитации троичности рассматривались в наших работах [5, 10, 11].

Представляется, что треугольная тема в троице-триаде себя также не исчерпала. Так, в роли приемлемого кандидата удачно подходит равносторонний сферический треугольник. Причем не любой, а с прямыми углами.

Что нам дают прямые углы? – Каждая из сторон треугольника перпендикулярна (ортогональна) двум другим сторонам. Несмотря на их равенство, тем самым подчеркивает их различие в положении. Точно так, как и отличие лиц в троице. Четыре таких треугольников на полусфере полностью покрывают её поверхность без зазоров и пересечений.

Важно отметить, что свойства сферических и плоскостных треугольников во многом отличны. Так, к известным трем случаям равенства плоских прямолинейных треугольников добавляется еще и четвертый: два сферических треугольника равны, если равны соответственно три угла. В евклидовой геометрии такие треугольники являются подобными. На сфере подобных треугольников не существует. Более того, в сферической геометрии нет самого понятия подобия, так как отсутствуют преобразования, изменяющие все расстояния в одинаковое число раз, не равное 1. Любое преобразование подобия является изометрическим, то есть коэффициент подобия всегда равен единице. Поэтому в сферической геометрии нет неравных подобных фигур.

Что нам это дает? – На плоскости можно построить несчетное множество не равных (но подобных) равносторонних треугольников. И все они одинаково воспроизводят-отражают идею троичности.

На конкретной сфере можно построить единственный сферический треугольник с конкретными параметрами. Его местоположение на сфере не столь важно. В этом контексте он имеет исключительное значение, как совершенная модель троичности. Хотя бы в силу своей уникальности.

На плоскости тоже можно построить равносторонний круговой треугольник с прямыми углами. Он образуется дугами трех окружностей одинакового радиуса r, центры которых отстоят друг от друга на расстоянии r·√2. Построение не вызывает затруднений и начинается с вычерчивания квадрата со стороной, равной r. Его противоположные вершины – центры двух искомых окружностей. Центр третьей окружности располагается в вершине равностороннего треугольника с длиной стороны r·√2.

Одна особенность: для плоскостных круговых треугольников сохраняется принцип подобия. Поэтому они отражают не столько "застывший" символ-образ в его статическом проявлении, сколько воспроизведение триады в её динамике. Но об этом в следующий раз....

Литература:

1. Ковалев А.Н. Исторические и психологические истоки догмата о Троице и божественная пропорция // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.24788, 17.09.2018. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0226/002a/02261311.htm.

2. Василенко С.Л. Золотые двуугольники, египетский треугольник и модель всевидящего ока // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.22038, 25.04.2016. – URL: trinitas.ru/rus/000/a0000001.htm.

3. Николай Кузанский. Соч. в 2-х т. Т. 1. – М.: Мысль, 1979. – 488 с.

4. Раушенбах Б.В. Логика троичности // Вопросы философии.– 1993. – № 3. – С. 63–70. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0017/001a/00170000.htm.

5. Василенко С.Л. Формальные модели-имитации троичности // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23876, 25.10.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0226/002a/02261285.htm.

6. Маркушевич А.И., Хинчин А.Я., Александров П.С. Книга 4. Геометрия. Энциклопедия элементарной математики. – М.: Физмалит, 1963. – с. 532.

7. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. 2-е изд., испр. и доп. – М.: Педагогика, 1989. – 352 с.

8. Шумихин С., Шумихина А. Число Пи. История длиною в 4000 лет. – М.: Эксмо, 2011. – 192 с.

9. Василенко С.Л. Базовые соотношения между фундаментальными константами // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.17327, 20.02.2012. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161934.htm.

10. Василенко С.Л. Формальные неединичные конструкции троичной структуризации // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.17606, 04.08.2012. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0226/002a/02261113.htm.

11. Василенко С.Л. Формальные модели-имитации троичности // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23876, 25.10.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0226/002a/02261285.htm.