|
|
С.Л. Василенко
Гениальные люди – это метеоры,
призванные сгореть, дабы озарить свой век.
Наполеон Бонапарт
Известный немецкий историк математики Мориц Кантор (1829–1920) как-то сравнил итальянского математика Фибоначчи с блестящим метеором, промелькнувшим на темном фоне западноевропейского средневековья.
Чего только стоит его знаменитая "кроличья" последовательность из целых положительных чисел Fn+1 = Fn + Fn–1, описанная в "Liber abaci", которая где-то в необозримой бесконечности (n → ∞) приводит к константе золотой пропорции:
Ф = lim Fn+1 / Fn = (1 + √5)/2 ≈ 1,618.
Наиболее вероятно, что данное свойство открыл выдающийся немецкий астроном Иоганн Кеплер в 1611 г.
Десять и одиннадцать.
В драматической поэме "Валленштейн" немецкого поэта-драматурга Ф. Шиллера астролог Сени высказывал любопытную мысль [1, с. 105]:
Одиннадцать! Недоброе число.
Двенадцать надо, – так, как в зодиаке,
В нем пять и семь – священных два числа.
<Хочу спросить: одиннадцать чем плохо?>
Одиннадцать греховно, ибо выше,
Чем десять божьих заповедей.
Действительно, число 10 соотносится с суммой первых четырех натуральных чисел или тетрактисом – мистически-священным символом пифагорейцев: 1 + 2 + 3 + 4 = 10, пальцами на руках и ногах, заповедями Господними – Декалогом и т.д.
Но и число 11 – тоже "не лыком шито", как говорили на Руси. Без средневековых суеверий.
Это число Бога кубика Рубика 2×2×2 и японского тетраэдра (пирамидки Мефферта).
Существует ровно 11 разверток обычного шестигранного куба. И так далее.
Числам Фибоначчи присуща очень красивая закономерность, связанная с числом 11:
сумма любых десяти последовательных чисел Фибоначчи
всегда равна седьмому из этих чисел, умноженному на одиннадцать.
Указанное свойство сравнительно несложно доказывается методом математической индукции на основе известного тождества [2, с. 15] Fn+m = Fn–1 ·Fm + Fn ·Fm+1 и делимости на 11 чисел F10 = 55 и F9 – 1 = 33.
Квадратичные свойства.
Французский математик Эдуард Люка (1842–1891) впервые нашел формулы [3], которые связывают числа Фибоначчи через суммы или разности квадратов соответственно для нечетных 2n+1 и четных 2n номеров (индексов):
F2n+1 = Fn+12 + Fn2, F2n = Fn+12 – Fn–12.
Эта пара формул, в частности, подробно рассмотрена в статье [4] через матричное представление чисел. Хотя, к сожалению, в ссылках на литературу не упоминается её первооткрыватель – Люка.
Данные выражения легко объединяются в одну формулу для любого натурального индекса k, как четного, так и нечетного:
Fk = Ff (s)2 – (–1)k Ff (t)2,
где f – математическая функция выделения целой части числа trunc(·) или округления числа в меньшую сторону floor(·) до ближайшего целого; s = (k+2)/2, t = (k–1)/2.
Простой анализ формул показывает, что они напрямую связаны с теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами a, b и гипотенузой c:
(a, b, c)1 = ( Fn , Fn+1 , √F2n+1);
(a, b, c)2 = ( Fn–1 , √F2n , Fn+1).
Таким образом, любое (!) число Фибоначчи свободно "монтируется" катетом в прямоугольный треугольник. При этом численное значение второго катета или гипотенузы равно квадратному корню из другого числа Фибоначчи.
Пифагоровы тройки в виде упорядоченного набора натуральных чисел удается получить только на основе алгебраических выражений, содержащих числа Фибоначчи:
(a, b, c) = ( Fn· Fn+3, 2Fn+1·Fn+2, Fn+12+ Fn+22 ).
Причем данная закономерность справедлива не только для классических чисел Фибоначчи, но и для двучленно-аддитивной рекурсии xn = xn–1 + xn–2 с произвольными неотрицательными начальными условиями [5].
Единственным точным квадратом среди чисел Фибоначчи является число F12 = 144 = 122, не считая первых тривиальных 0, 1, 1.
Поэтому на основе чисел Фибоначчи удается образовать единственную примитивную пифагорову тройку [5]: (a, b, c)2 = (5, 12, 13) при n = 6.
Пусть одна (!), но всё-таки получается!
Впрочем, как и "золотая" константа Ф. – Мал золотник, да дорог...
A little body often harbours a great soul.
Литература:
- Шиллер Ф. Валленштейн. – М.: Наука, 1980. – 592 с.
- Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. 4-е изд., доп. – М.: Наука, 1978. – 144 с.
- Lucas E. Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques // American J. of Mathem. – Vol 1 (1878), pages 184-240, 289-321.
- Якушко С.И. Квадраты чисел ряда Фибоначчи // Вестник Сумского гос. ун-та. Сер. «Физика, математика, механика». – 2008. – № 1. – С. 190-194 / АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.14938, 08.12.2008. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321094.htm.
- Василенко С.Л. Бинарная связь теоремы Пифагора и последовательностей Фибоначчи // АТ. – М.: Эл № 77-6567, публ.24326, 06.03.2018. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163643.htm.
С.Л. Василенко, Наброски к числам Фибоначчи // «Академия Тринитаризма», М.,
 |