|
Очевидность умаляется доказательствами
Марк Туллий Цицерон.
Теория числовых последовательностей Фибоначчи изучена, с позволения сказать, вдоль и поперек. Уровень обобщения достиг небывалых высот. Придумать что-либо ещё более значимое весьма не просто. Многие научные труды вышли на такие широкие просторы, где от классических чисел Фибоначчи с их простейшим алгоритмом образования-формирования остаются лишь отдаленные воспоминания.
Тем не менее, их притягательно-магическая сила настолько велика, что исследователь, однажды попавший под их влияние, "прилипает" надолго. Конечно, труднее всего начинающим авторам. Они часто отыскивают для себя нечто необычное, но де-факто просто "переоткрывают" уже известные сведения. Не можем назвать это бесполезным или ненужным делом. Иногда азбучно-очевидные вещи способны вскрывать неожиданные идеи, завязки и повороты, позволяющие взглянуть на хорошо изученный объект с новых сторон.
Так, в последнее время на страницах АТ опубликованы две объемистые работы [1, 2]. Пленяет и восхищает титанический труд, проделанный автором при составлении большого количества числовых таблиц. Однако, на наш взгляд, не хватило самой малости: небольшого анализа предшествующих публикаций и обобщения результатов путем их математических записей-представлений. Попробуем всё немного упорядочить и привести к одному знаменателю, придерживаясь авторской нумерации...
1) Работа [1].
№ 1–4. Повторяющаяся последовательность конечных чисел в классической последовательности Фибоначчи.
Автором фактически продемонстрирована периодическая последовательность чисел Фибоначчи по модулю m = 10:
an = Fn (mod 10).
То есть в числах Фибоначчи Fn последняя цифра (нулевой разрядности) при m = 10 образует периодическую последовательность с периодом T = 60. К слову, данную закономерность впервые отмечал еще Лагранж в 1774 г. [3, с. 105].
Вариации на данную тему мы находим в работах [4, 5] для разных величин модулей m и соответствующих периодов T. Подробное описание также представлено в нашей статье [6].
№ 5. Построение 100 последовательностей на основе первой пары чисел.
Можно построить миллиарды подобных последовательностей в зависимости от принятой пары начальных условий, причем любых: целых, действительных, трансцендентных, мнимых и т.д. Главным здесь являются не начальные значения, а сам принцип формирования чисел по двучленно-аддитивной рекуррентной формуле.
Иначе говоря, любая пара чисел, "запряженная" в двухчленно-аддитивную рекурсию (с единичными коэффициентами), всегда в пределе приводит к отношению соседних элементов, равному константе золотого сечения Ф ≈ 1,618.
Более того, в аддитивной последовательности допустимо добавлять всевозможные функциональные зависимости An, и модель по-прежнему будет иметь золотой аттрактор [7], – главное, чтобы эти слагаемые после некоторого значения n возрастали не быстрее, чем Фn.
Даже если, например An = n1000, то ряд fn = fn–1 + fn–2 + An всё равно сходится к золотому аттрактору, поскольку со временем (n > 20650) выполняется неравенство n·ln Ф > 1000· ln n.
Но если положить An = 2n > Фn, то золотоносность "сбивается" и новым аттрактором становится 2. При An = 1,6n < Фn золотоносность сохраняется.
№ 6. Другие способы построения последовательностей с «золотым константой» путем сложения последовательностей между собой, их умножения и вычитания.
Описанные способы вытекают непосредственно из работы [7].
№ 7. Включить произвольное число в последовательность с «золотой пропорцией».
В нашей работе [8] доказана теорема, что любому натуральному числу n соответствует одно рациональное "золотое" сечение. Там же описан простой алгоритм, который позволяет для заданного натурального числа восстановить последовательность Фибоначчи на основе аддитивного цикла обратного хода к начальным числам, меньшим, чем n.
№ 8. Необычный метод построения новых последовательностей с «золотой константой» – «складывание последовательностей ступенькой».
Ничего принципиально нового "ступеньки" не привносят, поскольку алгоритм построения последовательностей аналогичен № 6.
№ 9. Возведение последовательностей Фибоначчи в квадрат.
Возведение последовательностей Фибоначчи в любую степень s > 1 автоматически приводит к аттрактору ФS.
№ 10. Образование других числовых констант.
Сдвиг в числовых последовательностях также приводит к аттрактору ФS. То есть отношение Gn / Gn–s стремится к ФS.
№ 11. Фрактальный принцип "матрешки" в построении чисел.
В основе составления авторских таблиц лежит известная формула:
Gn = Lm · Gn–m – (–1)m · Gn–2m,
Она следует из [9, с. 7] LmGn = Gn+m + (–1)mGn–m при замене индекса n → n – m.
Здесь Gn – аддитивно-двучленная последовательность Фибоначчи с произвольными начальными условиями (положительными и отрицательными целыми, вещественными, мнимыми, трансцендентными), Lm – числа Люка 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47... Частному случаю автора соответствуют кортежи из пятерок m = 5 и L5 = 11. Хотя с таким же успехом можно разбивать на любые группы из m последовательных элементов.
Но всё-таки лучше и более отчетливо формула смотрится в виде
Lm = [Gn+m + (–1)mGn–m] / Gn.
Для любого n в произвольной последовательности Фибоначчи Gn тройка чисел с центром n и двумя "крыльями" m (в две стороны) дает число Люка Lm. В этом смысле числа Люка Lm воспринимаются воистину божественными, обладая свойством триединства (триадичности) и удивительным образом объединяя тройки-кортежи чисел Gn–m, Gn, Gn+m.
Примечательно также, числа Люка содержат первые четыре натуральных числа.
2) Работа [2] основана на очевидном тождестве, которое следует из известной формулы для разности квадратов:
(2k)2 – (k + n)2 = (k – n)·(3k + n).
Аналогично для элементов последовательности Фибоначчи имеем:
Gn+12 – Gn2 = (Gn+1 – Gn)·(Gn+1 + Gn) = Gn–1·Gn+2.
Добавим точно такие формы для меньших индексов:
Gn2 – Gn–12 = Gn–2·Gn+1,
Gn–12 – Gn–22 = Gn–3·Gn ...
Суммируя данные равенства, можно выразить квадрат числа через сумму соответствующих произведений (G0 = 0). Собственно и всё...
Подводя итог, отметим, что г-жа Э. Хельмдах в своих выводах [1, 2] не претендует на абсолютную новизну результатов или их всеобщность. Она непритязательно описывает отдельные закономерности в последовательностях Фибоначчи, которые скрупулезно демонстрирует на частных примерах в виде таблично-числовых форм, и тем самым дает повод-посыл к их последующему осмыслению иными выразительными средствами.
Во всяком случае, подобная подача материала смотрится правдивее, чем имитационная практика отдельных ученых с непомерной гиперболизацией несущественных результатов и наукообразием в виде тиражирования "мыльных" теорем либо заведомо известных знаний без проведения собственного анализа, о чём мы высказывались ранее, например, в статьях [10, 11].
Perspicuitas argumentatione elevatur...
Литература: