Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Дискуссии - Наука

С.Л. Василенко
Дуализм модели золотой пропорции

Oб авторе

Найти точку опоры в дуальном мире
– воистину большая удача


Вступление. Данная работа в некоторой мере является продолжением исследований о дуализме в золотоносной тематике [1], в частности, теоремы Пифагора и золотого сечения (ЗС) – «двух сокровищ геометрии» (И. Кеплер).

Центральным понятием по-прежнему выступает дуализм (dualis двойственный), как сопоставление двух взаимовлияющих позиций-принципов или относительно независимых и слабо сводимых друг к другу начал. Только теперь уже в поле проявления самого ЗС.

Обычно целое состоит из частей. Реальных, физических или воображаемых.

Выделяемые элементы-фрагменты в общем случае не равны друг другу и могут корреспондироваться между собой в разных отношениях. Целостность, как одна из понятийных единиц, чаще всего осознается через гармонию, красоту, эстетику. В то время как рациональный «рассудок увлечен одной непротиворечивостью и, не достигая полноты (по Гёделю), проходит мимо целого» [2].

В современной литературе широкое распространение получила модель золотого сечения. Меньше как достоверная описательная структура и больше – в виде предполагаемых, чаще умозрительно-бездоказательных и/или слабо обоснованных приложений. За исключением живой природы, где золотая пропорция с высокой долей вероятностью встроена геномом в живые объекты.

Первые упоминания о "золотой" модели насчитывают несколько тысячелетий. Она была предметом изучения ещё древних ученых – больших виртуозов составлять калейдоскопы разных пропорций и находить их решения. Как отмечал А.Ф. Лосев, «с точки зрения всей античной космологии, мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления – золотого сечения» [3, с. 241].

Вместе с тем онтологические истоки золотой пропорции мало кого интересуют и поныне. Разве что авторы ограничиваются обрывочными описаниями немногочисленных исторических событий, пытаясь одновременно как-то "засветить" собственные выкладки на золотистом фоне. Но даже это способствует безусловному накоплению количества до "точки кипения", активизируя появление в науке обновленного качества...


Не поминайте "золото" всуе. Редкостные математические особенности золотой пропорции в последнее время невольно породили проявления мифической составляющей и элементов спекулятивной фетишизации. Последующее голословное возвеличивание золотоносного феномена привело к необоснованному порождению «обобщенных золотых сечений». Следуя логике их прародителей (А.П. Стахов, Г.Б. Аракелян, Э.М. Сороко и др.), на такие "обобщения" могут претендовать все структурные формы, описываемые алгебраическим уравнением общего вида n-го порядка. Подобные обобщения имеют мало общего с реальностью, порождая алогичное клонирование-тиражирование золотой пропорции.

"Золотой" феномен настолько прост и одновременно значителен, внушителен, что не нуждается ни в каком дополнительном обобщении. Наоборот, он должен навечно занять заслуженный по праву пьедестал, как уникальная структура пропорционального соотнесения целого и его аддитивных частей.

Если хочется как-то выделиться и поупражняться в математике сечений (пропорций), то придумывайте, вводите собственную терминологию, типа "металлических сечений", степенных триномов и др. Но не употребляйте "золотое" слово всуе.

Так же как и число π, золотая константа единственная, и обобщению не подлежит!!


Очевидность золотой конструкции. Всевозможных теоретических делений целого насчитывается бесконечное множество. Отсюда непроизвольно возникает ощущение некоего магического возникновения-рождения золотого сечения.

Между тем всё просто. Достаточно рассмотреть золотую пропорцию, как сугубо математическое понятие со всеми вытекающими последствиями, включая абстрактность идеальных форм. Проанализировав всевозможные варианты-комбинации составления математической пропорции [4] с целым 1 и его аддитивными частями a + b = 1, можно легко убедиться, что золотая пропорция единственная в своем классе. Не считая явное разбиение пополам 1:a = 1:b. То есть модель золотого сечения совершенно естественна и элементарна в своем образовании. Непредвзятая оценка золотоносной модели показывает [5], что по своему происхождению перед нами рядовая математическая конструкция, как заурядное пропорциональное деление целого на две части.

Выполненный нами полный перебор (перечисление) допустимых вариантов, как математическое доказательство и стадия окончательной строгости решения, имеет фундаментальный статус. Он обосновывает безальтернативное происхождение золотой пропорции, в которой фокусируются простейшие свойства пропорционального единения целого и его частей. Других вариантов просто нет. Зеркальное деление пополам не в счет, в силу своего априорного присутствия-происхождения симметричного типа.

Главный посыл заключается в полученной данности общезначимого утверждения, которое приобрело смысл азбучного факта: ЗС – это явная и очевидная модель. Можно сказать, банальная пропорция или «фигура из трёх», проще которой уже не бывает.

Но простота – не слабость. Именно в этом заключается феномен ЗС...


Сила – в простоте. Природа гармонична и рациональна в своем строительстве.

Однажды запущенная программа обустройства космоса работает надежно и без видимых сбоев.

Опытные разработчики программного обеспечения хорошо знают основное правило "первого шага" – найти простое и одновременное эффективное решение. Именно простое решение становится воистину красивым и действительно работающим. В чём и состоит его сила, через отказ от всего лишнего.

Всё гениальное – просто! И так во всём... O sancta simplicitas! – О, святая простота!

Золотая пропорция не может быть наилучшей, оптимальной или первейшей среди равных. Де-факто она одна. Почти по определению. В выбранном классе отношений её просто не с чем сравнивать. В этом контексте она уникальная, единственная и реальная математическая диковинка природы. Как точка равновесия в отношениях целого с его частями и самих частей.

Если в глобальном проявлении окружающий мир упорядочен пропорциональными структурами, то велика вероятность, что в его основе лежит именно модель золотого сечения. Тогда пропорция с основанием константы золотого сечения становится неким универсальным кодом Вселенной. При этом деление живых клеток пополам синтезирует организмы, а золотая пропорция выступает в роли структурирующей подосновы.


А была ли девочка – гармония? Золотая пропорция единственно возможная в подмножестве элементов {a + b , a, b } и связывает-уравнивает отношения целого и его двух аддитивных частей. Приписываемая ей гармония, как эталон красоты, здесь совершенно не причем. Хотя глаз и может улавливать равенство отношений.

Но гармония, как согласованность и единение, имеет место быть!

Золотая пропорция обособленно одна не столько в своих свойствах, сколько в исходно-априорном построении. Исконно, изначально. Естественно, натурально, без какого-либо налета таинственности и/или выдуманных привязок к эстетике.

Эстетическая категория гармонии выглядит здесь как идиома "сбоку бантик". Равно как и религиозный образ "божественной пропорции" Луки Пачоли.

Изучая математическую пропорцию, особенно в её геометрическом толковании-отображении, просто невозможно не спотыкаться через золотоносный аналог – единственно возможный прообраз в заданном классе.

В этой связи, по крайне мере, наивно выглядит наносное затуманивание налетом древности, который искусственно привносится отдельными исследователями в их преподнесении золотого сечения, как «важнейшего математического открытия античной науки в области гармонии». Гармония здесь вообще ни причем, ибо в те далекие времена она означала музыкальный строй и никак не увязывалась с моделью ЗС. Да и важность события лишена естественности, поскольку золотая пропорция выявляется очевиднейшей математической конструкцией, – на фоне трех десятков различных пропорциональных сравнений древности, включая разнообразные средние.

В выбранном классе объектов золотой инвариант – единственный! Среди простых ассиметричных пропорций золотое сечение безальтернативно. Никакой сложности получения. Никакой магии-таинственности. В плане пропорций, которыми в совершенстве владели древние ученые, золотая пропорция – элементарная и явственная форма на фоне многих других пропорциональных структур.

Именно в этом состоит её непревзойденная сила.


Модель В.Ю. Татура самоидентификации объектов. Рассматривая проблематику целостных объектов (систем) в мироздании, В.Ю. Татур отмечает [6]: «Два объекта могут сравниться либо, имея третий объект в качестве общей меры, либо имея меру самого себя», которая «должна иметь общий характер... Поскольку не всегда для сравнения двух есть третий объект, то самоизмерение есть первичный общий момент движения всех объектов».

Исходным действом он выделяет акт самоотражения, после которого любое целое на каждом иерархическом уровне движется в размеренном целом, а для процесса самоизмерения (по своей выработанной мере без внешних измерителей) выделяет три априорных непротиворечивых положения:

1. Самоизмерение объекта соотносится с собственным внутренним пространством, без внешнего окружения для своей идентификации.

2. Объект для самоизмерения должен выработать меру себя внутри себя.

3. Он должен "знать", что измеряет себя, то есть создать подобие себя внутри себя.

Отсюда возникают первые требования к самоизмерению: выделенная внутренняя часть для измерения должна быть подобна целому; другая часть целого должна быть мерой этого подобия.

Если часть целого – мера для подобия, то далее следует определить меру для самого целого. Проследим дальнейший ход рассуждений [6].

«После первого акта отображения мы имеем целое и две его части: подобие целого и мера для подобия. Одна мера, в самом начале движения, не может быть и для целого, и для его подобия, поскольку их тогда нельзя будет сравнивать и утверждать об их подобии... Но целое также должно быть размерено. Это означает, что подобие целого должно стать мерой этого целого. Тогда, если <условно> положить целое равным 1, должно выполняться равенство: 1 / хм = хп / хмп = хп / (1 – хп), где хм – размер подобия как мера для целого; хмп – размер меры для подобия; хп – размер подобия как подобия».

В такой интеорпретации объект одновременно выполняет функции подобия и меры.

Таким образом, имеем в модели: хмп + хп = 1, хм = хп = х, 1 – х = х2,

Отсюда следует золотое отношение х = ф ≈ 0,618, как результат самоизмерения топологического объекта, включая обычный геометрический отрезок.»

Общая направленность идеи нам понятна. Она добротна. Глубоко продумана. Сдается, появилась как попытка формализованной реализации-представления тринитарного подхода в терминологии подобия и меры. Конечно, возникают некоторые трудности в интерпретации терминов: "подобие как мера для целого", "мера для подобия", "подобие как подобие". Здесь не всё так очевидно, и требует дополнительной проработки, что отчасти уже нашло отражение в последующей работе [7].


"Золотая" модель изнутри. Попытаемся всё это трансформировать в несколько иных категориальных формах. Для этого нам нужно как минимум две составляющие, позволяющие их аддитивно объединить в нечто целое, условно принятое за единицу.

Прежде всего, это самоидентификация части в целом. В единицах измерения (меры) самого целого. Так сказать, внутренняя самооценка. По принципу "я есть". Или в терминологии В.Ю. Татура «подобие как подобие».

Часть занимает свою область, нишу (пространство). Имеет место также свободная от этой части область, ниша (пространство). Формально мы не делим целое на две части. Но умозрительно выделяем из него некоторое поле.

Далее идет идентификация этой части по отношению к остальному окружению в составе целого. Иначе говоря, отклонение данной части от целого. В той же самой мере.

Попытаемся перевести на язык геометрической пропорции.

"Внутренняя сцепка" или взаимно обусловленная связь отношений в целом:

1 / х = х / (1 – х).

Здесь целое 1 так относится к части х, как она к своему отклонению от целого (1 – х).

По формальным правилам обращения с пропорциями имеем

(1 + х) / 1 = 1 / х или 1 + х / 1 = 1 / х,

где 1 / х – величина обратная к х.

Последнее равенство отвечает принципу минимума: единственный вид золотой пропорции с двукратным наличием аргумента x. Здесь уже имеет место "внешняя сцепка" или "интервенция" собственной меры во внешнее окружение. – Модель роста.

Иначе говоря, осуществляется выход целого вовне. Но не всем своим содержанием. А только некоторой частью x относительно единичного целого. – Для сцепки, скрепы.

Видимо, отсюда возникает мем (греч. μίμημα подобие) "духовных скреп", как единицы культурной информации. Мемы подобны репликаторам (лат. replicatio возобновление, повторение) или объектам, копирующим сами себя для размножения.

Целое вбрасывает-продуцирует вовне свою наиболее представительную показательную часть, которая является его репликатором и выступает не просто частью, но "полномочным" представителем этого целого.

При этом оставшаяся часть полностью идентифицирует целое. Как своеобразный ген. Либо "вещь в себе" (по Канту) или объект в собственной скорлупе.

Сопоставляя «курицу с яйцом» здесь два пути. Остаться в своей оболочке и, образно говоря, превратиться в суп, яичницу. Либо выйти "цыпленком" во внешнее окружение.

В общем случае целое, конечно, больше формальной суммы своих частей.

Не буквально арифметически. Но за счет дополнительных отношений между частями. – Не в этом сейчас суть. Главное, что разделенные части (включая гипотетическое разделение на части при анализе системы) образуют отношение. Между собой и целым. Оно может быть скрытым. Как некая внутренняя точка опоры-сопряжения. Либо своего рода центр (полюс) динамического взаимодействия. Эта "болевая" точка крайне чувствительна и восприимчива к внешним воздействиям-проявлениям.

Итак, сгруппируем наши действия (манипуляции) воедино:

1) Первичным является целое с выделенной в нём частью x. Вторую часть или сумму остальных частей выделять не нужно. Она определяется отклонением выделенной части от целого. Иначе говоря, есть сама часть и её отклонение.

2) Далее активизируется принцип отношений между частью и целым. Объектов для сравнения-сопоставления всего три: целое 1, часть x, и отклонение части от целого (1 – x).

3) Затем подключается принцип равенства (взаимодействия, эквивалентности) отношений. На языке математики это означает составление математической пропорции.

Простой перебор возможных комбинаций-сочетаний показывает, что имеют место только две возможные пропорции:

деление пополам 1 / x = 1 / (1 – x) → x = 1/2;

золотая пропорция 1 / x = x / (1 – x) → x = ф ≈ 0,618.

Таким образом, если исходные предпосылки-условия 1–3 соблюдены или принимаются, то золотая пропорция получается как безальтернативный и закономерный итог ассиметричной самоидентификации части в целом.

Понятно, математическая пропорция – не самоцель. А средство формализованного сопоставления отношений посредством их арифметического уравнивания.


Сопоставление подходов. Вернемся к категориальным признакам В.Ю. Татура.

Сравним их с нашей моделью «выделения части в целом» в виде таблицы.


Категории
(признаки)

Обозначения

1

x

1 – x

Мера – подобие

Целое

Подобие как мера
Подобие как подобие

Мера подобия

Часть – отклонение

Целое

Часть

Отклонение части от целого

Здесь прослеживается ряд дуальный связей-сопоставлений.

Прежде всего, любая представительная часть x целого выступает в роли подобия или некоего сходства-родства с целым. Это вполне допустимо. А во многих случаях естественно. Как ветка на дереве.

Кроме того, часть одновременно выполняет две смежные функции:

– часть становится мерой ("линейкой") подобия так, что посредством неё целое становится соизмеримым со своими частями;

– часть становится подобием самого подобия-сопоставления так, что порождается подобие-отражение целого и его частей друг в друге и через них самих.

Тем самым образуется устойчивая система подобия-саморепликации с порождением собственной внутренней меры.

Возможно, изложение-осмысление несколько усложнено. Но общая канва, надеемся, понятна. При желании она может дополнительно развиваться и расширяться.

Методологически В.Ю. Татур идет в своих рассуждениях от общего к частному. – С использованием категориальных признаков меры и подобия.

Мы шли от частного к общему. – С применением принципа выделения и сопоставления части с целым и оставшейся частью или набором частей.

Точка встречи-соприкосновения оказалась общей – золотая пропорция и золотая константа. Как проявление одинаковой энергетики противоположных сторон дуального схождения индивидуальных форм-подходов.

В итоге сама золотая пропорция стала объединяющим началом таких важных характеристик как целое и часть, мера и подобие.

Именно такая связующая линия интуитивно присутствует во многих моделях "золотоискателей", а также древних и современных философов. Каждый из них выделяет свой сектор видения предмета и выкристаллизовывает собственное понимание. Один – через сопоставление целого и частей. Другой – путем эквивалентного подобия. Третий – в виде метрического соизмерения. Так или иначе, но золотая (непрерывная, геометрическая) пропорция дает нам путеводную линию в осмыслении-описании «гармонично-целостной архитектоники мироустройства» [2].


Вместо заключения. Нам понятны устремления многих исследователей внести свой вклад в развитие "золотоносной" проблематики. И что греха таить, часто с искусственным внедрением золотого феномена во всё и вся. В том смысле, что золотые константы часто фигурируют в сравнениях различных величин, но без должного обоснования. Как некие "хотелки". Отсюда известна понятийная девальвация, которая доходит до числовой казуистики. Начиная от географического расположения архипелагов, и заканчивая жонглированием планетами солнечной системы или экономическими показателями.

Неслучайно Наполеон любил повторять: от великого до смешного – один шаг. Или ближе к первоисточнику – французскому писателю Ж.Ф. Мармонтелю (1787): «Вообще смешное соприкасается с великим». – Можно сказать, в полном согласии-соответствии с сопряжением частей в "золотой" модели. Чего больше в золотой пропорции, смешного или великого, покажет время и будущая история...


Литература:

  1. Василенко С.Л. Дуализм «двух сокровищ геометрии»: теоремы Пифагора и золотого сечения // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23021, 03.02.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163206.htm.
  2. Быстров М.В., Двойственная природа математики // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23981, 21.11.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163512.htm.
  3. Лосев А.Ф. Дерзание духа. – М.: Политиздат, 1989. – 366 с.
  4. Василенко С.Л. Пропорциональное деление целого // Математ. и историч. исслед. гармонии и красоты в природе и искусстве. – 28.10.2013. – artmatlab.ru/articles.php?id=108&sm=2 / Научно-техн. б-ка SciTecLibrary. – 24.11.2013. – sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/13179.html.
  5. Василенко С.Л. Целочисленные основания золотого сечения в геометрических образах и очевидность его конструкции // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23935, 09.11.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163486.htm.
  6. Татур В.Ю. Целое: самоизмерение и самоподобие // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22825, 15.12.2016. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163162.htm.
  7. Костюченко C.В., Татур В.Ю. К Божественной природе числа Фидия // АТ. – М.: Эл № 77-6567, публ.23829, 14.10.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163446.htm.

С.Л. Василенко, Дуализм модели золотой пропорции // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.23987, 23.11.2017

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru