Мир не укладывается в жесткие рамки логики,
и жизнь постоянно дарует нам сюрпризы.
Если всё идеально, жди подвоха...

Настоящая заметка соотносится с недавней публикацией уважаемого профессора А. Стахова «Обобщенная формула Кассини...» на страницах АТ (публ. 23932, 08.11.2017), которая попала в поле нашего зрения в связи с ранее обсуждавшейся проблематикой математических обобщений. Работа связана с историко-математическими аспектами последовательностей Фибоначчи на примере одного простейшего тождества.

Несмотря на узко-тематический вектор, выбранное направление исследований чрезвычайно важно для последующего синтеза в рамках общефилософских суждений.

Однако новая информация, к сожалению, не прозвучала. Кроме того, по нашему мнению, она содержит некоторые погрешности, на которые нелишне обратить внимание.

В порядке дискуссии позволим себе краткие высказывания уточняющего характера.

Сначала несколько слов о формулах и тождествах...

В математике и прикладных науках формула представляет собой символьную запись некоторого высказывания виде комбинации знаков. Этим она отличается от геометрических выразительных средств-способов: чертежей, графиков, диаграмм и т.п.

Формулы алгебры высказываний подразделяют на выполнимые, тождественно истинные (тавтологии), тождественно ложные (противоречия), опровержимые.

Например, запись 2×2 = 5 – есть формула (!), имеющая значение "ложь".

Буквенно-численные формулы также различаются терминологически: уравнения, приближенные уравнения, неравенства, тождества и др.

Так, тождество – равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных. Или суждение, верное при любых допустимых значениях переменных: тождество Эйлера e^iπ + 1 = 0, связывающее пять фундаментальных математических констант, основное тригонометрическое тождество (Пифагора) sin²α + cos²α = 1 и др.

Небезынтересные тождества имеют числа Фибоначчи. Профессор утверждает, «что эти математические объекты были также увлечением Иоганна Кеплера, современника Кассини. Кассини первым обратил внимание на ... закономерность, связывающую соседние числа Фибоначчи». – Скорее наоборот. И. Кеплер (1571–1630) – математик по призванию, известный многими математическими исследованиями и результатами. Для итальянского астронома Дж. Кассини (1625–1712) математика была ближе к увлечению.

Да и современниками их трудно назвать, ибо жили в разное время.

Одно из тождеств по числам Фибоначчи впервые упоминал Кеплер в своем письме (1608), а впервые опубликовал Кассини (1680): F_n–1·F_n+1 – F_n² = (–1)ⁿ [1, п. 1.2.8].

Данную запись лучше и точнее называть тождеством (identities) [2; 3; 4, с. 126] –тождественно верным равенством <двух частей>, которое выполняется на всём множестве значений входящих в него чисел Фибоначчи. Данный термин акцентирует-фокусирует внимание на идеально-абсолютной конструкции равенства! – Чрезвычайно важный посыл.

Тождество Кассини увязывает три последовательных элемента так, что квадрат любого числа отличается от произведения своих ближайших соседей попеременно на ±1.

Оно является прекрасным дополнением к исходной рекуррентно-аддитивной форме F_n+1 = F_n + F_n–1 и переносит нас в область мультипликативных свойств, когда между собой корреспондируются произведения: F_n–1·F_n+1 и F_n·F_n. Прекрасная тройная индексация!

По мере увеличения параметра n, практически с любой точностью выполняется геометрическая пропорция F_n+1/F_n ≈ F_n/F_n–1, которая наряду с суммой чисел становится предтечей "золотой" модели.

Профессор утверждает: «до сих пор считалось, что "формуле Кассини" удовлетворяет только одна рекуррентная числовая последовательность – числа Фибоначчи. Докажем, что это не так». – Кем это считалось, непонятно. В принципе, давно известное положение.

Пол века назад (!) известный австралийский математик А. Хорадам определил [5, 6] обобщенные числа Фибоначчи в виде линейной рекурсии второго порядка

w_n = w_n(a, b; p, q) = p·w_n–1 – q·w_n–2,

где начальные значения a = w₀, b = w₁ и коэффициенты p, q являются целыми числами.

Он же обобщил упомянутое тождество Кассини до уровня, который одновременно охватывает три пары вариабельных целочисленных параметров [6, с. 173]:

• коэффициенты p, q характеристического квадратного уравнения x² = px – q;
• произвольные начальные условия w₀, w₁;
• интервальные индексы r, t

w_n–r·w_n+r+t – w_n·w_n+t = e·q^n–r·u_r–1·u_r+t–1,

где u_n = w_n(0, 1; p, q), e = p·a·b – q·a² – b².

Индекс r характеризует удаленность "соседей" от центра зеркальной симметрии n, индекс t вносит дополнительную асимметрию.

На первый взгляд данное равенство чрезмерно перегружено символами и выглядит не так эффектно, как тождество Кассини. – Обманчивое восприятие и обычная плата за сложность из-за шести переменных. Зато оно с лихвой покрывает и охватывает многие расширения модели, отражая-задавая высокую планку математического обобщения: по коэффициентам, начальным условиям, индексам элементов числовых рядов.

При w₀ = 0, w₁ = 1, p = 1, q = –1, r = 1, t = 0 образуется частный случай – тождество Кассини для чисел Фибоначчи. Если p ≠ 1, то выходим на "λ-числа Фибоначчи" в терминологии профессора (λ = p), скрупулезно доказывающего с его слов «далеко не тривиальный математический результат». Который в действительности был установлен более 50 лет назад и находится в свободном доступе Fibonacci Association (URL: fq.math.ca).

Ограничившись обобщением по интервальному индексу удаленности r, приходим к тождеству, которое определил (1753) бельгийский математик Ш. Каталан – один из лучших геометров 18 века: F_n² – F_n–r·F_n+r = (–1)^n+r· F_r². И так далее...

Данное направление получило развитие в последующих работах, например [7–11].

Если в этой области пытаться что-то обобщать и/или предлагать новые доказательные линии (формы), включая метод математической индукции, – то хотя бы не ниже уровня квадратного уравнения общего вида x² = px – q. Но никак его частного случая x² = px – 1.

А далее можно исследовать и обсуждать интересуемые упрощенные варианты.

Так, приведенному (с единичным коэффициентом при старшей степени) квадратному уравнению общего вида x² = px – q соответствует рекуррентная форма u_n = p·u_n–1 – q·u_n–2. Начальные условия (u₀, u₁) = (0, 1) образуют семейство последовательностей Люка или (p-q)-последовательностей Фибоначчи.

Явная формула для нахождения членов последовательности [11]: u_n = (θⁿ – qⁿ ·θ^–n) / √d, где параметр θ – максимальный по модулю корень квадратного уравнения, d = p² – 4q.

Ограничимся традиционными начальными условиями (a, b) = (0, 1), а также индексами r = 1, t = 0. Начальные элементы такого ряда равны: 0, 1, p, p² – q ...

Проверим справедливость тождества u²_n – u_n–1·u_n+1 = q^n–1 для отдельных значений n:

n = 1 → 1² – 0·p = q ⁰,

n = 2 → p² – 1·(p² – q) = q ¹...

Пусть для некоторого значения n верно равенство u²_n – u_n–1·u_n+1 = q^n–1.

Докажем его справедливость и для n+1, то есть u²_n+1 – u_n·u_n+2 = qⁿ.

Запишем цепочку преобразований левой части доказуемого равенства:

u²_n+1 – u_n·u_n+2 = u²_n+1 – u_n(p·f_n+1 – q·f_n) = u²_n+1 – p·u_n·u_n+1 + q·u²_n =

= u²_n+1 – p·u_n u_n+1 + q·(u_n–1·u_n+1 + q^n–1) = u_n+1(u_n+1 – p·u_n + q·u_n–1) + qⁿ = u_n+1·0 + qⁿ = qⁿ,

что и требовалось доказать методом индукции.

Отметим одно важное отличие: на значения параметров p, q не накладывались никакие ограничения, поэтому они могут быть любыми, включая действительные и мнимые числа!

Верность тождества вполне естественна и для q = –1. При этом в зависимости от числового коэффициента p образуется бесчисленное множество числовых рядов. Не только целочисленных! Профессор полагает, что «существование во множестве целых чисел бесконечного количества целочисленных последовательностей, обладающих таким уникальным свойством, является сюрпризом для многих экспертов в области теории чисел». – Как видно из работ А. Хорадама и других авторов, неожиданный "сюрприз" не получается. Тем более для специалистов по теории чисел. Но сама история развития тождества Кассини весьма показательна и представляет несомненный интерес.

В целом девять страниц текста упомянутой вначале статьи, на наш взгляд, не привносят толику новых знаний. Приведенные в ней сведения давно общеизвестны, а собственные исследования или какой-либо анализ не проводился. Думаем, что в профессиональном плане работа пока не удалась. Либо получилась совсем не так, как задумывалась автором. Бывает-случается. Vel sapientissimus errare potest...

Главное, что устойчиво продолжает пульсировать вектор исследований, который позволяет объединить такие разные и одновременно близкие сферы мышления, как гармония и математика. В их взаимном обогащении и стремлении к глубокому обновлению парадигмы развития человечества, включая изменение исконно-революционного вопроса «Что делать?» на изначально-эволюционную проблематику «Как быть?».

Любые другие иллюзии имеют стеклянный потолок...

Если это так, то мы когерентны с умонастроениями профессора А. Стахова.

Литература:

1. Кнут Д. Искусство программирования: Пер. с англ. Т 1. Основные алгоритмы. – 3-е изд. – М.: ИД "Вильямс", 2002. – 720 с.
2. Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел: Сборник задач для математических школ. – М.: МЦНМО, 2002. – 264 с.
3. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики: Пер. с англ. – М.: Мир, 1998.– 703 с.
4. Левитин А.В. Алгоритмы. Введение в разработку и анализ: Пер с англ. – М.: ИД "Вильямс", 2006. – 576 с.
5. Horadam A.F. Generating Functions for Powers of a Certain Generalized Sequence of Numbers // Duke Math. J. – 2.3 (1965), 437-446.
6. Horadam A.F. Basic properties of a certain generalized sequence of numbers // Fibonacci Quarterly. – 3:3 (1965), 161-176. – URL: fq.math.ca/3-3.html.
7. Haukkanen P., Rutkowski J. On generating functions for powers of recurrence sequences // Fibonacci Quarterly. – 29.4 (1991), 329–332. – URL: fq.math.ca/29-4.htm.
8. Haukkanen P. A note on Horadam’s sequence // Fibonacci Quarterly. – 40.4 (2002), 358–361. – URL: fq.math.ca/40-4.html.
9. Mansour T. A formula for the generating functions of powers of Horadam’s sequence // Australasian J. of Combinatorics. – 30 (2004), 207–212. – URL: ajc.maths.uq.edu.au/pdf/30/ajc_v30_p207.pdf.
10. Howard F.T. The Sum of the Squares of Two Generalized Fibonacci Numbers // Fibonacci Quarterly, 41.1 (2003), 80–84.
11. Василенко С.Л. К обобщению тождества Кассини // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 17463, 16.05.2012. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161958.htm.