Актуальность проблемы научного подхода к гармонизации отношений современной цивилизации в системе координат «природа–общество–человек» обусловлена ростом отношений дисгармонии жизненно важных сфер бытия в нынешних условиях. Включая духовность человека.

Разлад в этих областях в конечном итоге грозит существованию земной цивилизации. Энергетика техносферы достигла потенциала природных стихий. Человеческий фактор стал играть ведущую роль в формировании отношений в ноосферной гармонии. Разумеется, анализ этих отношений должен базироваться на строго выверенных научных началах.

Любое теоретическое исследование выстраивается с использованием методологии и логического аппарата вполне определенных философских и математических методов. Например, в философии методы метафизики отличаются от диалектики. Методы геометрии не похожи на методы алгебры. Выводы ученых на их базе также часто разнятся.

Принято считать, что в реальном мире всё существует и проявляется гармонично (слаженно, согласованно) в своих взаимодействующих противоположностях.

Данный принцип бытия присущ и самой гармонии в широком смысле этого слова.

Исторически сложилось так, что этому принципу, его проявлению и применению, особенно в математике, ученые уделяли недостаточное внимание.

Данный пробел был частично восполнен исследователями только в конце ХХ века.

И как часто бывало в истории при разрешении тех или иных проблем, не обошлось без крайностей, в том числе, в познании гармонии средствами математики. Одно из отличительных событий связано с появлением некоей "математики гармонии" (МГ).

Нам глубоко импонирует объединение смысловых конструкций, за которыми стоят математика и гармония. Последователи этого направления почувствовали тонкие вибрации новой волны в познании мира. Пожалуй, именно гармония способна стать объединяющим началом третьего тысячелетия в истории человечества. С математикой разговор особый.

Одновременно накладываются и определенные граничные условия, устанавливающие высокую планку ответственности за адекватное отражение вызовов времени. Но всё равно это посильная задача с ясной жизнеутверждающей целью. Тревожит иное: легковесность, когда, не успев по настоящему оформиться, МГ претендует на роль "спасителя" для формализованного описании бытия, чему особенно вредят отдельные хвалебные оды. Хотя речь идет лишь о робких попытках сформировать основы учения о гармонии систем.

Мы не собираемся персонифицировать данный лингвистический объект.

Также не ставим под сомнение результаты конкретных исследований, которые вольно или невольно уже попали под МГ-вывеску или вышли под её логотипом. Речь идет исключительно о смыслах, значениях, предмете, объекте и прочих качественных атрибутах, которые могут описывать и представлять возможные инварианты словесного МГ-образа с явной философской окраской, что пока слабо корреспондируется как с отдельно взятой математикой, так и с обособленной гармонией.

Попытаемся непредвзято разобраться в уровнях разработки МГ, разведя сущностные понятия категорий гармонии и математики по разные стороны баррикад, чтобы потом опять их свести вместе, но уже в одно унисонно-слаженное звучание.

Данная статья преследует цель дать краткое изложение сути различия мировоззренческих и методологических начал к применению исследования гармонии и математических основ её моделирования.

Исходные положения. В статье [1], посвященной геометрическим образам и закономерностям гармонии, высказаны некоторые соображения о лингвистической и научной обоснованности МГ-словосочетания. Данный вопрос многоплановый, в некоторой мере дискуссионный, но в любом случае требует развернутого представления, поскольку он может стать основой для корректировки парадигмы в естествознании. Здесь важно с самого начала корректно очертить поле и правильно расставить вешки, чтобы не уйти в дебри или не заблудиться в трех соснах.

В качестве отправной примем точку зрения, что «различия вполне могут существовать, но только на основе общих убеждений… как базис коммуникации и понимания» [2]. Чтобы разуметь друг друга, сначала нужно принять некие общие представления о мироздании независимо от того, правильные ли они у каждого из нас в отдельности или нет. Иначе в процессе взаимного общения мы будем невольно искажать смыслы слов оппонента и заранее считать, что он явно ошибается, не находя почвы для взаимопонимания.

Такой основой вполне может служить, прежде всего, общее осмысление и признание того, что существует два неких, пока будем говорить отдельных мира (области, сферы): мир гармонии реальной действительности и мир математики, как идеальной действительности.

Многовековое развитие человеческой мысли дает основание так утверждать.

Здесь не столь важно сразу пытаться выяснять до конца подлинный смысл этих двух разных, а может быть, и не очень разных сфер. Важно принять за основу рабочую гипотезу их наличия и ограничиться неким набором базовых характеристик, приемлемых для дальнейшего взаимного общения. Оно и понятно, ведь ни математику, ни гармонию мы сегодня не сможем облечь в некие униформы, дав им всеобъемлющие универсальные дефиниции. Хотя на обывательском уровне всё выглядит донельзя просто.

Следующий этап – поиск линий возможного взаимного соприкосновения и пересечения математики и гармонии. Это чрезвычайно важный момент в философско-методологическом аспекте. Он позволяет выйти к общему пониманию вопроса на предмет их сопоставления и дополнения. Как раз тут рождаются разные словесно-смысловые сложноподчиненные конструкции, как-то: гармония математики, гармоничная математика, математика в гармонии, математические начала (основания) гармонии и т.д.

Но именно здесь, дабы не засорять "научный эфир" терминологией сомнительного толка, необходимо формирование и принятие приемлемых правил селекции, когда «принимаемые в качестве истинных предложения – лингвистические представления убеждений – детерминируют значения входящих в них слов» [2], а согласованное восприятие картины мира создает общий и понятный язык коммуникаций.

Уместными становятся слова: «Сегодня зарождающаяся наука о гармонии напоминает лоскутное одеяло, где специалисты из разных областей "пришивают" каждый свой кусок. Это не критика, ибо понятно, что даже такое разношерстное "одеяло" – достижение современной мысли. Но далее уродливость положения будет сказываться всё более» [3].

Гармония… Попытки осмысления и количественного описания гармонии содержат:

• ранние идеи пифагорейцев о выражении пространственного соотношения космических сфер посредством числовых соотношений музыкальной октавы;
• более поздние искусы "поверить алгеброй гармонию" /A. Пушкин о Сальери/, математическое исчисление перспективы в живописи, эталонирование скульптур и др.

Мы не будем глубоко исследовать данную понятийную сущность. Это тема отдельного исследования. Но некоторые соображения стоит озвучить и проанализировать.

Гармония обычно связывается с соразмерностью, соответствием целого и частей. Так она воспринимается в эстетике, в художественных объектах. Сопоставимость целого и частей, а потом уже ощущение красоты – главный вопрос гармонии во многих предметных областях. Такой позиции придерживался русский философ А. Лосев, чьё определение приводится в Большой советской энциклопедии [4, с. 128]: «Гармония – соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее проявление внутренняя упорядоченность и мера бытия».

В переводе с греческого языка гармония принимает разные оттенки, такие как связь, порядок и строй, лад и слаженность, соразмерность и стройность, вообще взаимное соответствие чего-либо. Лосевский смысл гармонии (греч. harmonia связь, стройность, соразмерность) в словарях дополняется древнегреческим пониманием организованности космоса, – в противоположность хаосу. Хотя, на наш взгляд, гармония не полна без своей условной половинки в виде организованного беспорядка или детерминированного хаоса.

В философии [5] гармония – это установка или базовая ценность культуры (!) в её широком понимании, которая ориентируется на осмысление мироздания и человека с позиций их внутренней (глубинной) упорядоченности. В измерениях аксиологии она конституируется уже не столько в качестве скалярной (поддержание), сколько в качестве векторной (достижение) аксиологической структуры.

Гармония в философии [6] – это и состояние многого как единого целого, характеризующее слаженность членов сложных совокупностей, ансамблей, коллективов, участников единого действия в некотором фиксированном отношении. Гармония – есть приведенные к одному и тому же единству различия, противоречия или ограниченное до некоего узлового значения разнообразие в структурной организации объекта. Внутренне непротиворечивое состояние в гармонизации не нуждается.

Любопытно представление гармонии [7] через её характерные признаки:

• согласованность, связанность, единство всех элементов гармоничной системы;
• единство и борьба противоположных начал, контрасты;
• мера, пропорциональность и равновесие;
• ясность, легкость восприятия;
• уместность, соответствие, природосообразность;
• прекрасное, возвышенное, совершенство.

Словарь Даля определяет гармонию как соответствие и созвучие, соразмерность, равновесие, взаимность, соотношение и согласие, стройность; соразмерное (правильное) отношение частей целого.

А вот Гегель смещает акценты с количества на качество: «Гармония представляет собой соотношение качественных различий, взятых в их совокупности и вытекающих из сущности самой вещи» [8, с. 149]. Не ограничиваясь только соразмерностью, В. Татур дает боле широкое толкование [9]: «Гармония не просто принцип соразмерности частей в целом, это способ существования трансфинитного, бесконечного в финитном, конечном».

Существуют и другие частные определения гармонии, как правило, в областях музыки, живописи, архитектуры, социологии, политики и т.д.

Что же общего и не противоречивого в основных определениях? – Этимология слова.

Они указывают на то, что гармония есть некая внутренняя упорядоченность присущая целому. Большинство из них подчеркивают, что гармонии присущ атрибут меры.

И только «Новейший философский словарь» определяет гармонию как установку культуры и мировоззренческую категорию бытия. Именно в этом, на наш взгляд, ценность и жизненный смысл познания мер гармонии в многообразных областях человеческой жизни.

Если "полагание" заменить "мерой", то получим довольно приемлемое утверждение: гармония – установка культуры, ориентирующая на осмысление мироздания (в целом, его фрагментов) и человека с позиции меры и их глубинной внутренней упорядоченности.

Особо можно выделить такой атрибут гармонии как симметрия или неизменность при каких-либо преобразованиях. Симметрия, в частности, связывается с представлениями о гармонии и эстетическом совершенстве форм, начиная с эстетики Древней Греции.

В своих работах П. Сергиенко описывает гармонию на основе субстанциального принципа бытия в понимании целого и его частей: в мире нет такого целого, которое не являлось бы в том же смысле одновременно частью другого целого; всякая часть всегда одновременно обладает свойствами целого и в качестве такового познается.

Единому бытию, как целостному процессу развивающегося пространства (субстанции), присущи два противоположных воззрения: принцип изменения и принцип сохранения субстанции. Они, в свою очередь, порождают гармонию изменения и сохранения целого, где его частями являются данные субстанциальные принципы. Гармония, таким образом, является объединяющей и управляющей субстанцией в целом. Она проявляется как следствие количественных отношений мер целого и его противоположностей.

Дуализм гармонии и дисгармоничности. «В европейской философии понятие гармонии выступает в качестве категориального выражения сущностной внутренней связи внешне альтернативных начал» [5]. Гармония складывается не иначе, как общий контур обнимает отдельные члены (Леонардо да Винчи). Но если в классической европейской культуре нормой служила исключительно гармония, то для модернизма в качестве нормы она мыслится уже дуальной, с её оборотной стороной в виде дисгармоничности.

Следуя Гегелю (см. выше), мы даже усилили бы изложенные им позиции, связанные с соразмерностью, за счет её замены на соотносительность или просто отношение, когда уже соразмерность соподчиняется и становится частным случаем. Тогда совокупность обусловленных и взаимосвязанных причинно-следственных связей сама по себе, без всяких соразмерностей, – это тоже гармония. Так, взаимное отношение пространства и времени – гармония. Ведь о какой соразмерности можно говорить, рассматривая пространство и время в качестве самостоятельных категорий...

Гармония – отношение противоположных частностей в общности. Отношение общего вида, когда могут отсутствовать какие-либо характеристики соразмерности, либо их вообще нет в явном виде, как в топологии. Сюда можно отнести частные суждения в общности интересов, культурные срезы общества, традиции, обычаи, социоэнергетику и др.

Гармония – широкое понятие. Она ближе к методологии, чем к отдельной науке.

Как ни странно, но система, раздираемая изнутри противоречиями, но сравнительно "мирно живущая" во внешнем окружении, тем не менее, гармонична. Возможно, она не так устойчива, но это уже другой предмет и область исследования – изучение границ и/или параметров её устойчивости.

Гармония является таким же неотъемлемым атрибутом природы, как масса или энергия. Солнце, в исчадие ада которого ежесекундно сгорают миллионы тонн вещества, с позиции земного наблюдателя выглядит просто прекрасно и гармонично. Атомный взрыв также гармоничен, как и водопад, поскольку – он суть единства и одновременного проявления нескольких физических законов, объединенных совокупностью действий и последствий в одно целое. Вулканы, без которых вряд ли стала возможной жизнь на Земле, – разве это не гармония? Или такие с виду не совсем гармоничные явления как катастрофы, являющиеся способом обновления, гибель галактик, возникновение новых звезд, сжигающих всё вокруг себя, – это тоже величайшая гармония мироздания. А вот очаровательная с виду бабочка, несмотря на свою истинную красоту, в определенном смысле вовсе негармонична, так как является только частью (малой толикой) единого жизненного цикла и метаморфозы четырех стадий превращения: яйцо – личинка (гусеница) – куколка – имаго.

Известная метафора «всё в мире относительно» в наибольшей степени подходит как раз к принципу гармонии. Если бы мир полностью отвечал неким стандартным параметрам, он был бы однообразен и скучен. Если вспоминать золотое сечение (ЗС), то мир ЗС – не менее угнетающая картина, как и мир без ЗС.

С человеком вообще получается кривое зеркало. Наиболее заинтересованное в гармонии лицо, он сам – безудержный и потенциальный её нарушитель.

Любое познание в его сознании начинается первоначально с экспериментального выделения части познаваемого. Так мы расчленяем пространство и время, вещественную плоть и её отсутствие (пустоту). Одновременно и невольно нарушаем и гармонию как связь нераздельных противоположностей целого.

В широком смысле гармония – по сути, есть мироздание или целостная функционально-структурная совокупность его элементов (явлений, процессов), состояний и отношений. А вот любая математика в её прикладном значении – это больше анализ и разложение на части. Для синтетического видения проблемы полное погружение в чистую математику вредно. В интерпретации гармонии надо наоборот чаще подниматься над математикой, пытаясь увязывать с известными знаниями о других сторонах бытия.

Гармония нередко присутствует в науке, создавая лаконичные построения. Но её роль при этом невелика. Она никогда не выступает критерием истины, и служит в основном для эстетического удовольствия ученых. Она редко принимается как серьезный или решающий аргумент за или против какой-нибудь теории или конструкции. Критерии научной истины другие. Хотя если теория к тому же образно красива, то от этого только выигрывает.

Далее перейдем к интересному феномену: роль, место и значение гармонии в математике, прежде всего, глазами самих математиков, начиная с приведенного эпиграфа.

Гармония в математике. Согласно диалектике математическое пространство является субстанцией идеальной реальности.

Существует много определений математики как предмета науки. Обычно под математикой понимается наука о количественных соотношениях и их закономерностях, то есть как абстрактная область знаний или чистая математика. Именно тем, что математика «абстрактная наука, занимающаяся умственными построениями» (Ф. Энгельс), она и выделяется особо среди других наук.

Одно из первых классически обобщающих определений математики сделал французский математик и философ Р. Декарт – создатель современной алгебраической символики:

«К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера… должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики» [10].

"В сухом остатке", математика (греч. mathema наука) – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира <путем идеализации необходимых для этого свойств объектов и формализации этих задач>.

В более пространном описании составляет цикл наук, изучающих величины и пространственные образования (арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия...), включая чистую математику, прикладную математику и т.д.

Мы не будем цитировать другие определения математики, имеющие место быть. Скажем только, что до настоящего времени не существует абсолютно непротиворечивого понимания древнейшей науки – математики. Вместе с тем подчеркнем, в традиционных определениях указывается, что математика – наука о количественных и пространственных отношениях реального (действительного) мира, а не идеального (символьного). Всё, что можно выразить цифрою, принадлежит математике с изначально главным назначением – показать (отразить) гармонию мироздания и его отдельных частей.

Многие крупные ученые делились своими соображениями о математике. Они искрометны фантазией. В них содержится аллегория. Порой они окутаны поэзией гармонии с попыткой высказаться в образах для души. Этим они ценны и позволяют по новому посмотреть на всю математику, ловя себя иногда на слове: а может это есть гармония или её выжимка без дистиллированной воды? Судите сами...

Математика – это наука, брошенная человечеством на исследование мира в его возможных вариантах (И. Кант).

Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру (А. Эйнштейн).

Математика – царица наук (К. Гаусс).

Чистая математика – это такой предмет, где мы не знаем, о чём мы говорим, и не знаем, истинно ли то, о чём мы говорим (Б. Рассел).

Каждая математическая система свертывает в себе огромные цепи и последовательности рассуждений, или мыслительных процессов, делая ненужными повторения их в дальнейшем при решении других задач [11, лекция 4].

Математические законы не относятся к той или иной области явлений природы, как законы других специальных наук, а ко всем и всяким явлениям, лишь взятым со стороны их величины. Математичка по-своему универсальна, как тектология [12, гл. 2, § 2].

Она суха и одновременно поэтична. Её идеи могут вызывать восторженные эмоции, сравнимые с чувствами, возникающими при чтении литературных произведений, слушании музыки, созерцании архитектуры и др.

Вот что писал выдающийся русский математик Н. Лузин: «Математики изумляются гармонии чисел и геометрических форм. Они приходят в трепет, когда новое открытие открывает им неожиданные перспективы. ... Математик изучает свою науку вовсе не потому, что она полезна. Он изучает её потому, что она прекрасна... Я говорю о красоте более глубокой, проистекающей из гармонии и согласованности воедино всех частей, которую один лишь чистый интеллект и сможет оценить. Именно эта гармония и дает основу тем красочным видимостям, в которых купаются наши чувства» [13].

Гильберт придавал большое значение доступности и понятности математики и часто приводил слова другого математика: «Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал её настолько ясной, что берешься изложить её содержание первому встречному» [14].

Именно поэтому математики любят подшучивать над собой и окружающими. Так, В. Арнольд свою публичную лекцию (2006) начинал с образной классификации наук по законам Мерфи: «Если воняет, то это химия, когда ничего не работает – физика, а если понять нельзя ни слова – математика». Высокопарные слова К. Гаусса "математика – королева наук" Г. Харди занимательно объяснял-дополнял ... полной бесполезностью обеих.

Директор Математического института (Бонн) уже в наши дни писал, что математика – это формализованное переливание из пустого в порожнее. А её вклад в решение основной проблемы человечества состоит «в отвлечении лучших умов от более опасных, чем математика, занятий». Истинная же польза – по его словам – в том, что если бы вместо проблемы Ферма математики занимались усовершенствованием автомобилей или самолетов, то вреда было бы гораздо больше.

Деление всех наук на три группы «математические – естественные – гуманитарные» академик Л. Ландау переиначивал как «сверхъестественные – естественные и неестественные». Точно и лаконично осуществляется связь математики и гармонии у композитора М. Марутаева [15], когда он наравне с логическими аспектами рассматривает математические начала гармонии, а саму гармонию определяет «в виде парадоксального тождества противоположностей на основе аксиоматического построения теории гармонии».

Математика – живой развивающийся организм. В последние десятилетия предметом математического исследования всё больше становятся нечисловые объекты: события и предикаты, множества и абстрактные структуры, векторы и тензоры, матрицы и т.д.

Опыт развития математики убеждает, что самые, казалось бы, оторванные от практики разделы рано или поздно находят важные применения. Во всяком случае, это её потенциальные элементы в гармонии, ибо «математика – скелет мироздания» [16], а гармония, на наш взгляд, – его кровеносная система.

Сегодня лишь одна наука – математика – развивается внутренним путем, по этой причине главным критерием истинности математических знаний является логический критерий. Он сводится к непротиворечивости исходных посылок и результатов вывода.

Когда-то само понятие математики означало науку. В единении знаний и систематическом мышлении изучались арифметика и музыка, геометрия и астрономия (так называемые математические науки), вместе с живописью и философией. Причем учение о музыке часто ассоциировалось с гармонией небесных сфер. Но даже в таком союзе "наука гармонии" – рудиментарное образование, которое требует иного соподчинения слов, например "научные основы гармонии".

В математике практически нет такого раздела, который так или иначе не был увязан с понятием гармонии. Практически все направления математики затрагивают и отражают разные аспекты гармонии в её широком представлении (понимании).

С другой стороны, идеи гармонии уже давно вошли составляющими во многие направления современной математики: системный анализ, теория множеств, моделирование, сложные системы, геометрия, комбинаторика, алгебра и т.д.

А теперь попробуем поменять соподчиненность математики и гармонии.

Математизация гармонии. Когда мы говорим о возможной математизации гармонии, то априори подразумевается подключение к этому процессу всех средств и арсенала современной математики в зависимости от того, как и какие стороны гармонии воспроизводятся на знаковом уровне. Опыт развития естествознания показывает, что на определенном этапе развития научно-естественных дисциплин неизбежно происходит их математизация, результатом которой является создание логически стройных формализованных теорий и дальнейшее ускоренное развитие дисциплины.

Математизация – это характерная черта современной науки и техники, хотя точной даты начала пути математизации, пожалуй, не знает ни одна из наук.

Вот примерные печатные образы на эту тему: общая тенденция математизации наук, математизация научного знания, математизация гуманитарных знаний, математизация в естественных и социальных науках, математизация теоретической биологии и т.д.

Математизация науки обеспечивает общность формулирования законов, отражение наиболее глубоких отношений действительности, скрытых от непосредственного наблюдения. Могучий инструмент познания и часто единственно возможный, когда образы ненаглядны, не наблюдаемы и не доступны непосредственному чувственному восприятию (URL: ngpedia.ru/id233306p1.html).

Но гармония, наука и философия терминологически не отождествляются.

Существует и восточная философия о мировой гармонии, к которой схема МГ не подходит в принципе. Там другие основания.

Математика не всегда располагает требуемым аппаратом для исследования абстрактной модели. Зачастую в ней приходилось открывать новые понятия и методы или разрабатывать старые, чтобы делать это. Одного желания здесь мало. Необходимы смыслы, понятия и четкие формулировки. Эта идея хорошо изложена в философском наследии Гегеля [17, с. 547]: «Дело уже не столько в мыслях. У нас их достаточно, хороших и плохих, прекрасных и смелых. Дело в понятиях. Но если мысли должны приобрести непосредственную значимость благодаря самим себе, то в качестве понятий, напротив, они должны быть сделаны понятными». – Это напрямую относится к "МГ-симбиозу".

Хорошо воспринимаемая на обывательском уровне мысль МГ становится туманной, когда мы её начинаем рассматривать в качестве понятия. Одно дело броский сленг или яркий слоган, и совсем другое – строгое, понятное всем определение, с последующим очерчиванием предмета, объекта, целей и задач исследования.

Следует иметь в виду, что и плата за математизацию достаточно велика, когда начинаешь понимать, что гармония искусственного образования в принципе недостижима.

Нечто подобное присутствует в джазе, где гармонии соответствует неповторяемость в импровизации, ритм часто выпадает из механически заданного размера.

На сегодня не известно ни одного математического приложения, возникшего в результате абстрагированного рассмотрения гармонии. Всё строится на базе уже развитых математических средств, которых более чем достаточно для исследования (анализа и синтеза) целостных структур. Только бери и спокойно применяй.

Поэтому выделение самостоятельной области под общим лозунгом «математики гармонии» без ясных целей и задач, предмета, области исследований, аппарата и т.п. – занятие малопродуктивное, со слабовыраженной перспективой.

Во всяком случае, не хотелось бы видеть в этом добром начинании некую массовку под красивым (эффектным), но малосодержательным прикрытием.

«Математика отвлекается от всего конкретного характера элементов, скрытых под её схемами. Она делает это при помощи безразличных символов, вроде числовых или буквенных знаков» [12, гл. 2, § 3].

Если речь идет о процессе математизации гармонии, то непременно следует обозначить основные методы, в частности:

аксиоматизация – выделение компактного (конечного и простого) набора некоторых простейших утверждений-аксиом, из которых посредством логического вывода можно в принципе получить любое утверждение в области знаний о гармонии;

формализация – замена изучаемых объектов и отношений между ними наборами символов и отношений в выбранном искусственном языке (компактном, недвусмысленном и простом) и системе удобных обозначений;

математическое моделирование – отображение предметной области гармонии в математические множества (понятия, структуры) с построением математической модели на основе выделения существенных свойств и количественных характеристик гармонии и существенных отношений между ними.

Эти вопросы в рамках словесной подчиненности МГ на сегодня остаются открытыми.

Нам остается перейти от процесса математизации, как действа, к математике в гармонии, как сущностному воззрению.

Математика в гармонии. Образное понятие или словосочетание «математика гармонии» – это вся существующая и будущая математика. Нет ни одного раздела и ни одного математического образа (объекта), которые так или иначе не связаны с широким понятием гармонии. В этом контексте с большой вероятностью МГ чревата своим парадоксальным обращением в "масло масляное", становясь математической математикой или гармонической гармонией, а может и всем сразу как «гармоническая математика математической гармонии».

Что же не хватает в своевременной математике, чтобы отдельно создавать или выделять отдельное направление? Какой новый (полный и непротиворечивый) математический аппарат подразумевается создать? На базе, каких новых аксиом, теорем, моделей? Да, и нужно ли это вообще? – Вопросы не праздные.

Любая теория, как и власть, должна уметь себя не только подавать, но и защищать.

Так, русский математик Ю. Матиясевич решил 10-ю проблему Гильберта на основе чисел Фибоначчи. Он доказал алгоритмическую неразрешимость задачи о существовании решений диофантового уравнения с произвольными неизвестными и рациональными целыми коэффициентами, де-факто предъявив 10 уравнений. Ни о каком рождении новой математики он не упомянул ни слова. Подобных примеров тысячи.

Но даже если принять концепцию МГ, необходима её реальная оценка, например, как в работе [18]: «создание современной математической науки, как "математики гармонии", находится еще только на стадии возрождения и становления».

В целом терминологическая практика, конечно, не стоит на месте, и в повседневную или специально научную сферу внедряются новые словесные конструкции, что в целом является объективным процессом развития, а «игра с понятиями столь же обоснованна, как игра с математическими моделями» (И. Пригожин, доклад, 1997).

Если отслеживать тезис, что «современная математика отличается большой "фрагментарностью" и представляет собой набор математических теорий, не связанных общей целью», то в этом контексте вполне допустимо рассматривать гармонию или гармонизацию самой математики. А вот, наоборот, в смысле специальной доселе неизвестной математизации гармонии, – весьма и весьма неопределенно.

По Марутаеву [15] закономерности гармонии не имеют ни физико-математического, ни химико-биологического, ни иного смысла конкретных наук. Здесь смысл сущностный

Это общий закон. Его невозможно объяснить никакими уже известными законами, не говоря уже о формализованном представлении на математическом языке.

Асимметрия и симметрия, пропорция и ритм, хаос, красота и гармония… Всё это слито воедино. В этом смысле вся математика – числовое выражение гармонии или большое обобщенное уравнение гармонии. Прошли те времена, когда гармонию измеряли математикой. Лучше говорить не о "математике гармонии", а некоторой совокупности математических приемов для разрешения или описания тех или иных сторон гармонии.

Тем более что её никак нельзя отнести ни к процессу, ни к физическому явлению.

Добавляя к математике слово "гармонии" в родительном падеже, мы тем самым даем отличительный признак определяемого понятия, желая достичь его отчетливости и определенности. Но так ли это на самом деле? – Будем рассуждать дальше.

Истоки противоречий. "Математика гармония" описывает некоторый количественный аспект понятия "гармония", который основан на трактовке гармонии как связи и комбинации (Стахов, 2005). – Даже не сравнивая с многогранными представлениями о гармонии, которые излагались выше, здесь легко прослеживается узкое и не самое лучшее толкование гармонии с превалированием комбинаторики.

Если принять некоторое множество математических объектов за МГ, то все другие математические средства (за пределами данного множества) автоматически образуют другое множество "математики не гармонии". Что это такое, можно понять только путем отрицания и лишь через МГ-понятие. Следовательно, гармония выступает в роли критерия делимости всей математики на два противоположных класса, что весьма и весьма сомнительно, исходя из онтологии математики в познании мира.

МГ не является тождественным предложением или очевидной истиной опытного знания (по Лейбницу). МГ нельзя отнести к научному предложению, относительно которого можно доказать, что в процессе его разложения, осмысления или развития никогда не возникнет противоречие.

Вспоминается дилемма. Является ли истинным всё то, ложность чего не может быть доказана, и ложно ли всё, что не может быть доказано как истинное? – А как быть тогда с тем, когда нельзя доказать ни то ни другое?

«Существует мир гармонии, мир вечности, откуда вышли все формы, все цвета, все звуки, запахи» [16]. Но насколько сегодня "математика гармонии" системна, чтобы учитывать всеобщую взаимосвязь? – На эти вопросы математика ответить не может. Философский уровень рассуждений о гармонии опережает математику.

Математика (даже математика в гармонии, ввиду её прикладного значения) – это всё же анализ, разложение на части. Для синтетического видения абсолютное погружение в чистую математику в определенной мере вредно. Сегодня нужно наоборот чаще подниматься над математикой, стараясь увязывать её со знанием других сторон бытия.

Да и как можно математикой проверить либо измерить гармонию? – Это всегда было не только забавным, но малоперспективным занятием. Подвергшаяся математизации гармония уже несовершенна, поскольку всякая форма математики имеет свои ограничения. Да и действительный ход мысли ученого совсем не обязательно бывает гармоничным.

«В математике мы можем получить некоторую относительную гармонию продукта мысли, несмотря на то, что действительное движение мысли математика не обязательно бывает гармоничным... Эта гармония несовершенна, потому что всякая форма математики, как это доказано, имеет некоторые ограничения» [19].

Здесь главное не сбиться на вульгарное понимание философской и математической сущности гармонии, что побуждает разнести между собой понятия математики и гармонии.

И потом не будем забывать, что гармония – это, прежде всего, «установка или базовая ценность культуры» [5] в её широком понимании.

Поэтому "математика такой гармонии", на наш взгляд, выглядит некорректно, свидетельствует о поверхностном осмыслении философской и математической сущности гармонии, а в целом характеризуется как не совсем удачное объединение этих двух дефиниций и наиболее противоречивая по смыслу идиома из всевозможных комбинаций данных слов в их разном сослагательном наклонении. Даже словосочетание "гармония математики" представляется более-менее выверенным, поскольку математика гармонизирует абстрактные представления и модели мироустройства.

У гармонии нет собственной математики. Да и быть не может. Это всё равно, что применять "математику красоты". Одной математикой гармонию не просчитаешь. Возможно, возникли ассоциативные связи с А. Пушкиным: «Звуки умертвив, музыку я разъял, как труп. Поверил я алгеброй гармонию» (Моцарт и Сальери). Великий поэт, конечно, иронизировал в части возможности проверить точным расчетом то, что выражено чувствами. Гуманитарий и знаток русского слова изложил авторскую мысль четко и ясно. Однако отсюда никак не следует, будто есть некая "алгебра гармонии". Но допустимо применить или приспособить алгебру к изучению-описанию гармонии.

«Поверять алгеброй гармонию» – занятие неблагодарное. Поэтому правильнее говорить о математических методах в теории (науке) гармонии. Или в общем контексте: математика и гармония, решение задач гармонии в математике, математические методы в гармонии систем, законы гармонии природы на языке математики и т.п.

"Математика в гармонии" – самое простое и безболезненное уточнение.

Тогда формально всю математику в гармонии можно определить через совокупность трех конечных множеств M = {X, R, F}, где X – элементы предметной области гармонии, R – отношений между элементами, F – функции интерпретации.

МГ–МД: "математика гармонии" – "математика дисгармонии". Правильная и точно сформулированная постановка задачи – это почти половина решения. Так ли это в нашем случае? И насколько МГ-понятие разгоняет облака, или наоборот затуманивает проблему? – Создавая некую МГ-структуру, можно логически показать, что если в основания мы положим принцип соотнесения в состав МГ набора математических конструкций, то в ходе развертывания такой теории, мы обязательно придем к положению, когда найдутся иные конструкции, не входящие в эту структуру.

На это следует посмотреть особо. Нужно свести концы с концами в этой теории так, чтобы добиться объяснения и отражения всех аспектов гармонии.

Это задаст нам вторую группу формирующихся знаний

В ранний период развития человечества математика еще не имела такого развития, какое она получила в дальнейшем, поэтому её удельный вес в общей системе рассуждений был невелик [11, лекция 1]. И её можно было схематично (чисто условно) разделить на МГ–МД и таким образом охватить всю область. По мере развития математики уже сама формальная логика рассуждений становится одним из математических исчислений.

Но уместно также спросить: а чем будет задаваться или определяться такое деление, и чем оно сегодня оправдывается: требованиями гармонии, требованиями математики или иными критериями?

То есть мы будем выделять большую совокупность математических объектов и говорить, что всё это – выражение или форма выражения гармонии.

Соответственно, оставшаяся группа подобных объектов автоматически становится выражением или формой выражения дисгармонии и т.п. Третьего здесь не дано.

Куда, например, в таком случае мы отнесем геометрию или топологию, либо разложение в ряд Фурье и т.п.? Каким образом мы разделим теорию чисел, чтобы её часть отошла в МГ, а другая в математику дисгармонии? – Здесь очень важно не попасть в глухой лабиринт, заканчивающийся светом в тоннеле в виде рампы театра абсурдов.

Так или иначе, но МГ как альтернативное направление в развитии математической науки сбивает с толку многих, кто когда-либо соприкасался с математикой.

Нужно ответить и на вопрос: а есть ли существенный разделительный рубеж между гармонией и математикой? – Не по отдельным формальным признакам, по сути. С точки зрения характеристики и описания бытия.

Не выходит ли так, что МГ уже содержит несколько частных разделов математики или даже всю их совокупность? – Тогда у нас может получиться, как говорилось выше, "гармоническая гармония" или "математическая математика".

Кроме того, провозглашение МГ-идиомы, по сути, означает строительство новой математики, которой пока не видно. А всё, что якобы сделано в рамках МГ, – ничто иное, как развитие отдельных уже давно существующих классических разделов математики.

Если это направление, то чем оно будет заниматься? – Изучаемые объекты, "меры весов", индикаторы, схемы сопоставления объектов и знаков, структура отношений и действий, конечный продукт анализа. Какова логика перемещения математических объектов в системе отношений «МГ–МД»? – Вопросов больше, чем ответов.

Наличие разных, по меньшей мере, трех типов гармонии (математической, эстетической и художественной) отмечает В. Шестаков [20]. Внимание в них акцентируется соответственно на числовой соразмерности частей в целом, восприятии красоты природы и актуализации принципа гармонии в материалах искусства так, что «математическое понимание гармонии фиксирует, прежде всего, количественную определенность гармонии, но оно не заключает в себе представления об эстетическом качестве гармонии, о её выразительности, связи с красотой».

Золотое сечение и гармония. В процессе самоорганизации системы стремятся занять гармоничную нишу. В своих конструкциях природа иногда использует золотое сечение (ЗС), имеющее строгое математическое (геометрическое, алгебраическое) обоснование.

Эти факты являются причиной повышенного интереса к ЗС в современной науке и являются основой для развития такого научного направления, как общая теория гармонии систем, идеи которой наиболее плодотворно развиваются в монографии [21], за исключением противоречивого вопроса обобщения математических констант.

Но разве сосновая шишка была бы менее гармонична, если представляла собой не проявление золотоносной спирали, а например, правильный цилиндр и кубик, а улитка – допустим, лемнискату или кардиоиду? Разве они от этого разлетелись бы на молекулы и перестали существовать как единое целое? Конечно, нет. В том и другом случае они сохраняют гармоническое единство, остаются её объектом. Или разнополые люди не любили другу друга, если бы у них пупок был на уровне колен?

То есть сама по себе фиксация того или иного порядка – ещё не есть гармония, даже если она "радует глаз".

Тысячи ракушек или улиток имеют в своей основе спиральные формы, совершенно не связанные с золотым сечением, но обладающие иной пропорцией частей и целого.

Подобно тому, как в музыке первичный объект гармонии – музыкальные интервалы, в геометрическом толковании может быть пропорция.

Для одних гармония – это сочетание (из комбинаторики) и треугольник Паскаля. Для такой своей гармонии они создают свою математику, в которую искренне верят и от чистого сердца проповедует. Другие считают такой подход близоруким сужением поля (сферы) интересов гармонии, и рано подвергать математизации то, что ещё не вызрело в человеческой голове. Практически всё, что мы видим, чувствуем и осознаем, подпадает прямо или косвенно под еще неосознанное до конца понятие гармонии или является её прямым проявлением, что нельзя загнать в жесткие рамки.

Гармония стоит на равновеликих ступеньках с методологией и философией, математикой и религией, а возможно и выше их, как одна из самых значимых функций всемирно-"разумной" целостности. Хотелось бы очень видеть бесстрашного оптимиста, отважившегося выстроить математику такой широченной глыбы.

Сводимость МГ к золотому сечению вообще сомнительна. «Мир слишком богат, чтобы быть выраженным на одном единственном языке. Мы должны использовать ряд описаний, не сводимых друг к другу, хотя и связанных между собой тем, что технически именуется трансформациями» [22]. Именно поэтому нам диссонирует словосочетание "МГ", которое работает как полупроводник или однополюсный магнит. Но не "симбиоз" двух мощных понятий. Это диссонирует слух, денонсирует основания образования научных понятий и звучит в унисон с такими неестественными и вычурными формами как «математика информации» или «математика кибернетики».

Кибернетика, информация, гармония... Это важнейшие узловые точки единого синтетического ряда развивающейся науки последних лет. Они ни в коем случае не объединяются с математикой чисто механически. Поэтому человеком созданы: «математические основы кибернетики», «математическая теория информации»...

Следующий логический шаг: «Математические начала (основания) гармонии».

В этой связи разумно провести краткий обзор некоторых публикаций, которые мы условно назовем МГ-литературой.

Краткий обзор МГ–литературы. Пока рано говорить о каких-либо сложившихся канонах МГ. В публикациях мы до сих пор не находим однозначного и вразумительного представления или определения, что же собой представляет МГ?

Преимущественно встречаются мысли-высказывания о МГ проф. А. Стахова:

• альтернативное (?) направление в развитии математической науки;
• математическое направление, которое объединяет три оригинальные математические теории в современной науке: числа Фибоначчи, р-числа Фибоначчи, металлические пропорции (обычные квадратные уравнения);
• обобщения рекуррентного соотношения Фибоначчи и золотого сечения;
• обобщение тысячелетних исследований в области теории золотого сечения… главная цель – ввести в современную науку золотое сечение и числа Фибоначчи в качестве фундаментальных понятий современной науки…

По его замыслу МГ сводится к двум алгебраическим уравнениям (?):

x ² = mx + 1 и x^p+1 = x^p + 1.

Их узость-ограниченность в огромном океане математики видна невооруженным глазом. Говорить о МГ, если таковая может существовать вообще, и тем более как о "спасительнице" математики, по меньшей мере, наивно.

Далее автор выделяет комбинаторные отношения чисел Фибоначчи, развитие алгоритмической теории измерения и систем счисления на основе p-пропорции, гиперболические функции Фибоначчи, компьютеры на основе арифметики Фибоначчи.

Вчитываясь в этот перечень, невольно ловишь себя на мысли, что он больше напоминает программу технического перевооружения вычислительной техники, всё дальше и дальше удаляясь собственно от гармонии.

Конечно, очерчивать круг решаемых задач – незыблемое право исследователя.

Но это исключительно, когда он творит. После публикации результатов происходит отчуждение идеи, остается только авторство, а теория становится общим достоянием и вступает на тернистую тропу апробации-признания.

К слову, апробация (лат. approbatio) – это одобрение, обычно официальное. Часто с апробацией путают публичное выступление на конференции, семинаре и т.п. Сам по себе доклад – еще не апробация. Оное происходит после одобрения научной общественностью.

Как бы то ни было, но уже из приведенного обзора наглядно видно, что интуитивно мыслимые широкие воззрения о МГ, по сути, сведены к золотой пропорции и обобщенным последовательностям Фибоначчи, как неоправданно утилитарное сужение подразумеваемой предметной деятельности. В целом вырисовывается необычная наука, занимающаяся числами Фибоначчи, но претендующая на такую глыбу, как математизация гармонии.

Заметим, что подобные числовые ряды в природе отсутствуют, в то же время золотая пропорция в чистом виде встречается в спиралеобразном формировании отдельных живых образований: некоторых видов ракушек, плодов растений, подсолнечника и др. Другие примеры менее показательны, поскольку не выходят за рамки гипотез.

Часто говорят, что семена подсолнечника располагаются по спиралям. А их количество по двум направлениям, якобы составляет 34/55 или 89/144. Это не совсем верно. Спираль всего лишь одна! В её основе лежит золотой угол (~137,5^о), и она свободно воспроизводится простым моделированием. Остальное – издержки зрительного восприятия и способности человеческого глаза улавливать отдельные линии.

Вышеназванные формулировки свидетельствуют о том, что МГ находится в поисковом режиме, и пока это только образы или "протокол о намерениях".

Прежде всего, нет четко поставленного предмета и сформулированных задач исследования. Отсутствует также тщательный анализ самой математики, чтобы всерьез говорить об её неисследованных направлениях, способных более компактно на формализованном уровне подвергнут гармонию математизации. Не определены главные цели, то есть чего хотят добиться, решая поставленные задачи.

Анализ других работ по данной тематике также оставляет за кадром ряд невыясненных вопросов: Какие конкретно сообщества математиков работают над этой проблемой? В каких научных журналах она освещается?

Во-первых, проблема – это положение, условие, вопрос либо объект, который создает неопределенность и затруднение, а значит, это всегда требование что-то найти, указать или построить. Во-вторых, проблема побуждает к углубленному её изучению и определенным конкретным действиям или их ограничениям. В частности, необходимо конкретизировать, в каком классе объектов ищется решение задачи.

Пока можно с уверенностью лишь утверждать, что проблема "МГ" – это не столько создание "красивых" математических моделей (форм) процессов и явлений окружающего мира, сколько формализованное описание отношений частей целого. При этом в качестве основного критерия выступает их соразмерность, а вовсе не грация, изящество и т.п., которые тоже имеют определенное значение, но уже вторичного плана или проявления.

Одно из немногих четких определений МГ мы находим в работе [9]: «Математика гармонии – это математика, изучающая и моделирующая гармонию бытия пространственно-временных форм Жизни, их количественные отношения, проявляющиеся в эволюции природы, общества и мышления». Формулировка в целом верная. Хотя уровень обобщения очень высок, что проблематично в реализации, но приемлемо в философском толковании.

Здесь прослеживается перекличка с А. Богдановым, который рассматривал «математику как ветвь всеобщей организационной науки: этим объясняется гигантская практическая сила математики как орудия организации жизни» [12, предисловие].

Но время идет... Появляются новые результаты исследований в развитии МГ-темы. Публикуются исторические экскурсы, где МГ преподносится в ракурсе, что небито наши предки, выполняя вычислительные действия, размышляли исключительно о гармонии.

Исследуя эпоху Возрождения, в работе [23] отмечается: «Если же говорить о математике гармонии, то решение кубического уравнения имеет отношение к теории уравнений, обобщающих идею золотого сечения».

С этим трудно согласиться по двум причинам:

1. Разные виды кубических уравнений решали в древней Индии, Греции и Египте уже в 5 веке до нашей эры. Развитие алгебры шло своим чередом независимо от золотого сечения (ЗС), задача которого пока не ставилась, а появилась позже в Началах Евклида. И главное для чего? – «В сохранившихся древнегреческих текстах ЗС рассматривается исключительно в связи с геометрической задачей построения правильного пятиугольника в планиметрии, а также икосаэдра и додекаэдра в стереометрии» [24].

2. Кубическое уравнение не может обобщить идею ЗС, поскольку в науке она давно выражена через математическую пропорцию. Фундаментальная константа ЗС наоборот выделена из алгебраических уравнений и пропорций, по сути, поднявшись на пьедестал "чисел, которые изменили мир".

Константа ЗС аксиоматически не может быть обобщена, равно как величины e, π и др.

Несомненный интерес в рамках исследования МГ-тематики представляет историко-математический обзор [25], задающий мажорную тональность о способности МГ исправить стратегические ошибки, якобы допущенные в развитии математики. Автором выполнен анализ некоторых противоречий и сделаны выводы в пользу МГ, хотя это больше координируется с гармонией внутри самой математики, а не наоборот.

Отмечается «отсутствие четких канонических форм МГ» и представляется это даже неким плюсом в «кризисном состоянии современной математики» (?), когда в ней произошел «методологический раскол на теоретико-множественное и конструктивное направление». Вместо евклидового представления, в соответствии с которыми √2 считается иррациональным числом, от имени МГ предлагается геометрия Евдокса, «в которой √2 и многие другие дробные арифметические корни принимаются в качестве, пусть невообразимо больших, но все-таки периодических десятичных дробей».

Поднятые вопросы весьма важные и касаются первооснов математики.

Здесь очень существенны не только акценты, но также интонации, когда отдельные диссонирующие ноты способны создать неповторимое стройное звучание, возвысив саму гармонию музыки, математики, философии и т.п.

Поэтому выскажем некоторые соображения по поводу затронутых моментов.

1) Любопытна изначальная точка зрения в такой точной науке как математика, когда четкие представления о предмете МГ видоизменяются на положительный образ об освобождении от уз догматики. Сегодня рано говорить о МГ-канонах, ибо не определено главное: предмет и задачи научных исследований. Их отсутствие – есть главный лейтмотив. Преждевременно рассуждать о канонизации МГ, когда нет четкой концепции.

2) В качестве доказательной базы о противоречиях множественной теории Г. Кантора приводится спорная и пока не апробированная работа (А. Зенкин, 2000), в которой логические построения элементарно противоречат категории обобщения в математике.

3) Противоречия в математике были всегда. Они являлись двигателем прогресса или новых теорий и всегда спокойно разрешались силами самих математиков. Но это имеет отношение к такому понятию как "гармония математики", а не наоборот. Математика развивается больше изнутри и способна сама разрешать возникающие несогласованности, даже не думая о том, что где-то кто-то ввел новый термин.

4) Ещё одно важное уточнение. Провозглашать МГ прародительницей упомянутой евдоксовой геометрии – это всё равно, что «пилить сук, на котором сидишь».

Число золотого сечения обязано исключительно корню из пяти со всеми его миллиардами знаков после запятой в десятичном исчислении. Но стоит нам только хоть один знак изменить (пусть даже теоретически) или ввести искусственную периодичность, скажем после 10¹⁰ знака, то вся теория золотой пропорции мгновенно рассыпается.

Вот простой пример, воспроизводящий модель-гипотезу большого взрыва при формировании Вселенной, где кроме самого взрыва наличествует еще и главный предварительный этап – сжатия.

В работе [26] показано, что аддитивная рекурсия двух предшествующих состояний (n = 0, 1, 2,…), как "возмущенное уравнение идеальной системы"

f_n = f_n–1 + f_n–2, f₀ = 1, f₁ = –Ф^–1 + δ

при сколь угодно малом значении δ = 10^–K за конечное число шагов N ≈ 1+2,4∙K выводит систему из равновесия и приводит к бифуркации, Ф = (√5 + 1)/2.

Что это может означать на практике? – Всё, где ЗС закладывается в качестве структурированной подосновы, при малейшем вмешательстве извне, вместо гармонизации подлежит деструкции (взрыву или распаду). То есть конструкции ЗС неустойчивы.

По такой же схеме может рассыпаться и сама МГ-теория на основе ЗС.

В рамках теории, близкой к философскому смыслу МГ, нам наоборот необходимо наличие абсолюта в виде корня из пяти, а уже для алгоритмических схем измерения можно принимать любую приемлемую или инструментально-достижимую точность вычислений.

Если знаменитый немецкий математик Г. Кантор и ошибался в своих замечательных работах, то подобного рода творческие ошибки можно пожелать многим ныне ищущим ученым. Кстати, Г. Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством», что очень близко к формализованному описанию гармонии. "Гармонистам" следует об этом подумать. Рано сбрасывать со счетов этого великого ученого, который презентовал миру теоретическую подоснову фракталов через образ "канторовой пыли" и еще много полезного на стыке "математики–гармонии".

Но пойдем дальше...

Обстоятельный и разноплановый ответ по вопросу словообразующей формы МГ представлен в работе [27]. Составлена достаточно четкая классификация по сопоставимости понятий математика–гармония. Хотя она содержит только необходимый, но не достаточный набор признаков соотнесения гармонии по приведенной градации.

Есть и другое "но". Выстраивание ряда является неубедительным, поскольку всё озвученное – составные части самой гармонии, которая является не элементом данного ряда, а его порождающим началом, как, впрочем, и многих других понятийных форм.

Возьмем ту же биологию, экологию, космологию или физику и химию. Разве предметы их изучения не подпадают под понятие гармонии, которая здесь является самостоятельной полноправной наукой?

Хорошо если мы располагаем точным однозначным определением и целостным учением о гармонии. Но этого пока нет и в помине. Мы только в начале пути. Достаточно сравнить разноликие определения гармонии. Несмотря на интуитивно понятную связку «математика–гармония», она может оказаться орешком, посильнее времени. Просто за неё, кроме музыкантов и теоретиков-музыковедов, серьезно еще не брались.

Или попробуйте ответить на, казалось бы, простой вопрос: как осуществляется гармония времени, пространства и материи? Или как математически выписать гармонию теории и практики, гармонии науки и религии?

Рано говорить о смыслах МГ, до конца не понимая самой гармонии. Иначе получается, что ещё нет стройного учения о гармонии, а ей уже выделили место. И главное где? – Среди ритмики и грации (?). Не сужаем ли мы тем самым рамки рассмотрения такого феномена? – Возможно, это метанаука, как нечто размашистое и объемлющее.

Более значимыми по иерархии здесь могут быть только категории пространства и времени. Но даже они не мыслимы и не существуют без их увязки через понятие гармонии.

Некий вездесущий "демон гармонии".

Попробуйте назвать или представить что-нибудь отдаленное или несвязанное с гармонией в её широком представлении. Весьма трудное и бесперспективное занятие.

Чем можно объяснить закон Бела, кроме как гармонией мира? Как можно описать единство и многообразие бытия без его гармонии? Или кто-то научно обоснует, что кризис выпадает из обоймы гармонии? – Как раз наоборот, кризис – это самоочищение в гармонии.

Хаос – слабо организованная часть гармонии, противоположность организованности по неким законам. С точки зрения диалектики гармония – единство хаоса и организованности. Вопрос в том, чего больше и в каких границах количественных отношений.

Исходя из логики работы [28], нельзя не заметить, что некоторые МГ-модели вышли из недр треугольника Паскаля как его фрактальные образования (p-сечения), а вот самим фракталам, как, впрочем, многим другим "гармонизированным" направлениям современной математики, в МГ пока места не нашлось.

Это наводит на мысль, что в направлении МГ имеется запас прочности и есть будущее.

Только необходим небольшой косметический ремонт самого наименования и предметной платформы, чему мы собственно и посвятили свои рассуждения.

«Название новой научной дисциплины – дело особо ответственное. Это – "одежка", по которой широкая научная общественность её встречает, и по ней же склонна выпроваживать, не вникая в её "ум"... Термин МГ в учении о золотой пропорции не из тех, которым простительны даже небольшие расхождение со смыслом понятия, а тем более – такие, которые фактически придают математике философский смысл и вызывают подозрения в её философских притязаниях» [28]. Далее автором предлагается обсудить терминологическую конструкцию «математические основания гармонии», что заслуживает внимания. В виду сомнений о практических возможностях математики описать все стороны такого объемного и разностороннего понятия, разве что привлечь для этого всю математику вообще, а не только её золотоносную каплю в виде МГ.

Пифагорейские мотивы гармонии сфер. Иногда в рамках поднятия рейтинга МГ довольно экспрессивно рассуждают о возрождении пифагорейской математики.

Доподлинно известно, что сам Пифагор не написал ни строчки, хотя Рафаэль Санти в своей знаменитой картине "Афинская школа" и представил его что-то пишущего, а всё, что донесли ученики-пифагорейцы, уже нашло свое отражение в математике.

Что же тогда восстанавливать?

а) Возможно, речь идет о философски-эзотерической абсолютизации числа в мироздании? – Но в этом направлении работа специалистов не прекращается, по сей день. Литературно-интернетовский эфир просто изобилует числовыми интерпретациями нумерологии на любой вкус: "от родиться – до умереть".

б) Может, имеется в виду исследование истоков "промышленного шпионажа"? – Тогда, неплохо познакомить широкую общественность, включая школьников, что «теорема Пифагора была опубликована (в Вавилоне клинописью) за пару тысяч лет до него, вместе с доказательством и формулой для нахождения Пифагоровых троек (вроде 3² + 4² = 5²), описывающих все прямоугольные треугольники с целыми длинами сторон» [29].

Или как в пифагорейской школе была засекречена несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной (то есть иррациональности числа √2). «Этот факт подрывал значение арифметической теории дробей (и тем самым всей математики)... следовательно, математики занимаются ненужной чепухой, их следует прогнать или ... не кормить» [29].

в) Ближе всего к математике того времени, пожалуй, стала гармония сфер. Это «учение восходит еще к Пифагору и объединяет вместе математику, музыку, и астрономию. В сущности, небесные тела, будучи большими объектами, в своем движении должны продуцировать музыку. Совершенствование небесного мира требует, чтобы эта музыка была гармоничной... Математика гармонии была центральным открытием огромной важности для пифагорейцев» [30, с. 160].

В процитированном оксфордском философском словаре (1994) одного автора мы видим словосочетание МГ, которое даже могло бы претендовать на первенство введения термина, подразумевающего симбиоз математики, музыки и астрономии. Но достаточно беглого взгляда чтобы понять: в контексте лично-авторского изложения МГ выступает в виде чисто философско-литературного образа пифагорейцев при описании ими музыкальной гармонии сфер, но не научного понятия, в том числе самой математики.

Что-либо возрождать в контексте гармонии сфер не приходится, поскольку всё уже давно донесено до современного читателя, а также нашло новое развитие в работах А. Марутаева с его мыслительно-музыкальным восприятием мира. Кстати, именно он, можно сказать впервые, предложил (1990) термин-направление "математические начала гармонии", который позже стал переиначиваться и видоизменяться разными авторами (часто без ссылок), в том числе трансформируясь в его бесформенный МГ-образ.

Уместно упомянуть ещё один литературный источник, где говорится о единении математики и гармонии у древних греков [31, с. 65]. Для такого единения автор использует английское написание Mathematics of Harmony – чисто образно-сленговое словосочетание в книге, необыкновенно далекой от математики и посвященной социальной теме. Из общего прочтения видно, что это не термин, а чисто газетный слог и единственное (!) на 124 страницах употребление автором такого выражения, дабы не повторяться.

Блестящий российско-украинский математик Б. Гнеденко – ученик и последователь А. Колмогорова – уподоблял математику большому ветвистому дереву, каждая ветвь которого представляет определенную область со своими разделами [32].

Структура-строение математических знаний, классификация их направленности сложились достаточно основательно. Но такое понятие, как "математика чего-то" в них не наличествует. Ни на одной веточке могучего дерева!

Вместо заключения. Проведенный анализ позволяет сделать ряд высказываний.

Особой и отдельно взятой математики, написанной для отображения гармонии, сегодня не существует. В математических кругах о ней ничего не известно, за ненадобностью. В многовековой истории математики также отсутствуют какие-либо попытки составлять (обустраивать) отдельные подразделы, связанные с гармонией.

Более того, подобные вопросы никогда и никем из профи-математиков не поднимались, а наши альтернативные высказывания на эту тему, можно сказать первые, и фактически выступают в роли лифта, поднимающего на контрастах сами идеи МГ.

Исходя из реалий и научных традиций, вряд ли родится такой самостоятельный математический аппарат в чистом виде. Это всё равно, что создавать математику бытия, математику тектологии, алгебру информации, арифметику философии или методологии.

Сомневающиеся могут предложить-назвать хотя бы один раздел математики, целиком обособленный от теории гармонии. То есть не имеющий к ней прямого или косвенного отношения. В научно-терминологическом аспекте МГ-словосочетание не имеет смысла и отражает лишь образно-художественное восприятие предметной области.

Математика никогда не являлась основой какой-либо отдельно взятой науки. В этом контексте "математика гармонии" – рудимент, как зачаток или начальная форма, требующая своего дальнейшего осмысления, развития и самое главное – внедрения в научный мир непротиворечивой и понятийно-недвусмысленной терминологии.

В подогнанной одежке, не обязательно с золотыми пуговицами, у неё будет будущее.

Гармония – это сочетание элементов, которое в частности, может вызывать ощущение красоты. Но гармония не ограничивается исключительно красотой или созвучностью.

Гармония – это и разные соотношения между большим и малым, которые например, могут выражаться золотым сечением. Но только к нему гармония не сводится.

Гармония – это симметрия и изоморфизм, равновесие и ритмика, периодичность и т.п.

Сюда можно добавить баланс и уравновешенность, хаос и организованность, сложность и простоту, полноту и целостность, единство и контрасты и т.п. Практически всё, что свойственно системному анализу и синтезу противоположностей целостности во всех идеальных и материальных явлениях бытия действительности.

Гармония – это всё и ничего. В смысле – всё сразу и вместе – в общем, и конкретно, но отдельными кусками, – в частном.

Сначала нужно научно определить приоритетные направления теоретической и прикладной математики, требующие проблемного развития для решения специфических задач (если таковые имеются) и совершенствования теории гармонии.

Ответы на данные вопросы должны быть системно обусловленными и научно-обоснованными, чтобы здоровая идея "симбиоза" математики и гармонии не превратилась в радужный, но недолговечный мыльный пузырь. Чтобы не получались лингвистические конструкции как у языковеда Льва Щербы: «Глокая куздра штеко будланула бокра и курдячит бокренка» [13]. – Фраза создана для иллюстрации того, что многие семантические признаки слова можно понять из его морфологии (формы и строения).

Предлагается подумать и о теме творческого проекта в общем контексте «математика и гармония». По нашему мнению, сокращенный (укороченный) термин МГ, с претензией на альтернативу или пока еще слабо аргументированную новую парадигму, до известной степени выступает диссонансом в преемственности связей между прошлым и будущим процесса развития человеческих знаний, что всё-таки ближе к воззрениям о дисгармонии.

Мы высказали свои соображения. Далее каждый вправе называть предмет обсуждения на свой лад. Неплохо бы одновременно направить толику многогранных знаний на постройку храма-учения самой гармонии, открыв новый виток "начал" (после Евклида и Ньютона), но уже в увязке с гармонией мироздания. А между словами "математика–гармония" вставить любые подходящие связующие линии, в чём нет никаких сомнений.

В такой постановке вопроса не нужно давать определение МГ, устанавливать границы применимости, выделять "гармонизирующие" разделы математики, отсекая не понравившиеся и т.п. Достаточно просто означить интересуемые признаки гармонии и описывать их приемлемым математическим языком. Или наоборот: существующие математические знания распространять на изучаемые стороны гармонии.

Надеемся, наши мысли станут подспорьем либо просто полезными вешками-указателями на математических просторах гармонии.

Concordia parvae res crescunt, discordia maximae dilabuntur. – Или ближе к нашему изложению: в гармонии маленькие вещи растут, в контрасте самые большие испаряются...

Литература:

1. Василенко С.Л. Геометрические образы и закономерности гармонии // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.15445, 01.08.2009. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321141.htm.
2. Davidson D. The Method of Truth in Methaphysics // Inquiries into Truth and Interpretation. – Oxford, 1985. – Р. 199–214. – URL: filosof.historic.ru/books/c0014_3.shtml.
3. Черепахин Ю. Философско-математическое осмысление природы человеческой гармонии. – 2006. – URL: feano.yorik.su/attach/17/6235.doc.
4. Лосев А.Ф. Гармония // БСЭ: 3-е изд. Т. 6. – М.: Изд. "Сов. энц.", 1971.
5. История философии: Энциклопедия / Составитель и гл. научный редактор А.А. Грицанов. – Минск: Книжный Дом, 2002. – 1376 с.
6. Философский энциклопедический словарь / Ред. сост.: Губский Е.Ф., Кораблева Г.В., Лутченко В.А. и др. – М.: Инфра-М, 2003. – 576 с.
7. Миронова Л.Н., Иванов Д.Г. Теория гармонии. – 2008. – URL: http://mironovacolor.org/theory/harmony_theory/#.
8. Гегель Г.В.Ф. Эстетика: в 4-х т., Т. 1. – М.: Искусство, 1968. – 312 с.
9. Всемiром. Определения // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.14954, 14.12.2008. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0226/003a/02261002.htm.
10. Декарт Р. Правила для руководства ума // Декарт. Соч. в 2-х т. Т.1. – М.: Мысль, 1989. – С. 77–153.
11. Щедровицкий Г.П. Процессы и структуры в мышлении. – М.: Путь, 2003. – 320 с.
12. Богданов А.А. Тектология. Всеобщая организация науки / Под ред. Л.И. Абалкина. – М.: Экономика, 1989. – Т. 1. – 304 с.
13. Успенский В.А. Апология математики, или о математике как части духовной культуры // Новый Мир. – 2007. – № 11–12.
14. Болибрух А.А. Проблемы Гильберта (100 лет спустя). – М.: МЦ НМО, 1999. – 24 с.
15. Марутаев М.А. Гармония мироздания // Сознание и физическая реальность. – 1997. –№ 2(4). – С. 35–52.
16. Шадрин В. Гармония – глазами не математика // Грани эпохи. – 2009. – № 37.
17. Гегель Г.В.Ф. Работы разных лет. В 2-х томах. Т.2. – М.: Мысль, 1971.– 630 с.
18. Сергиенко П.Я. Глобальный проект Математики Гармонии // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.14163, 23.01.2007. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001b/00161331.htm.
19. О разуме // О самом важном. Беседы Джидду Кришнамурти с Дэвидом Бомом: Пер. с англ. – 1996. – URL: http://lib.uka.ru/lib2/10/KRISHNAMURTI/oglawnom.html.
20. Шестаков В.П. Гармония как эстетическая категория: Учение о гармонии в истории эстетической мысли. – М.: Наука, 1973. – 256 с.
21. Сороко Э.М. Золотые сечения, процессы самоорганизации и эволюции систем. Введение в общую теорию гармонии систем: 4-е изд. – М.: ЛИБРОКОМ, 2012. – 262 с.
22. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой: Пер. с англ. – М.: Прогресс, 1986. – 432 с.
23. Мартыненко Г.Я. Математика гармонии: Возрождение (XIV–XVI вв.) // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.16006, 20.07.2010. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161679.htm.
24. Щетников А.И. Золотое сечение, квадратные корни и пропорции пирамид в Гизе // Математическое образование. – 2006. – № 3 (38). – С. 59–71.
25. Клещев Д. Исторические корни аксиоматических противоречий и математика гармонии // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.16005, 20.07.2010. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321187.htm.
26. Василенко С.Л. Бифуркации в нелинейной динамической модели, основанной на "золотой" пропорции // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.15232, 14.04.2009. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/012a/02322037.htm.
27. Мартыненко Г.Я. Ещё раз о термине «Математика гармонии» // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.15503, 02.09.2009. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321153.htm.
28. Абачиев С.К. Математика гармонии: от разработки "по горизонтали" к разработке "по вертикали" // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.16008, 22.07.2010. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321188.htm.
29. Арнольд В.И. Математическая дуэль вокруг Бурбаки // Вестник РАН. – 2002. – Т. 72, № 3. – С. 245–250. – URL: mccme.ru/edu/index.php?ikey=viarn_burbaki.
30. Blackburn S. The Oxford Dictionary of Philosophy. – New York: Oxford University Press, 1994, 2005. – 408 p.
31. Dimitrov V. A New Kind of Social Science: Study of Self-organization of Human Dynamics. – Morrisville: Lulu press, 2005. – 112 р.
32. Гнеденко Б.В. Математика наука древняя и молодая // Архитектура математики. – М.: Знание, 1972. – 48 с.

Автор благодарит Петра Сергиенко за совместную работу «Математика и гармония целостности» (2010) и одновременно отмечает, что озвученные в настоящей статье «Гармония и математика» подразделы-материалы составлены собственноручно.