Иллюзия – высшее наслаждение.
Оскар Уайльд

Предыдущие параграфы [1, 2] посвящены обсуждению тем, близких к философским размышлениям. Взятая пауза – небольшая прелюдия к частному, но не безынтересному вопросу из проблематики математической направленности.

Остановились на посыле, что для условной локализации истины в ряде случаев допустимо привлекать "золотую пропорцию". Иногда больше подходит её красивый теологический синоним "божественная пропорция" Луки Пачоли. С дополнительным колоритным образом курочки Рябы и яйца в авторстве неутомимого критика и активного радетеля православия и славянского просвещения [3].

И так, уважаемый Владимир Говоров...

Он же, по его словам, «д. ф.-м. наук Князь Гвидонъ» [4].

Иногда пишет под псевдонимом "Романовъ В.К." (trinitas.ru/rus/doc/avtr/01/1385-00.htm).

Первое упоминание его исследований в наших публикациях соотносится с анализом [5] результатов работы «Международного online семинара по математике гармонии» (2012) на страницах АТ. Как отмечалось, автора «отличает применение обозначений, напоминающих иероглифы, и старославянских твёрдых знаков. Кто-то находит в этом "свежую струю". Не спорим. Хотя всё это элементарно докучает, отнимает время и затрудняет восприятие текстов». – Далее будем его цитировать максимально точно, но с небольшой корректурой согласно современному русскому написанию, привычному для широкой аудитории.

Предложенная им терминологическая проблематика, а также отдельные дискуссионные моменты частично отражены в статье [6].

В работе [7] подчеркивалась целеустремленность и самоотверженность автора. С его желанием докопаться до сути, казалось бы, всем понятных и давно устоявшихся основ.

К сожалению, многие из таких основ он одним росчерком пера легко низвергает оптом в бездну или чохом выбрасывает в корзину. В этом есть определенный вызов времени. Вызов с попыткой превратить собственные метафоры в научные понятия. Хотя ортодоксальные выпады в математической области – не самый лучший способ донести свою позицию.

Нет необходимости повторять ранее высказанные соображения. Но отдельные ключевые моменты требуют некоторой деталировки. На них и остановимся...

Основной предмет разговора

Говоров принципиально различает божественную и золотую пропорции (БП и ЗП).

Первая – это пропорция с отношением Ф ≈ 1,618, где он рассматривает взаимосвязь: «целое – большее – меньшее». Как Евклид, Лука Пачоли.

Другая (золотая) – у него пропорция с любым отношением, в которой объединяются «большее – среднее – меньшее».

Например, он описывает «золотое отношение: большее так относится к среднему, как среднее к меньшему» [8, с. 52-53]. Далее приводит пример «324/108 = 108/36 = 3» и называет данное число «первой золотой пропорцией в десятиричной системе».

По его убеждению, «главное отличие ЗП от БП – золотая может принимать разные (любые) значения, в том числе и БП» [3].

Таким образом, автор предлагает оставить классическую задачу Евклида такой, какой она есть. Но возникающую из этого пропорцию называть – божественной.

Понятие золотой пропорции он расширяет, снимая евклидово ограничение по сумме частей, и приводит к виду: большее/среднее = среднее/меньшее. Здесь большее не обязательно равно сумме среднего и меньшего. В частности, может быть меньше. Как стороны прямоугольного треугольника: гипотенуза меньше суммы катетов. Хотя на языке философии бывает наоборот: целое больше суммы своих частей. Привнося нечто существенное в чисто арифметическую сумму. За счет наличия связей-отношений между элементами.

Чтобы в этом клубочке разобраться и говорить-апеллировать аргументировано, напомним некоторые положения.

Непрерывная пропорция

Ещё в пифагорейской школе мы находим учение о средних величинах, как о пропорциях и отношениях величин. Насчитывалось всего десять видов "средних величин" [9].

Из них три (арифметическое, геометрическое и гармоническое среднее) вошли в современную математику.

Средний член пропорции древние ученые понимали не только количественно, но и просто как средний элемент. Так, в целых числах [10, ч. 2, гл. 1, § 2]:

• арифметическая пропорция (1:2:3) свидетельствует о постоянном нарастании предметов на одну и ту же величину;
• геометрическая пропорция (1:2:4) подразумевает нарастание в одно и то же число раз;
• гармоническая пропорция (3:4:6) говорит о таком отношении целого и частей, при котором мыслится одинаковость отношения двух каких-нибудь частей к своему положению относительно третьей части.

Например, в гармонической пропорции трех чисел (3, 4, 6) второй член получается из первого, как путем прибавления к последнему одной его трети, так и путем вычитания из третьего одной трети этого последнего. Фактически она представляет арифметическую прогрессию обратных величин (по мере нарастания): 1/6, 1/4, 1/3.

Соотношение чисел в пропорции подразумевалось примерно такое [11, ч. 7, гл. 6, § 1]:

• арифметическая пропорция c – b = b – a, разница между двумя числами одной пары равняется разнице чисел другой пары;
• геометрическая пропорция c:b = b:a, третий член так относился ко второму, как второй к первому;
• гармоническая пропорция c:a = (c–b):(b–a), на какую часть своей собственной величины один член превосходит другой, на ту же самую часть третьего члена этот последний превосходит второй.

Непрерывная пропорция – геометрическая пропорция, у которой средние члены равны.

Например, 12:6 = 6:3. Пропорция образуется тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Величины, составляющие непрерывную пропорцию иногда именуют непрерывно пропорциональными [12, с. 24].

У Евклида средний член или прямая ограниченной длины называется «средней пропорциональной» (Кн. VI, предложение 13) [13, с. 189].

Как видно, непрерывная геометрическая пропорция c/b=b/a не имеет никакого отношения к золотой пропорции. А если имеет, то ровно столько, сколько квадратное уравнение общего вида x²–px–q=0 к его частному "золотому" случаю x²–x–1=0 с единичными коэффициентами.

Божественная пропорция ≡ золотая пропорция

Золотая пропорция стала одним из ярких и уникальных математических объектов, уходящих в глубину времен античности.

Она имеет непосредственное отношение к средним величинам. Впервые встречается в знаменитых "Началах" Евклида (~2300 лет назад), где применялась в качестве обусловленного свойства и алгоритма для построения правильного пятиугольника [7].

Золотая пропорция образуется из среднего геометрического или непрерывной пропорции c:b = b:a, если ввести дополнительное условие c = b + a. Данное равенство часто соотносят с аддитивным делением величины с (целого, отрезка) на две непересекающиеся части a и b.

Имеется альтернативный вариант пропорции: средние члены равны, а последний член представляет собой разность между первым и средним b:a = a:(b–a). И другие...

В математическом аспекте ЗП и БП – синонимы, и своим истоком обязаны «делению в крайнем и среднем отношении» Евклида, Евдокса.

Итальянский математик, монах-католик Лука Пачоли в книге «О божественной пропорции» (1509) [14], по сути, изощрялся в словесности эпического жанра, излагая практически все теоремы из евклидовых "Начал", написанных до него почти за 2000 лет.

Термин "золотой пропорции" прижился сравнительно давно и основательно. Вошел в сотни книг и научных статей на разных языках.

Усилия Говорова по устранению и/или изменению её смысла в чём-то похожи на сражение Дон-Кихота с ветряными мельницами.

Божественная пропорция – на сегодня исторически-терминологический анахронизм. Художественный образ средневекового монаха. В научно-технической литературе этот термин практически не применяется и без каких-либо потерь вычленяется из научного лексикона.

Он ничего в себе не несет, кроме теологической напыщенности.

Труд Пачоли – прекрасное литературное произведение богословской направленности. Замешан на евклидовой математике с добавлением примера золотого деления числа 10, который он "списал" (перенял) у арабов.

Единственное и несомненное достоинство книги: в ней впервые изложены способы практического построения правильных многоугольников и выпуклых многогранников.

Допускается сколь угодно фантазировать о философии Пачоли, но отчетливой божественно-тринитарной идеи там тоже не найти. Теологическая модель «трое равны в одном» из божественной пропорции никак не получается.

В наши дни книга не имеет научно-математического значения. Её терминология мало кого волнует. Разве что доставляет эстетическое удовольствие от прочтения. Плюс к этому, знакомит с великолепными художественными творениями Леонардо да Винчи – его рисунками.

В истории науки несравнимо большую роль играет выдающийся математический труд Пачоли «Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций» (1494).

Не потому что он был лучшим. Но потому что он был первым.

Терминологические лабиринты

Итак, Говоров ставит знак неравенства БП ≠ ЗП между божественной и золотой пропорцией. Так ли это?.. – Проанализируем под другим углом зрения [7].

Де-факто книга Пачоли была восторженным гимном золотой пропорции. «Ценность этого текста заключается не столько в его исторической важности в связи с золотым сечением, сколько в представлении состояния математики в ту далекую эпоху» [15].

Автор русского перевода "божественной пропорции" А. Щетников отмечает:

«Под "божественной пропорцией" ПАЧОЛИ понимает непрерывную геометрическую пропорцию трёх величин, которую ЕВКЛИД называет «делением в среднем и крайнем отношении», а в XIX веке её стали называть "золотым сечением". В определении этой пропорции и описании её свойств ПАЧОЛИ следует за ЕВКЛИДОМ. Данная пропорция возникает при делении целого на две части, когда целое так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей. На языке равенства площадей эта же пропорция задаётся так: квадрат на большей части равен прямоугольнику, сторонами которого служат целое и меньшая часть… ЛУКА излагает различные свойства «божественной пропорции», известные по XIII и XIV книге Начал ЕВКЛИДА... Все эти свойства он сопровождает одним и тем же числовым примером, когда длина целого отрезка равна 10, а его части составляют: меньшая 15 – √125, а большая √125 – 5» [16].

В элементарной математике существует четкое определение: «Пропорция, в которой средние члены равны, называется непрерывной; например, 18:6 = 6:2. Средний член непрерывной пропорции есть среднее геометрическое крайних членов» [17, с. 122].

Непрерывность означает, что одинаковые средние члены пропорции являются связующими и равны среднегеометрическому значению крайних членов.

Других дополнительных ограничений нет.

То есть объект, которому Говоров пытается навязать понятие золотой пропорции, давно определен и называется геометрической (непрерывной) пропорцией.

Например, в любом прямоугольном треугольнике высота h, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу c, делит последнюю на отрезки a' и b', составляющие с высотой непрерывную пропорцию: b' : h = h : a'. Никакого терминологического золота!

Если дополнительно положить b' = a' + h, придав большему крайнему члену пропорции аддитивное свойство, то она приобретет вид (a' + h) : h = h : a' и становится "золотой".

Образцово-показателен в этом плане прямоугольный треугольник Кеплера с его геометрической (непрерывной) пропорцией сторон: гипотенуза так относится к большему катету, как он – к меньшему катету. Отношение сторон равно квадратному корню √Ф.

То есть пропорция – не золотая, хотя и содержит число Ф под знаком радикала.

При этом площади квадратов, построенных на сторонах, образуют золотую пропорцию!

Таким образом, БП – синоним ЗП. И это справедливо принято во всём научном мире.

Собственно и сам Говоров в научном журнале отмечает [18], что к фундаментальной константе относится золотая (божественная) пропорция Φ = 1,61803… Отсюда непосредственно следует абсолютное отождествление им понятий золотой и божественной пропорции. Но в изданиях с пониженным уровнем научности он начинает фантазировать.

Вспомним Никомаха из Герасы [19, с. 128]: «И тебе нужны такие правила, которые будут подобны неизменным и нерушимым законам природы, и по которым всё вышеназванное будет расходиться во все стороны от равенства без каких-либо исключений. И эти правила таковы: "Положи первый член равным первому, второй равным сумме первого и второго, а третий – сумме первого, удвоенного второго и третьего". И если ты будешь действовать по этому закону, ты сначала получишь по порядку все виды многократного, исходя из трёх членов равенства, и они взойдут и вырастут без твоей помощи и участия ...».

То есть из непрерывной пропорции в альтернативной записи a : b : c по указанному правилу получается новая непрерывная пропорция a : (a + b) : (a + 2b + c) и т.д.

Ранее мы отмечали, что в своем безудержном преклонении перед "божественной пропорцией" наш автор не одинок. Достаточно вспомнить одну реплику [20]. Начинается она правильно: «Сейчас вопрос о применении точной научной терминологии стоит с особенной силой». Но потом дается посыл, вызывающий недоумение. Будто только «божественная пропорция» отвечает верной терминологии, которая «обрела свою вторую молодость». Теперь с её помощью «наша математическая наука стремительно движется вперед семимильными шагами – и будет странно читать "научные публикации", опирающиеся на сведения вчерашнего дня» [20]. – Безусловно, А. Черняев оставил неувядающий след, как самобытный и талантливый русский исследователь. Было время, полемизировали. Сейчас, увы, не можем.

формате PDF (169Кб)