Запустите многоразрядный калькулятор и пользуясь одним пальцем последовательно разделите первые шесть натуральных чисел на 7. Спасибо! Вы сделали открытие. Судите сами.

Как знатоки, так и дилетанты, считающие, что открытия витают в воздухе и могут упасть прямо в руки, уверены, что обыкновенные 1\7, 2\7, 3\7, 4\7, 5\7, 6\7 и периодические 0.(142857), 0.(285714), 0.(428571), 0.(571428), 0.(714285), 0.(857142) дроби как числа эквивалентны, то есть равны .

Период как повторяющийся фрагмент разложения обычной дроби в десятичную, назовём цифро-группой. При этом мантиссы иррациональных и рациональных чисел одинаково бесконечны, то есть не отличаются длиной записи. Однако среди целых чисел m и n есть такие, слэш-отношение m\ n которых в десятичной форме не имеет цифро-группы. Рациональные дроби без периода назовём конечными. Например, к ним принадлежат несократимые слэш-отношения 7\8, 7\16, 7\32, 7\40, 7\20, 7\10, 7\25 (см. Урок шестой).

Убедимся, что рациональные (целочисленные) отношения 1\7, 2\7, 3\7, 4\7, 5\7, 6\7 и якобы эквивалентные им периодические дроби 0.(142857), 0.(285714), 0.(428571), 0.(571428), 0.(714285), 0.(857142) не имеют общей единицы. И действительно, если 7\7 = 1, то замена слагаемых в цепном тождестве 1\7 + 6\7 = 2\7 + 5\7 = 3\7 + 4\7 = 1 десятичными аналогами даёт не единицу, а 0,(9). К примеру, запись выражения 3/7 + 4/7 = 1 в форме 0.(428571) + 0.(571428) не воспроизводит той единицы, что получена сложением обыкновенных дробей, трёх- и четырёх-кратных слэш-отношению 1\7, как бы равному  0.(142857) = α.

И действительно, число 0.(9) как сумму 0.(428571) + 0.(571428) нельзя округлить до 1, каким бы большим не было количество девяток в его записи. Поэтому не будем рассуждать о близости периодической дроби 0.(9) к единице в первую очередь потому, что понятие числа чисто человеческое, то есть антропоморфное по происхождению и по этой причине не избавленное от несуразностей в виде неопределимой разности между единицей с бесконечным количеством нулей и дробью 0.(9) с девяткой, повторяемой бессчётное число раз. Но эта очевидная «новость» переносит понятие бесконечности, как объекта умственных атак, из головы на бумагу, которой не хватит, чтобы для памяти записать одну- единственную периодическую дробь самым мелким почерком. И всей вселенной мало, чтобы в ней уместилось хотя бы одно иррациональное число без хвоста, за который можно ухватиться, чтобы вытащить число наружу, не порвав его умственным усилием на части, столь же бесконечные как и оно.

Итак, есть сомнение в эквивалентности целочисленных отношений и периодических дробей, мантиссы которых нарезаны периодами и по бесконечности не отличаются от мантисс иррациональных чисел. И хотя отсутствие цифро-группы отличает иррациональные скаляры от периодных, оно не сближает их с конечными дробями, имеющими свой смысл и особенности в теории, рассматривающей только рациональные дроби, построенные из натуральных чисел, принятых исходными примитивами. При этом на время забудем, что рациональные числа бывают конечными и займёмся дробями с периодами в виде цифро-групп.

При том, что фактически чисел нет, в природе есть количества, которые сравнивают с эталоном, чтобы потом величины, найденные измерением, сопоставить друг с другом как числа. И в результате отношение, например, двух масс оказывается отношением двух технических чисел, одно из которых равняется единице, если две порции вещества сравнивать между собой безэталонным (масштабно-инвариантным) способом. Ведь в таком случае единичным будет одно из двух взаимодействующих тел, что исключает их сравнение с третьим и упрощает формальные модели бинарных (дипольных) систем. Поэтому ожидаема и весьма возможна математическая система, построенная не на числах, а на отношениях чисел. И оказывается, что в теории числовых отношений не возникают и не нужны понятия рациональности-иррациональности, чётности-нечётности, а её элементы избавлены от ряда свойств, приписанных натуральным числам как членам множества с единицей счёта в самом начале.

формате PDF (265Кб)