Введение.

Наука небезупречна. Любой исследователь знает, что продвижение к успеху часто сопровождается неудачами. Даже выдающимся умам свойственно ошибаться.

«Мы почти всегда осуждены идти к истине через ошибки» (Д. Дидро, 1774).

Вся летопись науки – «это история проб и ошибок, которые совершали практически все без исключения великие ученые на пути к всемирному признанию, а иногда и после того, как оно состоялось» [1].

Есть и другая сторона медали. Далеко не каждый человек может признать свою неправоту. Особенно если он "обременен" грузом научных достижений и заслуг.

Субъективный фактор. – Ничего не поделаешь, ничего не попишешь.

Дело помощи утопающим...

Настоящая заметка навеяна воспроизведением в сборнике "De Lapide Philosophorum" (март, 2017) основательно подзабытого материала АТ десятилетней давности, – публ. 14555, 27.08.2007 и публ. 14688, 12.01.2008.

Акценты снова повторяются на страницах АТ, – публ. 23138, 08.03.2017.

Работа содержит два любопытных образа: «стратегические ошибки в развитии математики» и «математика гармонии» (далее по тексту СОМ и МГ) с параллельным использованием созвучного авторского термина "жвачка".

На наш взгляд, оба словосочетания являются во многом надуманными, а второе вдобавок терминологически неправильное.

С одной стороны, СОМ представляется как некая глобальная научная проблематика.

С другой стороны, предлагается чрезвычайно упрощенная схема преодоления СОМ через МГ, которая по авторскому замыслу сводится к двум алгебраическим уравнениям (?):

x ² = mx + 1 и x^p+1 = x^p + 1.

Их узость-ограниченность в огромном океане математики видна невооруженным глазом. Говорить об МГ, если таковая может существовать вообще, и тем более как о "спасительнице" математики, по меньшей мере, наивно.

Блестящий российско-украинский математик Б. Гнеденко – ученик и последователь А. Колмогорова – уподоблял математику большому ветвистому дереву, каждая ветвь которого представляет определенную область со своими разделами [2].

Структура-строение математических знаний, классификация их направленности сложились достаточно основательно. Но такое понятие, как "математика чего-то" в них не наличествует. Ни на одной веточке могучего дерева!

О стратегических ошибках.

Разноплановые стратегические ошибки постоянно сопровождают развитие человеческого общества.

Часто говорят об ошибках политических систем, старой и новой власти, дипломатии, развития образования, малого бизнеса, маркетинга, построения продаж во время кризиса...

Высказывают мнения относительно ошибок в методах приватизации госсобственности, в размещении производительных сил, в разведывательно-аналитической работе и т.д.

С математикой дело обстоит несколько иначе. Само понятие СОМ ей не свойственно и даже неприемлемо.

Не потому, что она закостенелая, консервативная или застрахована от ошибок.

Не потому, как иногда пишут люди малосведущие, она боится «говорить о стратегических ошибках, допущенных в результате человеческой самонадеянности и презрительного отношения к истории науки». Или об их «публичном оглашении», в котором якобы «не заинтересованы многие лица, занимающие как в России, так за рубежом, высокие научно-бюрократические посты».

Математика формируется всем международным сообществом. То есть развивается как мега-интернациональный плод коллективного разума.

В ней нет абсолютных авторитетов. Всей равны: от ученика школы до маститого академика. Что не сделал один, обязательно догонят и перегонят другие.

Практически всё на виду.

В ней нет запрещенных областей познания и самореализации.

В отличие от теоретических разработок в естественных науках, существуют многократно опробованные и достоверные способы проверки результатов. Опять-таки всем миром. Когда все одновременно не могут сойти с ума.

Неправильных математических теорий не бывает (И. Кричевер).

Хотя сложности подстерегают на каждом шагу. Они вызваны необычайно широким спектром математических исследований. Где "объять необъятное" чрезвычайно трудно и не каждому под силу.

Рассуждать о мифических «стратегических ошибках в развитии математики», – по меньшей мере, проявлять дилетантство. Тем более, когда эти ошибки связывают с «пренебрежением золотого сечения, односторонним освещением происхождения математических знаний или "Начал" Евклида и т.п.».

«В математике нет настоящих противоречий» (Гаусс).

Более того, преодоление неправильных гипотез, неверных теорем или допущенных ошибок часто служит толчком к созданию целых направлений математики.

Означает ли, что всё идеально и безоблачно? – Конечно, нет. Особенно в части математического образования.

Известный математик и педагог, проф. МГУ И. Шарыгин в своей актуальной статье отмечал [3]: «Сегодня мы не без разочарования наблюдаем достаточно серьезный кризис в нашем российском математическом образовании. Основные причины здесь вполне объективны и связаны с общим кризисом всего и вся в России. Но доля вины лежит и на математическом сообществе. Очень важно понять и проанализировать стратегические и тактические ошибки и просчеты, допущенные математиками, учеными и методистами, повлиявшими на снижение уровня математического образования и математической культуры в нашей стране».

Принципиальные ошибки на заре развития математики.

Если и говорить о неких существенных ошибках в развитии математики, то достоверно точно и преимущественно на заре её блуждания-становления в античную эпоху.

Действительно, наука лишь начинала формироваться. Многое, что является очевидным сегодня, в те времена только зарождалось.

Столбовой дороги не было. Отдельные просчеты были закономерны и неизбежны.

Приведем простые известные примеры.

Ложная математическая установка Аристотеля, согласно которой совершенными фигурами являлись только окружность и шар, сковывала развитие науки в течение целых веков [4]. Согласно априори принятому неверному положению, небесные тела (планеты и др.) должны двигаться исключительно по кругу. Эта ложная традиция буквально держала в плену ученых. Пока, наконец, её не разрушил И. Кеплер своими открытиями.

Понятно, не доставало опыта, знаний, не хватало совершенных измерительных инструментов. Но факт остается фактом.

Или взять становление геометрической алгебры в древнегреческой математике, которое описано А. Юшкевичем [5, с. 78].

Арифметика базировалась на понятии целого числа. Рациональные числа мыслились, как пары целых. Неожиданно выяснилось, что в общем случае отношение двух отрезков не может быть выражено отношением целых чисел (проблема √2).

В поисках возможных путей выхода из кризиса пифагорейской системы было несколько возможностей:

1) расширить понятие числа так, чтобы с помощью новых чисел можно было характеризовать отношение любых отрезков;

2) строить математику не на основе арифметики рациональных чисел, а в рамках геометрии, определив для геометрических величин все операции алгебры;

3) отказаться от строго логического построения учения о несоизмеримых величинах и перейти к нестрогому оперированию с иррациональными числами.

Третий путь для греков был изначально неприемлем, поскольку означал отказ от их основной идеи дедуктивного построения математики.

Первый путь на ранней стадии развития представлял огромные, можно сказать, непреодолимые трудности.

Греки пошли по второму пути. Это была ошибка в стратегии. Хотя на первых порах античная математика получила тактические преимущества. В частности, позволила обосновать некоторые теоремы и правила алгебры, оперируя такими основными объектами, как отрезки, прямоугольники и параллелепипеды.

Но в целом выбранная стезя существенно мешала гармоничному развитию всех частей математики. Делало её громоздкой, малоподвижной и неспособной к новаторскому духу.

Именно поэтому распространенную ныне систему счисления и многое другое придумали арабы, а не греки или римляне.

Ошибки ошибкам рознь.

Ошибки бываю разные. Поэтому, следуя народной мудрости, сначала нужно договориться о значении употребляемых слов.

Одни ошибки непроизвольны. Человек не хотел бы заблуждаться, да не получается.

Другие ошибки – преднамеренные. Их допускают сознательно, с целью специально направить-увлечь собеседника по ложному пути. – Так возникают софизмы.

Встречаются просчеты признанных авторитетов. Их "непререкаемость" оказывает медвежью услугу и способна навязать заведомо ошибочные идеи.

Так, академик С. Вавилов отмечал: «во всех спорах И. Ньютон неизменно выходил победителем, даже в тех случаях, когда он был совсем не прав».

Но всё это сравнительно быстро проходит.

Время и новые знания выступают наилучшими независимыми арбитрами.

Говоря о вымышленных СОМ, автор апеллирует к книге М. Клайна «Математика: потеря определенности». Цитирует отдельные высказывания: «история математики знает не только величайшие взлеты, но и глубокие падения… Большинство математиков... порвали с естествознанием» [6, с. 323] и т.п.

Заметим, напрасно. Сдаётся, не очень вник в суть монографии.

Клайн наоборот специально подчеркивает глубокий интерес к естествознанию… всех крупнейших математиков прошлого столетия: А. Пуанкаре, Д. Гильберт, Г. Вейль, Дж. Нейман, А. Колмогоров, Дж. Биркгоф и др.

Важен также общий лейтмотив: «Надо учитывать полемическую заостренность этой интересной книги, стремление автора пробудить читателя к размышлениям, вызвать его на спор, для чего Клайн иногда намеренно несколько драматизирует события. Так, он уделяет много внимания дискуссиям об основаниях математики, развернувшимся в начале нашего столетия и не стихающим до сих пор: однако при этом, конечно, надо учитывать, что "истинность" и применимость основного костяка математической теории ни у кого не вызывает серьезных сомнений» (И. Яглом) [6, с. 7].

Одна голова хорошо, а два сапога – пара.

Анализ публикаций (монографий, справочников, энциклопедий...) дает основание утверждать: СОМ, как категориальный образ, отсутствует.

Если и присутствует, то исключительно в умозаключениях одного автора.

Словесные фигуры речи "СОМ и МГ" более нигде не встречаются. Ни в специальной литературе по математике. Ни в её многочисленных прикладных направлениях.

Единичный плод фантазий. В одном экземпляре. – Легко проверяется и выясняется.

Суть необходимости МГ автор объясняет совокупностью простых тез. На уровне элементарной математики. На его взгляд, все ученые пренебрегают несколькими важнейшими вещами. Среди них: золотое сечение, взгляд Прокла на пять Платоновых тел в "Началах" Евклида, проблема гармонии, достойная оценка формулы Бине, свойства икосаэдра (по Клейну), система счисления Д. Бергмана. А также теория Кантора о бесконечных множествах, которая будто бы «является ни чем иным, как величайшей математической мистификацией 19-го века». Собственно и весь набор.

Всё это настолько узко и малосодержательно, беспредметно и беспомощно, что не стоит тратить усилия на их подробное разъяснение.

Золотая пропорция имеет место быть. Где встречается, обязательно звучит. В той же теории чисел, как существенный фактор фундаментальных неравенств и др.

Платоновы тела изучены вдоль и поперек. Там не осталось "темных пятен". Вместе с тем общая теория многогранников и геометрических тел достигла небывалых высот.

Формула Бине – это анахронизм или капля в море на фоне современных разработок в области разностных (возвратных) уравнений [7, 8]. Так называемые «гиперболические функции Фибоначчи и Люка», введенные на её основе, не наличествуют как объект развития! Они принципиально не записываются уже для простого квадратного уравнения общего вида x ² = mx + q.

Автор пишет: «Клейн трактует икосаэдр, основанный на золотом сечении, как геометрический объект…». Клейн действительно показывает, что в геометрии икосаэдра переплетаются идеи и конструкции, лежащие в основе разных математических теорий. Однако в своей монографии [9] он ни разу не обмолвился (ни словом или формулой) о золотой константе либо золотой пропорции.

Проблематика гармонии – нематематическая сфера. За исключением теории музыки. Традиционно.

Позиционные системы счисления с нецелочисленными основаниями b (рациональными, иррациональными, трансцендентными), включая систему Д. Бергмана b = Ф ≈ 1,618, не преданы забвению [10]. Равно как и не получили широкого распространения в мировой практике. Значит, есть на то причины. В том числе вычислительные сложности. В противном случае были бы давно востребованы. Без высокопарного призыва к "золотым революциям".

Кантор вообще вне конкуренции. Основы его теории множеств сегодня преподаются в школах. Это ли ни знак признания одного из хорошо узнаваемых математиков.

Путевка в жизнь замечательным математическим объектам-фракталам – тоже его вклад. Как и многое-многое другое.

Он замахнулся на покорение и формализацию бесконечности. Наитруднейший вопрос во все времена. Однако сумел найти доселе немыслимые решения.

Конечно, не обошлось без отдельных заблуждений. А у кого их не бывает? – Парадокс Кантора о множестве всех множеств, как логическое противоречие, по мнению Рассела, содержит логическую ошибку (принцип порочного круга): «То, что содержит всё множество, не должно быть элементом множества» [6, с. 240].

На основе теории множеств, французские математики Бурбаки создали непревзойденную систематику математических знаний. Их влияние на развитие математики по своей эпохальной значимости, пожалуй, является вторым примером после Евклида.

Не обошлось и без пригоршни критики – вполне нормального явления, например, российского математика В. Арнольда [11] по поводу: "естественного счета", научного определения натуральных чисел (как мощности конечных множеств), статуса нуля и др.

Хотя с тем же натуральным рядом всё достаточно просто. Ибо существуют два подхода и понятия. Есть количественное, которое охватывает ноль.

Сколько в пустой комнате людей? – Ноль. Но есть также обычный счёт: раз, два, три...

Здесь нет смысла ломать копья, чей ряд лучше и/или правильнее.

Математика развивается.

Математика развивается своим чередом. Как "чистая" (фундаментальная), так и прикладная.

Само понятие стратегических ошибок ей не свойственно! Можно сказать, чуждо.

Априори. По определению. Ибо математика имеет дело с абстрактной деятельностью, с идеальными образами-формами. Они как под рентгеном рассматриваются и оцениваются всем научным сообществом. Не только математическим, но и всем остальным. Ведь многие математики работают в других "смежных" областях: физике, астрономии, информатике и др.

Конечно, по отдельным направлениям обязательно встречаются трудности.

Со временем они всё равно преодолеваются.

Спектр математических дисциплин-направлений настолько широченный, что существует параллельное подспорье-развитие в разных науках.

Так, знаменитая теорема Гёделя о неполноте аксиоматических систем ничего не поломала. Наоборот свидетельствует о демократичности, триумфе и самоадаптации математики. Заставила переосмыслить отдельные положения и дала новые импульсы к развитию. Что не скажешь ни об одной из естественных наук и/или философии.

Возможны ли парадоксы? – Конечно, да. Если берут начало ещё с софистики, знаменитых апорий Зенона и т.п. Они есть сегодня, будут завтра и необходимы как свежий воздух-ветерок. В качестве движителя прогресса.

Практически нет ни одного запроса общества, на который математика не дала бы ответ. Процесс развития продолжается. Во всех областях. Начиная с теории чисел, и заканчивая топологией.

Более того, многие математические открытия (новшества) много раз опережали потребности своего времени, становясь востребованными спустя десятилетия.

В наше время появился новый тип доказательств... с помощью компьютера.

В. Хакен и К. Апель с помощью компьютера решили (1976) проблему четырех красок.

Данный подход можно ругать. – Но он есть.

Его можно не признавать. – Однако при правильном использовании он дает возможность обосновывать сложнейшие вещи. Давая надежду на "чистые" аналитико-логические доказательства. Со временем...

Мир сложен. Не всё в нем укладывается в простые логические схемы-построения.

Коллектив французских математиков под псевдонимом Бурбаки выпустил около тридцати томов "Элементов математики", построенных на основе теоретико-множественного подхода. В первом томе они отмечают: «Математике суждено выжить и что никогда не произойдет крушения главных частей этого величественного здания вследствие внезапного выявления противоречия... Вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это дает им право смотреть в грядущее спокойно» [12, с. 30].

«За пределами самой математики математические понятия и выводы явились фундаментом замечательных научных теорий» [6, с. 12].

Застрявшие в прошлом.

"Золотая революция", "математика гармонии", "обобщенные золотые сечения"... – это всё надуманные понятия. О «стратегических ошибках в развитии математики» говорит человек, который, мягко говоря, не очень избалован математикой.

Находясь под глубоким впечатлением формулы Бине, способной трансформировать иррациональные числа в натуральные аналоги, автор пытается запечатлеть собственный след. Достаточно напомнить, как он доказывал одну теорему собственного сочинительства: любое натуральное число N можно представить в виде суммы двух иррациональных чисел.

Две страницы частных примеров, без логического завершения.

Теорему принято доказывать! Автор просто демонстрирует её на конкретных примерах, после чего утверждает: «Продолжая наши примеры до бесконечности, можно показать, что любое натуральное число N есть сумма двух иррациональных чисел». – Ни дать ни взять. Особенно после критики Кантора в терминах "дурной бесконечности".

Но это не всё… Теорема с пафосом провозглашается очередным свидетельством эффективности "золотой" теории чисел. Как существенная составная часть некоей «математики гармонии» со ссылкой на свою книгу с одноименным названием.

Что ни говори, но диковинной получается реклама не только "золотой" теории чисел, но и в целом данного направления.

Между тем, доказательство в одну строчку [13].

Выберем пару чисел a = N/2 + √k, b = N/2 – √k, откуда следует N = a + b. Все!!

Ну, и в чём тут математика, да ещё представленная в виде теоремы?

Какую она решает важную теоретико-числовую проблему, когда на дворе XXI век?

На сегодня статья исчезла-испарилась.

В этом легко убедиться по индексу документов в каталоге АТ от 09–10.08.2009: есть публ. 15461 (Иванько) и публ. 15463 (Леонтьев). Между ними – пустое место. Незаполненная пустота – это и есть автор с той самой статьей.

Любопытно, но материал М. Леонтьева, следующий за зияющей дыркой, называется: «То, что мы сделали, – выдающийся факт нашей истории».

Весьма символично! Как прополка сорняков.

Похожая "теорема", уже другого автора, проанализирована в нашей работе [14].

Что их объединяет? – Попытки низвержения с пьедесталов выдающихся математиков. На фоне собственно-скудных познаний азов самой математики, которая официально называется элементарной и является предметом изучения в колледжах.

Ещё два слова об ошибках.

Есть разные математические теории. Одни долго остаются востребованными. Другие со временем предаются забвению.

Могут быть совершенными и не очень. Сложными и простыми.

Но ошибочными? – Вряд ли. Поскольку всё равно оставляют свой след.

В математике, работающей с идеализированными формами, имеет право быть любая, даже самая невероятная, но как-то обоснованная теория.

Например, часто критикуются комплексные числа и мнимая единица. Однако большое количество приложений успешно используют этот красивый аппарат.

Да и что означает сам термин: «стратегические ошибки математики»? – Значит, должны быть и некие тактические... Не понятно.

Могут быть случайные ошибки в доказательствах. – Они устраняются.

Бывают ошибки округления, ошибки модельного прогнозирования, ошибки аппроксимации.

Ошибки в развитии самой математики – суждение, больше мифическое.

Ну, и что с того, если "официальная наука" редко вспоминает золотое сечение или формулу Бине, идеи Прокла или Бергмана? – Тысячи, сотни тысяч разных работ многих ученых преданы забвению. Важно другое. Их идеи продолжают свою жизнь в новых знаниях.

Для этого не нужно выдумывать несуществующую "математику гармонии". Ни терминологически, ни по сути проявления.

Ибо вся математика по своему строению уже гармонична и красива.

В этой связи можно предложить вообще не упоминать гармонию, которая является понятием культурным, этическим и эстетическим. Об этом говорить нет смысла.

Раздел МГ, тем более под соусом исправления или преодоления несуществующих ошибок в развитии математики, является надуманным. Он зиждется на простой терминологической путанице пропорциональности и гармонии.

Благо, подобное искажение информационного пространства оборачивается перекосами лишь в сознании узкой группы людей. Что не способно никак повлиять на искривление объективной картины мира и, тем более, профанацию самой математики.

Математику трудно отнести к естественным наукам, изучающим природные объекты, явления и процессы или к гуманитарно-социальным наукам, изучающим человеческое общество. В этом смысле математика – не столько наука, сколько наднаука. Общий язык или "царица" наук.

Хотя с точки зрения оперирования идеальными образами признанный авторитет В. Успенский считал математику гуманитарной наукой, незабвенный В. Арнольд – частью физики. Видимо, дело вкуса и личных предпочтений.

Например, у нас математическая статистика – часть общей математики. На Западе статистика и теория вероятности образуют самостоятельный раздел науки. Причем большущего объема. Со своими задачами и методами.

Мерный путь математики продолжается.

Через все трудности, к познанию мудрости...

Per aspera ad astra...

Ссылки:

1. Десять глупых ошибок гениальных ученых // Фактрум. – URL: factroom.ru/facts/57199.
2. Гнеденко Б.В. Математика наука древняя и молодая // Архитектура математики. – М.: Знание, 1972. – 48 с.
3. Шарыгин И.Ф. Размышления о математическом образовании и соловье, или в чём провинились математики? // Лицейское и гимназ. образование. – 1999. – № 5. – С. 26-34.
4. Сухотин А.К. Парадоксы науки. 2-е изд. – М.: Молодая гвардия, 1980 – 240 с.
5. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / Под ред. А.П. Юшкевича: В 3-х томах. Том первый. – М.: Наука, 1970. – 354 с.
6. Клайн М. Математика: Потеря определенности: Пер. с англ. / Под ред. И.М. Яглома. – М.: Мир, 1984. – 434 с.
7. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей: Учеб. пособие. – 4-е изд., стер. – М.: КомКнига, 2006. – 376 с.
8. Утешев А.Ю. Разностное уравнение и рекуррентная последовательность. – URL: pmpu.ru/vf4/recurr.
9. Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени: Пер. с нем. – М.: Наука, 1989. – 336 с.
10. Чернов В.М. Арифметические методы синтеза быстрых алгоритмов дискретных ортогональных преобразований. – М.: Физматлит, 2007 . – 264 с.
11. Арнольд В.А. Математическая дуэль вокруг Бурбаки // Вестник РАН. – Т.72, № 3, с. 245–250 (2002). – URL: mccme.ru/edu/?ikey=viarn_burbaki.
12. Бурбаки Н. Теория множеств. Книга 1. Основные структуры анализа: Пер. с фр. – М.: Мир, 1965. – 456 с.
13. Василенко С.Л. Научная балда // Научно-техническая б-ка SciTecLibrary. – 04.09.2011. – URL: sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/11333.html // Математические и исторические исследования гармонии и красоты в природе и искусстве. – 09.09.2011. – URL: artmatlab.ru/articles.php?id=48&sm=2.
14. Василенко С.Л. В плену отрицательных иллюзий. § 2 // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22805, 10.12.2016. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163157.htm.