Аннотация

Рассматриваются основные понятия и некоторые конструкции р-адической математической физики. Обсуждаются понятия ультраметрического пространства и р-адического числа, некоторые факты из р-адического анализа, и приложения к теории всплесков и моделям статистической физики неупорядоченных систем.

1 Введение

К настоящему времени приложения математики были, в первую очередь, основаны на вещественном анализе, линейной алгебре над полем вещественных чисел, евклидовой и аналитической геометрии в вещественных линейных пространствах. Применение этих областей математики привело к впечатляющим достижениям в физике, химии, механике, и связанных с ними областях техники.

Причем зачастую прогресс в физике был связан с развитием математики. В течение тысячелетий в физике использовалась евклидова геометрия. В каком-то смысле физическое пространство отождествлялось с этой геометрией. Например, так считал Кант. В 19 веке русский математик из Казани Николай Лобачевский показал, что существуют и другие геометрические модели — неевклидовы. Сейчас различные неевклидовы модели играют огромную роль в физике, особенно в теории относительности. Работы Лоренца, Минковского, Пуанкаре, Эйнштейна перевернули традиционные представления о геометрии физического пространства. Это была революция в физике. Заметим, математическая революция.

В математике известно семейство геометрических моделей с необычными свойствами, применение которых в естественных науках было весьма ограниченным. Наиболее ярким примером является теория неархимедовых числовых полей, основным примером которых являются поля р-адических чисел. Такие поля являются важнейшим инструментом в теории чисел и алгебраической геометрии. В 80-х годах в Математическом институте имени Стеклова группой И.Воловпча было предложено использование р- адических чисел в физике. Совместно с академиком Владимировым в отделе математической физики был разработан соответствующий математический аппарат, приспособленный для приложений.

Первоначальной мотивировкой была следующая идея: наблюдаемы только целые и рациональные числа. Вещественное число, т.е. бесконечная десятичная дробь — это идеализация, которая в реальных прикладных задачах не встречается. Какова структура пространства на очень малых расстояниях? На Планковских масштабах происходят большие флуктуации метрики и топологии. Это приводит к тому, что аксиома измеримости Архимеда становится неприменимой, и И.Волович предложил использовать неархимедову геометрию и р-адические числа. Сейчас достаточно сказать, что все обычные целые и рациональные числа являются также и р-адическими. Здесь р — простое число, р—2, 3, 5, 7, .... Неархимедова геометрия имеет замечательные свойства. р-Адический шар состоит из конечного числа шаров меньшего радиуса, при этом нет пустот между меньшими шарами. В отличие от шаров в обычном эвклидовом пространстве, когда нельзя составить шар из конечного числа шаров меньшего радиуса так, чтобы не было пустот. Это свойство неархимедовой геометрии очень важно, т.к. оно означает, что здесь имеется естественная иерархическая структура. Имеется в виду, что меньшие шары строго подчинены большему шару.

В последние несколько десятилетий, начиная с 80-х годов XX века, мы были свидетелями первых применений р-адического анализа и ультраметрики в различных областях физики.

В частности, В.С.Владимиров и И.В.Волович разработали р-адические модели квантовой механики и теории струн, описывающие изменение геометрии пространства на планковских масштабах. Дж.Паризи предложил использовать ультраметрику в моделях спиновых стекол — примере сложной неупорядоченной системы. А.Ю.Хренников применял р-адический анализ к описанию моделей мышления. С.В.Козырев показал эквивалентность подхода Паризи в теории спиновых стекол и анализа р-адических псевдодифференциальных операторов, что дает надежду построения последовательного математического подхода в теории сложных систем. Также С.В.Козырев показал, что теория всплесков (вейвлетов), имеющая многочисленные прикладные применения, в частности, к сжатию и анализу изображений, нейросетям, анализу экспериментальных данных, связана с анализом р-адических псевдодифференциальных операторов. В.А.Аветисовым, С.В.Козыревым, и А.Х.Бикуловым разрабатывались подходы к описанию динамики биополимеров и макромолекул, основанные на ультраметрическом анализе.

Для дальнейшего изучения р-адической математической физики можно порекомендовать книгу

В.С.Владимиров, И.В.Волович, Е.И.Зеленов, р-Адический анализ и математическая физика, Москва, Наука, 1994.

2 Ультраметрические пространства, р-адические числа

Обсудим определение и основные свойства ультраметрических пространств вообще и р-адических чисел в частности.

Определение 1 Ультраметрическое пространство есть метрическое пространство с ультраметрикой d(x,y) (где d(x,y) называется расстоянием между хиу), то есть функцией двух переменных, удовлетворяющей свойствам положительности и невырожденности

d(x, у) ≥ 0,    d(x, у) =0     => х = у;

симметричности

d(x,y) = d(y,x);

и сильному неравенству треугольника

d(x, у) ≤ max(d(x, z), d(y, z))), ∀z

Сильное неравенство треугольника является чрезвычайно сильным свойством, налагающим существенные ограничения на свойства ультраметрических пространств. В частности, мы увидим, что это свойство служит в некоторой степени заменой существования преобразования Фурье, то есть групповой структуры.

Упражнение 1 Покажите, что в любом ультраметрическом пространстве все треугольники равнобедренны, то есть для любого треугольника длины двух из сторон равны. Покажите, что длина третьей стороны не превосходит длин этих двух равных сторон.

Упражнение 2 Пользуясь предыдущим упражнением, покажите, что любые два шара в ультраметрическом пространстве либо не пересекаются, либо один содержится в другом.

Напомним, что шар радиуса R с центром в x₀ есть множество точек, удаленных на расстояние не более R от точки x₀

Данные упражнения показывает, что ультраметрические пространства являются естественной моделью для систем с иерархией: шары дробятся на подшары иерархическим образом, и расстояние от точки вне шара до точки внутри шара не зависит от точки внутри шара, но определяется только шаром (то есть иерархиечески зависит от шаров).

Ультраметрический шар мы будем также называть ультраметрическим диском.

Упражнение 3 Покажите, что любая точка ультраметрического шара является его центром.

формате PDF (187Кб)