Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Дискуссии - Наука

С.Л. Василенко
Дуализм «двух сокровищ геометрии»: теоремы Пифагора и золотого сечения

Oб авторе


В работе представлены структурно-образующие модели, общие для теоремы Пифагора и золотого сечения. Ввиду простых и одновременно уникальных свойств, Иоганн Кеплер охарактеризовал эти математические объекты как «два сокровища геометрии». Такими объединяющими подосновами являются рекуррентные числовые последовательности, треугольники специального вида и др.

В частности, выделен равнобедренный треугольник, стороны которого соотносятся как периметр к их сумме. Решений здесь всего два: корень квадратный из двух и константа золотого сечения. Первое число символизирует квадрат и далее кубическую решетку. Второе, в своих различных проявлениях, больше тяготеет к биологическим и зоологическим объектам. Их единение в одной модели позволяет высказать предположение об особой роли и дуализме в структурировании живых и неживых материальных тел с одинаковым "строительным" алгоритмом формирования массы.


Оглавление

Введение

Золотое сечение в творчестве В. Зубова

"Симбиоз" двух сокровищ

Задача на разрезание

Числовое тождество

Алгоритм Рассела

Парно-дуальные ПИС-триномы

Модельные структуры пропорционального роста

Квадратные уравнения

Золотое сечение и √2 в равнобедренном треугольнике

Треугольник Кеплера

Нематематическая "мета"-суета

Зри в корень

Пифагоровы тройки

Пифагорово прочтение золотого сечения

Вместо заключения

Литература


 

Сокровище – то, что ищут долго и далеко, а оно валяется под ногами.

Так оно прячется. Р. Алев


Введение

В основу настоящей статьи положена наша работа [1]. Специально для АТ подготовлена обновленная версия с дополнением и рассмотрением новых результатов.

Название работы о «двух сокровищах геометрии» восходит к замечательному астроному Иоганну Кеплеру. Таким возвышенным слогом он характеризовал теорему Пифагора и модель золотого сечения (ЗС).

Но что характерно, в творчестве ортодоксов-приверженцев золотоносной тематики выдающийся ученый "воспроизводится", небрежно, как походя.

То и дело всплывают вольные искажения-инсинуации.

Наиболее точно отображает великого ученого средневековья в своем научном творчестве искусствовед и философ В. Зубов, вошедший в историю гуманитарной науки как «русский Леонардо». Именно он в своё время точно отмечал «ненаучную точку зрения автора (М. Гика), согласно которой формы природы и формы искусства <якобы> тождественны и подчиняются общим метафизическим законам числа и пропорций» [2].

Немецкий писатель-романист А. Шамиссо с восхищением сравнивал теорему Пифагора с истинным знанием (1836). Один из переводов его сонетов на русский язык начинается так: «Пребудет вечной истина, как скоро её познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора верна, как и в его далекий век» (1836).


Золотое сечение в творчестве В. Зубова

Наиболее полно проблематика ЗС раскрыта в докторской диссертации В. Зубова «Архитектурная теория Альберти» (1946). Данную тему "реставрировал" и прекрасно описал В. Белянин – педантичный приверженец историзма в области математики.

Разбираясь в противоречивых мнениях по истории термина «золотое сечение», В. Зубов приводит оригинальный текст высказывания Кеплера: «Существует два сокровища в геометрии: одно есть отношение диагонали прямоугольника к сторонам, другое – деление линии в крайнем и среднем отношении. Из первой вытекает построение куба, пирамиды и октаэдра, а из второго – построение додекаэдра и икосаэдра. Обе теоремы – бесконечной полезности и потому в высшей степени драгоценны... первую, гласящую, что стороны прямоугольника, будучи возведены в степень, равны квадрату линии, противолежащей прямому углу, – эту теорему, говорю я, вы справедливо уподобите куску золота, вторую, о пропорциональном сечении, назовете драгоценным камнем. Ведь она, хотя и прекрасна сама по себе, однако без первой ничего не стоит». – J. Kepler, Mysterium Cosmographicum, 1596.

Далее читаем: «Этот малоизвестный и, насколько я знаю, не переводившийся на русский язык текст важен во многих отношениях. Он не только с очевидностью показывает, что термин "золотое сечение" не принадлежит Кеплеру и что, по Кеплеру, "золотое сечение" следовало бы, скорее, назвать "алмазным"» (курсив наш – С.Л.).

Между тем, во всех публикациях «гармонистов-золотоискателей» (А. Стахов, Г. Мартыненко и др.) приводится затасканная до неприличия ложная "цитата", причем без какой-либо ссылки на источник: «В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем». – В искаженной интерпретации некоего американского математика.

Например, крупнейший геометр 20 века Г. Коксетер тоже дает несколько вольное изложение Кеплера [3, с. 236]. Но делает это весьма корректно: без прямого цитирования и со ссылкой на источник, – Kepler J. Gesammelte Werke, Munchen: C.H. Beck, 1938.

До сих пор, кроме В. Зубова, никто из авторов-гармонистов, с их гипертрофированной претензией на исторические линии, не удосужился заглянуть в труды Кеплера.

В итоге перекроенная фраза Кеплера стала со временем такой же смехотворной нелепостью, как и утверждение, что термин "золотое сечение" придумал то ли Птолемей, то ли Леонардо да Винчи.

Действительно, «многие современные книги на тему золотого сечения пестрят произвольными умозрительными допущениями и не имеют никакого отношения к науке, разве что близки к жанру научно-фантастической журналистики» (В. Белянин), например:

«Имеется много авторитетных свидетельств о том, что именно Леонардо да Винчи был одним из первых, кто ввел сам термин "золотое сечение" (?)». – А. Стахов, «Код да Винчи и ряды Фибоначчи»;

«Термин "золотое сечение" (aurea sectio) идет от Клавдия Птолемея, который дал это название числу 0,618 (?)… Закрепился же данный термин и стал популярным благодаря Леонардо да Винчи, который часто его использовал». – Э. Сороко, «Золотые сечения, процессы самоорганизации и эволюции систем».

На это счет нет никаких исторических фактов. Одни лишь выдумки-фантазии или "золотой лохотрон" (А. Чернов), дабы украсить собственные творения старинным налетом таинственности и античной мудрости. Вроде как их работы питаются соками-корнями древности, под соусом которых исподволь "протаскивается" любая ересь: множество золотых констант-сечений или иной подобный вздор.

Надо сказать, "гармонисты" в своем грубом искажении не одиноки: «Такое деление (точкой С) Пифагор называл золотым делением, или золотой пропорцией, а Леонардо да Винчи – общепринятым сейчас термином золотое сечение» [4, с. 12]. – Такой откровенный абсурд писал доктор философии Ю. Урманцев. Кстати, нужно признать, хороший ученый в своей области – общей теории систем. Только вот с отдаленным прошлым нелады.

Сегодня точно известно, что «термин "золотое сечение" вошел в употребление лишь в девятнадцатом веке» [5, гл. 23]. Первое терминологическое упоминание goldener schnitt соотносится с немецким математиком Мартином Омом (1835) – братом физика Г. Ома.

В 1875 г. данное словообразование впервые попадает в восьмое (!) издание Британники – наиболее полная и старейшая универсальная энциклопедия на английском языке (печатается с 1771 г.), хотя в предыдущих семи его нет.

В 1906 г. публикуется перевод книги другого немецкого математика А. Шустера [6], где в разделе «Квадратный корень» говорится: «Решенная выше задача называется задачей о «золотом сечении» (sectio aurea)». – Именно с данной книги или других близких по времени работ термин "золотое сечение" утверждается в русской литературе.

Что касается непомерной фетишизации ЗС или его вездесущности-присутствия, то В. Зубов в седьмой главе своей диссертации отмечал:

«"Золотые отношения" – побочный результат геометрических построений, следствие, а не причина... Наконец, эмпирическая констатация "золотых отношений" путем обмеров ничего не дает и ничего не доказывает, прежде всего, поскольку она всегда уже является плодом известного теоретизирования, известной интерпретации сырых цифр, их "пригонки" друг к другу».

Не случайно, на спаде архитектурно-золотоносного бума в марте 1948 на «активе зодчих столицы» акцентировалось внимание, что отдельные архитекторы «питаются псевдонаучной теорией о всемогуществе пресловутого "золотого сечения", теорией о существовании ... неких "вечных" канонов красоты и гармонии... Этой идеалистической шелухой засоряют головы нашей архитектурной молодежи». – Если ЗС как-то и соотносится с мерилом красоты-гармонии, то должно, конечно, использоваться в меру.


"Симбиоз" двух сокровищ

По образному сравнению Кеплера теорема о пропорциональном (золотом) сечении прекрасна, но без теоремы Пифагора «ничего не стоит».

Не будем столь категоричны.

Ибо, в отличие от геометрических закономерностей в прямоугольном треугольнике, золотая пропорция имеет более широкое толкование, выходящее далеко за пределы планиметрии [7]. – Это к слову...

Напротив, нас интересует единение этих замечательных математических структур.

В качестве идеального прообраза теоремы Пифагора выберем наиболее древнюю форму – квадрат с единичными катетами и диагональю, равной корню квадратному из двух.

Именно эта фигура в свое время положила начало перевороту в сознании античных ученых в связи с открытием несоизмеримых геометрических отрезков.

Возникло нечто, невыражаемое с помощью привычных натуральных чисел. То есть, геометрически оно есть, как диагональ квадрата 1Ч1, но арифметически – нет.

В конечном итоге это привело к развитию нового исчисления и разработке теории иррациональных чисел, которые не представимы в виде отношения целых чисел.

Таким образом, наша задача несколько сужается и сводится к поиску общих оснований-истоков двух констант Ф = (1+√5)/2 и √2 или математических моделей, связывающих (интегрирующих) эти алгебраические числа. Как положительные корни простых уравнений

x2x–1=0 и x2–2=0.

В некотором смысле квадратные уравнения являются первой структурой, объединяющей две фундаментальные математические константы.

Надо сказать, иррациональность буквально приводила в гипнотический шок древнегреческих ученых, которые самозабвенно исповедовали арифметику целых чисел:

«число есть множество, которое может быть измерено единицей», Аристотель, "Метафизика";

«число же – множество, составленное из единиц», Евклид, "Начала", 7 книга.

Да, и не мудрено. Действительно, трудно себе вообразить-представить, что вычерченные перед глазами отрезки не имеют общей меры длины!

Однако продолжим...


Полный текст доступен в формате PDF (871Кб)


С.Л. Василенко, Дуализм «двух сокровищ геометрии»: теоремы Пифагора и золотого сечения // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.23021, 03.02.2017

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru