Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Дискуссии - Наука

С.Л. Василенко
В плену отрицательных иллюзий. § 2

Oб авторе


В геометрии нет царской дороги...

Авторство фразы по разным легендам

"оспаривают" Евклид и Менехм [1, с. 44]


Математика – это вам не физика,

где можно химичить...

Студенческий фольклор



По решению ЮНЕСКО уходящий 2016 год объявлен Годом Аристотеля – «величайшего мыслителя древности» (К. Маркс), родившегося 2400 лет назад.

В мае в греческих Салониках прошел Всемирный конгресс «Аристотель: 2400».

В июле – в Афинах состоялся Всемирный философский конгресс «Философия Аристотеля».

Институт философии РАН организовал Международную конференцию «Аристотелевское наследие как конституирующий элемент европейской рациональности» (Москва, октябрь 2016).

Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина устроил круглый стол «О перспективных направлениях исторической реконструкции философии Аристотеля» (октябрь 2016).

Мир чествует одного из влиятельнейших философов всех времен, основоположника формальной логики (аналитики – по Аристотелю) и многих современных наук.

Приятно отметить, что данная тема не обошла стороной и страницы АТ в изложении ряда авторов: П. Сергиенко, В. Кудрина, Д. Клещева и др.

Продолжая начатую нами тему [2], обратим внимание на весьма показательную в этом аспекте работу [3]. С именем Аристотеля в ней соотносятся два вопроса: апории Зенона и математическая соизмеримость величин. Несмотря на историю с длинной бородой, данная проблематика по-прежнему жива и злободневна в наши дни.

Попытаемся проанализировать отдельные моменты.

Выделив лишь основные направления, с их условным разделением на небольшие подразделы. Для удобства изложения.

И так, Денис Клещев...


1.Основания математики

Автор справедливо увязывает имя Аристотеля с <философскими> основаниями математики. Хотя без упоминания его учителя Платона данный посыл является, конечно, неполным [4]. Именно Платону принадлежит концепция, согласно которой математические объекты являются абстрактными, вечными и причинно не связанными с материальными предметами, эмпирическим опытом.

Аристотель жил во времена повышенного интереса к строгим математическим доказательствам и был "обречен" привлекать математику в свои знаменитые философские трактаты. Тогда само понятие математики /mathema – наука, знание/ означало единение знаний и включало "квадривиум" (Боэций): арифметика, геометрия, музыка и астрономия.

Он обсуждает разные общие понятия: материи и движения, пространства и времени...

Подробно освещает проблемные вопросы о существовании пустоты, о конечных и бесконечных представлениях, о первичных качествах и др.

Но не всё так гладко и ровно, как часто преподносят отдельные ученые.

В его огромном научно-философском наследии нет математических исследований.

Он не поставил и не решил ни одной математической задачи.

Не признавал методы эксперимента и математического анализа. Считал недопустимым применение математики в изучении природы.

Своим непререкаемым авторитетом Аристотель сделал философию "главенствующей" наукой – "царицей", чем, по сути, внес путаницу в иерархию наук.

Поэтому, если он и стоял у истоков, то не столько оснований самой математики, сколько в её дезориентации, допустив ряд методологических просчетов.

Он утверждал, что только философия найдет начала математики.

На сложное устройство чисел наложил фактическое "табу".

Критикой «теории идей» математику "выдворил" из философии и др.

Более того, Аристотель откровенно недолюбливал и не ценил математику. Можно сказать, считал её «служанкой философии». Отсюда и соответствующий угол зрения-рассмотрения математики в его философских сочинениях.

Тем самым он фактически "выплеснул" математику из философии.

В итоге, математика на многие столетия осталась без оснований. А философия эти основания так и не нашла!

Результаты таких «аристотелевских оснований математики» мировая наука пожинает до сих пор. – Это если попытаться быть более-менее объективными. Исторически.

Нисколько не принижая величайший гений. Тем более, в такой юбилей.

Благо, многие выдающиеся математики Азии, Европы и Америки не всегда следовали его курсу, создавая шедевры человеческой мысли вне философии, и без неё.


2.Апории Зенона или "лбом об стену"

Статья [3] содержит такие строки [цветом выделено мною – С.Л.]:

«Некорректные доказательства применялись, например, в апориях Зенона Элейского»;

«По ходу доказательства Ахиллес и черепаха, имеющие определенные размеры, подменялись совсем другими терминами, а именно двумя точками, не имеющими размеров. Для двух таких абстрактных точек можно доказать не только то, что Ахиллес не догонит черепаху, но и то, что Ахиллес и черепаха вообще не существуют, иначе расстояние до черепахи однажды оказалось бы меньше ступни Ахиллеса, и он бы ее догнал».

Далее автор называет это софизмами и абсурдными выводами (?).

Напомним, что соотнесение динамики движений Ахиллеса и черепахи в апории Зенона – это умственно-эмоциональная аллегория. Красочный образ.

Кстати, не обязательно догонять. Точно так же можно сравнивать, например, встречное движение поездов по типу школьной задачи: «из пункта А в пункт Б...».

Ещё нагляднее выглядит собственный бег-приближение по направлению к неподвижной каменной стене. Здесь можно не только поупражняться интеллектуально, но и проверить вывод о недосягаемости препятствия на практике. Желательно в каске.

Прежде всего, ошибочно воспринимать рассуждения Зенона софизмами.

Скорее, это парадоксы, которые «отличаются от паралогизмов и софизмов тем, что они возникают не в результате непреднамеренных и намеренных логических ошибок, а из-за неясности, неопределенности и даже противоречивости некоторых исходных принципов и понятий...» [5, с. 266].

Как часто вспоминают остроумную ремарку русского писателя Даниила Гранина, софизм – это ложь, обряженная в одежды истины, а парадокс – истина в одеянии лжи.

Прекрасное, короткое и ясное объяснение-сравнение.

Парадоксы возникают из-за некорректного применения к реальности идеализированных понятий "точка пространства" и "момент времени", которые не имеют в реальности никаких аналогов. Ибо любой физический объект имеет ненулевые размеры, ненулевую длительность и не может делиться бесконечно (Д. Гильберт, П. Бернайс, Основания математики, 1934).

Зенон был отменным философом и непревзойденным логиком. В полном здравии ума.

Нужно просто окунуться в атмосферу тех давних лет.

Логика рассуждений была возведена чуть ли ни в культ.

Своим примером умственных рассуждений Зенон показывал изъяны построения четких логических линий на фоне принятых исходных посылов-гипотез.

Вопреки автору [3], его выводы нисколько не абсурдны.

Наоборот. Они изящны и великолепны!

Наглядно показывают, что где-то в логических построениях содержится изъян.

Зенон дает отчетливый посыл: вот я вам рассказал, попробуйте найти дефект и т.п.

И дело не в размерах Ахиллеса и/или черепахи. С таким же успехом можно измерять-оценивать расстояние, между реальными точками – кончиком носа Ахиллеса и кончиком хвоста черепахи. Или между центрами шаров в бильярде. Не в этом суть...

«Аристотелевская критика зеноновских парадоксов основывается на установлении различия между актуальной и потенциальной бесконечностью и признании потенциально-бесконечной делимости характеристическим свойством непрерывного» [6, с. 366].

Но даже он не смог до конца убедительно объяснить суть парадокса.

«Аристотелю не удалось опровергнуть аргументы по той простой причине, что в логическом отношении доказательства Зенона составлены безукоризненно»! [7, с. 29]

Кто и сбивался в доказательствах, так это сам Аристотель.

Подменяя формализованный язык и логику математики представлениями о непрерывном времени и пространстве. Что вовсе не факт! А лишь гипотеза.

Пространство и время только кажутся непрерывными и гладкими, но, вполне вероятно, на микроуровне они устроены иначе.

Как свидетельство невозможности их бесконечного деления.

Что, впрочем, не мешает теоретикам геометрии принимать идеализированные формы в виде точки, не имеющей геометрических размеров.

Частичное понимание процессов и некоторые математические доказательства пришли гораздо позже. Например, с появлением теории непрерывных функций, возникновением и формализованным умением находить пределы переменных величин и др.

Но и они не дали окончательного решения.

Зенон задал тон многовековым научным дискуссиям, в том числе увязке-взаимосвязи непрерывного и дискретного начала, адекватности модели реальным процессам-движениям и др. Цель его аргументации была более узкой: выявить противоречия в позиции оппонента.

Со своей задачей он справился виртуозно. Как большой Мастер!

Анализу апорий Зенона посвящена колоссальная литература.

В частности, можно отметить научную монографию [7], в которой на основе тщательного исследования первоисточников (текстологических, историко-философских, математических) воссоздается учение Зенона в виде целостной системы взаимосвязанных и развивающихся аргументов.

Своими рассуждениями Зенон внес неоценимый вклад в научные споры, которые продолжаются и в наши дни. Заставляя шевелить мозгами.

Более того, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось. – Это ли ни показатель фундаментальности!?

Апории точны. Ясны. Они до сих пор не исчерпаны.

Пока неполны и фрагментарны наши знания о движении, пространстве и времени.


3.Гиппас и Теэтет

«Денис Клещев (литературный псевдоним – Д. Нирвакин) продолжает [3], похоже, в одиночку вести настоящую непримиримую войну (более пяти лет) с квадратным корнем из двух, не признавая его иррациональность. Хотя оное многократно и многовариантно доказано теоретически, а также проиллюстрировано методом прямого вычисления на компьютерах с 200 миллиардами (!) десятичных знаков после запятой (С. Кондо, 2007)» [2].

Об этом уже подробно излагалось в работах [8–10].

Война, конечно, употреблена иносказательно. Да и характер она теперь носит не столь явный, а скорее "гибридный"... В унисон со временем.

Так, автор [3] заявляет о некоей теореме несоизмеримости, доказательство которой якобы предложил Гиппас из Метапонта (574–522 до РХ). Мы ещё раз перерыли кучу литературы. Теоремы с таким названием не существует!

Человек, называющий себя историком математики (видимо, по призванию), должен более точно и аргументировано приводить свои утверждения.

Выявление, равно как и доказательство существования несоизмеримых отрезков Гиппасу, скорее всего, приписывают.

Об этом говорит (со ссылкой на Ямвлиха и др.) крупнейший русский филолог А. Лебедев в монографии [11, с. 151], которая содержит перевод практически всех (!) сохранившихся фрагментов доплатоновских философов. По его словам, красивая легенда о математической смуте, вероятно, возникла из-за двойного значения слова ἄρρητος – "невыразимый в числах" и "тайный".

Это всего лишь сказание и миф, будто философ Гиппас геометрическим методом продемонстрировал иррациональность √2 в открытом море, и после уведомления о своем открытии был выброшен за борт фанатичными пифагорейцами.

Ибо действительно разрушался идеал красоты мироздания, воспетый пифагорейцами, построенный на целых числах и их отношениях.

Гиппас больше известен как исследователь математических оснований музыки, о чём, в частности, сообщает Боэций (Основы музыки II, 19).

Именно об этом говорит и крупнейший знаток античности А. Лосев [12, гл. 6, § 6, п. 10]. Без тени намека на какие-либо другие исследования-приложения Гиппаса.

Мы не против того, что Гиппас мог прийти к умозаключениям о несоизмеримости.

Но история об этом умалчивает. И теоремы, названной его именем, в математике нет.

В то же время многие историки науки [13, 14] показали, что прототипом для "Начал" Евклида послужили более ранние сочинения античных математиков. В частности, книги X и XIII основаны на трудах-исследованиях Теэтета Афинского (417–368 год до РХ).

Он, как и Платон, – ученик Феодора Киренского (конец V – начало IV в. до РХ).

«Десятая книга получилась у Евклида и самой объемной и самой сложной. В ней представлена новая для того времени классификация иррациональностей, предложенная Теэтетом Афинским» [15, с. 62].

Теорема Теэтета фигурирует в комментариях Д. Мордухай-Болтовского [6, с. 370].

«Нельзя точно определить, когда было открыто доказательство несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной... Известно только, что учитель Платона Федор Киренский уже имел доказательства иррациональности √3, √5 и т.д. до √17.

Аристотель упоминает о доказательстве несоизмеримости диагонали с его стороной... Освобождение же теории иррациональных чисел от геометрической формы идёт от арабов... <которые> постепенно обращают иррациональные величины в иррациональные числа, называемые у Леонардо Пизанского глухими» [6, с. 360-361].

Тот же А. Юшкевич, на которого ссылается автор, отмечает, что Теэтету «принадлежит, по-видимому, следующая замечательная теорема: если площадь квадрата выражается целым неквадратным числом, то его сторона несоизмерима со стороной единичного квадрата» [16, с. 75].

В диалоге Платона "Теэтет" Феодор говорит Сократу об удивительной одаренности Теэтета. Кроме своей теории несоизмеримых величин (X книга Евклида), знаменитый математик, стоящий в одном ряду с Пифагором и Архимедом, Евдоксом, Фалесом и др, известен также доказательством теоремы о существовании только пяти правильных многогранников, что позже нашло отражение в XIII книге Евклида.


4.Несоизмеримость и "кошмары"

«Тяжелым кошмаром была вся математика с тех самых пор, как в ней появилась теория несоизмеримых отрезков. Как объяснить, что в одних геометрических величинах диагональ была несоизмеримой, а в других соизмеримой?» [3]. – Так пишет человек, который называет себя историком математики.

Конечно, это явное преувеличение. Никакого кошмара не было.

Несоразмерность – не "страшилка".

Нет нужды кричать: «Всё пропало. Математика в пропасти»!

Действительно, с открытием неизмеримости геометрических отрезков в образах-понятиях только целых чисел, возникла дилемма. Или признать, что существуют отрезки, не имеющие длины. Или изобрести какие-то новые числа, помимо целых и дробных вида m/n. Человечество выбрало второе [17]. Так появились иррациональные числа.

Даже древние греки более позднего пифагорейского периода нисколько из-за этого не переживали: «наши иррациональные числа √2, √3 и т.д. у греков считались только особым видом рациональности; они назывались "рациональными в степени"» [6, с. 374].

Только и всего-то. Вопреки аристотелевскому посылу-табу на сложность чисел.

Рациональное число – это такое число, которое можно выразить в виде частного двух целых чисел.

«Открытие несоизмеримости означало, что целых чисел и их отношений недостаточно для выражения отношений любых двух отрезков, что с помощью одних только рациональных чисел нельзя строить метрическую геометрию» [16, с. 73].

Отсюда «соизмеримые по длине» (стороны египетского треугольника) и «соизмеримые по производимым ими площадям» (диагональ единичного квадрата) [13, с. 228–229].

То есть несоразмерность всего лишь говорит о недостаточности использования только целых чисел и их отношений.

Абсолютно никакой трагедии! Кстати, само число √2 – целое алгебраическое число, как корень квадратного уравнения x2 = 2.


5.Паутина противоречий

На наш взгляд, работа [3] изобилует множеством других неточностей и ошибочных положений. Приведем только некоторые из них.

«Силлогизм, лежащий в основе доказательства Гиппаса, очень прост: если число x2 – четно, то будет четным и число x, если x2 – нечетно, то число x тоже должно быть нечетным». – Данные рассуждения не верны. Это нисколько не силлогизм. А хорошо известное свойство натуральных чисел, которыми оперировали все пифагорейцы.

Впрочем, и сам автор отмечает: «Этим правилом пифагорейцы постоянно пользовались». – Да! Но исключительно к целым положительным числам. А не к самому корню из двух, как это демонстрирует автор. Когда в допущении представить иррациональное число √2 несократимой дробью (из целых чисел) m/n, он, по сути, в числитель дроби ставит корень из двух. «Очевидно, такое доказательство не удовлетворяет элементарным правилам логики, поскольку число n в теореме равно стороне квадрата, то есть единице, числу нечетному (!), а число m в теореме равно бесконечной десятичной дроби 1,4142…, которая, как и любая другая дробь, не может быть ни четным, ни нечетным числом» [18]. – Ad absurdum [19, с. 9].

«Дроби по определению не могут быть ни четными, ни нечетными числами! Это очевидно. Тем не менее, в доказательстве Гаппаса силлогизм позволяет признать отрезок √2 за четное число». – Снова неточные заключения. Четность и нечетность применялась в доказательстве не к корню из двух (!) непосредственно, а к его возможному представлению в виде отношения натуральных чисел. И уже с каждым в отдельности из них (числителем и знаменателем обыкновенной дроби) выполнялись операции-проверки на чет-нечет!

«А ведь знаменитый диагональный метод Георга Кантора предполагал (ни больше, ни меньше), что элементы диагонали нельзя пересчитать так, чтобы на сторонах нашлось точное соответствие каждому элементу». – Данная цитата свидетельствует о недостаточном знании предметной области. Как раз всё наоборот. Любые два конечных отрезка или числовых интервала в исчислении Г. Кантора равномощны. Он показал, что любой отрезок числовой прямой эквивалентен любому другому отрезку. С взаимно однозначным соответствием между точками двух отрезков различной длины.

Похожие отношения прослеживаются и в теореме Кантора о равномерной непрерывности функций [20, с. 179; 21, с. 266].

«Разумеется, Георг Кантор в своем доказательстве несчетности подразумевал квадрат, у которого диагональ выражена иррациональным числом AC = √2». – Никому это не разумеется. Поскольку ничего подобного у Г. Кантора не было. Изобретенный им диагональный метод относился к двоичным последовательностям [22, с. 19]. С их помощью он показывал счетность (исчисление) рациональных чисел и несчетность действительных чисел. При этом выявил однозначное соответствие между точками стороны и диагонали квадрата. А вот в топологии известна теорема (Брауэр, 1913), согласной которой евклидовы пространства разной размерности не гомеоморфны между собой. То есть между ними нельзя установить взаимно однозначное везде непрерывное соответствие.

«Здесь мы использовали те же самые аксиомы, тот же метод, который применял Гиппас, и доказали, что числа 2 и 1 несоизмеримы! Об этом как раз и говорил Аристотель». – Что значит «несоизмеримые числа»? Откуда это? – Известно соизмерение величин и/или геометрических отрезков. Этому следовал и Аристотель.

«Когда в современной математике единица является бесконечно делимым числом, а с другой стороны признается истинной теорема Гиппаса, в которой единица считается неделимой, то это и есть настоящее аксиоматическое противоречие». – Никакого противоречия здесь нет. В задаче о соразмерности единица выделяется исключительно как первое (базовое) натуральное число, относительно которого формируется обыкновенная дробь, в виде отношения целых чисел. То есть в натуральном ряде единица неделима. Но на вещественной оси делите отрезок [0, 1] как угодно и сколь угодно.

«Так, где оно, доказательство, что число √2 выражается только четными или нечетными числами? Его нет, и никогда не будет, потому что число √2 выражается дробью, которая не является ни четным, ни нечетным числом. Точно также дробью можно представить любое другое число. Например, число 2 = 1,999…». – Комментарии излишни. В таком случае обычно говорят: смешались кони-люди. – Существуют десятки самых разных доказательств иррациональности "непокорных" квадратных корней с обширной литературой [22, с. 16, 26; 23; 24].

«С пифагорейцами все ясно: они не знали десятичных дробей, поэтому не могли получить адекватные арифметические выражения». – Причем здесь десятичные дроби? Если речь шла о рациональных и нерациональных числах. Даже если представить, что мы не знаем и сегодня десятичные дроби. Ученый люд говорил совершенно о другом.

«Дробь 0,7071…, о существовании которой пифагорейцы даже не подозревали, была ими подменена неким целым числом t. Вот и все! Один термин был в ходе доказательства подменен другим». – Подменяет сам автор. Кроме него, никогда и никто не заменял десятичную дробь целым числом. Разве что отношением целых чисел, когда это допустимо. В этом-то и состоит смысл применения соразмерности.

Десятичные дроби к доказательству несоразмерности не имеют никакого отношения. Поскольку соразмерность определяется отношением целых чисел, что приводит к обыкновенным дробям. Само понятие иррациональности практически не связано с десятичным приближением иррациональных чисел. Это общая логическая проблема, которая проявляет себя в любых объектах: функции, матрицы, векторы, измеряемые величины, описание физических процессов, решения уравнений и т.д. [9].

Все манипуляции [3] с десятичными дробями в задаче поиска соразмерностей – совершенно ненужное действо. Как, впрочем, и само существование десятичных дробей.

Для доказательства они вовсе не нужны.

Но для общего понимания-осмысления ситуации оказываются полезными.

Несоразмерность в транскрипции десятичных дробей говорит о том, что десятичное представление иррациональных чисел не имеет периодической структуры. В отличие, например, от 3/7 = 0,(428571).

Современная теория доказала, что у иррациональных чисел, сколько бы ни писали знаков после запятой, никогда не возникнет периодичность в повторении цифр. Что наглядно видно по их эквивалентному представлению в виде бесконечных непрерывных (цепных) дробей по алгоритму Евклида.

При этом согласно теореме Лагранжа «Цепная дробь периодична (т.е. последовательность её элементов, начиная с некоторого места, повторяет себя) тогда и только тогда, когда число, представленное этой дробью – квадратическая иррациональность, то есть число вида a+bc, где a, b и c – рациональные числа» [25, с. 19].

Поэтому знание-незнание античными учеными десятичных дробей ровным счетом ничего не значит для того, чтобы доказать иррациональность числа √2. То есть его нельзя представить в виде обыкновенной дроби (!) m/n, где m,n – натуральные числа, n ≠ 1.

Анализировать далее погрешности статьи [3] становится скучным и малопродуктивным занятием. Включая нелепые манипуляции с десятичными дробями. Или разбиение квадрата на ячейки 1×1 с некорректным упоминанием знаменитого голландского математика Л. Брауэра (1881–1966), явно путаясь в вопросах соразмерности и топологии.

К слову, Л.Брауэр был глубоко убежден, что в десятичном разложении числа "пи" бессмысленно искать последовательность 0123456789, наивно полагая, что нужная для этого точность никогда не будет достигнута. Тем не менее, данную последовательность отыскали. Она начинается с 17.387.594.880-го знака после запятой [26, с. 11].

То есть в десятично-бесконечном разложении таких чисел, как π или √2, можно найти практически всё что угодно. За исключением одного – малейшего признака рациональности.

На этот счет теория очень строгая и безжалостная!


6.О "теореме" Клещева

Апофеозом работы [3] является, пожалуй, авторская "теорема".

Нам вполне понятны его устремления.

Возможно, присутствует желание-претензия на оригинальность.

Идея-задумка в чём-то перекликается с древнегреческими апориями.

Но в итоге она превратилась в классический пример силлогизма.

То, что проделывает автор, специально доводя задачу до абсурда, не имеет никакого касательства к логике доказательства.

Его исходное отношение целых чисел AB / AC = 2 / 1 априори говорит об их соразмерности по единичной мере.

В задаче на соизмеримость число n в знаменателе дроби не может быть единицей. По определению. Иначе отрезки соизмеримы. И далее ничего делать не нужно.

К тому же автор взял за основу не самое лучшее изложение-интерпретацию доказательства из книги А. Юшкевича [16].

Исходные предположения о четности-нечетности знаменателя вообще не нужны.

Начальный посыл очень простой и естественный: попытаться представить корень из двух в виде несократимой дроби.

Именно несократимой (!) дроби. Это важно.

Равносильно говорить о дроби с наименьшим знаменателем или дроби с взаимно простыми значениями числителя и знаменателя, не имеющими общих множителей, кроме 1.

Тот факт, что множество равнозначных дробей всегда имеет несократимую дробь, доказано ещё Евклидом.

«Всякое рациональное число выражается дробью. Все выражающие число r дроби равны друг другу. Среди них найдётся несократимая дробь... Пусть эта дробь есть m/n» [22, с. 17], – таково классическое начало арифметического доказательства.

Дробь m/n означает, что предмет состоит из n долей, и таких долей m.

Если знаменатель равен единице, то это фактически уже не дробь. Имеет место непосредственная соизмеримость, и доказывать попросту нечего.

Знаменатель обыкновенной дроби может быть равен единице. В этом случае предмет считается неделимым, то есть представляет собой нечто целое. Числитель такой дроби указывает, сколько взято целых предметов.

Обыкновенная дробь вида m/1=m имеет смысл натурального числа m.

То есть любую обыкновенную дробь вида m/1 можно заменить натуральным числом m.

Некорректность преобразований Д. Клещева видна невооруженным глазом.

Квадрат единичного знаменателя он записывает как n2 = 4t2/4 = 2·(2t2/4), где n = t = 1, и выражение в скобках, равное 1/2, приравнивает целому числу (?), со ссылкой на аксиому неделимости единицы в пифагорейской арифметике.

Нам остается только «обобщить его теорему» с учетом «неделимой единицы»:

число r не изменится, если его умножить на любое другое число k > 1: r = r·k·(1/k) = r·k.

Подобные "доказательства" продемонстрированы в работе В. Белянина [10]. С отменным изложением и чувством юмора. Там же можно найти пример Гоббса – «человека выдающихся способностей, взявшегося решать проблемы в области науки, для которой он плохо подготовлен и расточившего свою энергию на решение бессодержательных, псевдонаучных вопросов». А также ссылку (URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/013a/02322083.htm): «в российской науке появился философ-математик и историк математики мирового уровня!» [выделено в оригинале – С.Л.].


7.Доказательство от противного

Первое строгое описание-доказательство нерационального (иррационального) вида корня из двух мы находим только у Евклида. Методом от противного.

К слову, "Начала" Евклида были первой попыткой в истории человечества охватить единым трактатом всю математику. Второй подобной попыткой, пожалуй, можно назвать труды французских ученых с коллективным псевдонимом Н. Бурбаки.

Метод от противного сродни триаде Гегеля «тезис–антитезис–синтез», как замечательный пример её реализации в абстрактно-логическом приложении.

В данном методе "доказывание" некоторого суждения – тезиса доказательства – осуществляется путем опровержения отрицания этого суждения через антитезис.

Другими словами, доказываемое положение выдвигается как тезис.

Далее принимается противоположное предложение – антитезис.

В результате логических построений приходят к противоречию с принятым исходным положением, рождая в конечном итоге само доказательство, как синтез.

Не случайно выдающиеся математики признавали его мощным инструментарием.

Именно поэтому в § 1 [2] мы уделяли внимание обсуждению этого вопроса в контексте несогласия с высказываниями о полном отрицании гегелевской триады.

Кстати, само доказательство иррациональности при этом не выходит за рамки обычной арифметики с использованием основных свойств дробей и четных чисел:

  • любое целое число, умноженное на 2, – четное;
  • если квадрат некоторого целого числа четен, то и само число четное;
  • дроби можно сокращать, но этот процесс конечен.

Известный английский математик Г. Харди кратко выразил дух доказательства от противного в своей книге «Апология математика»: «Reductio ad absurdum, столь любимое Евклидом, – одно из самых прекрасных орудий математика. Это гораздо более тонкий гамбит, чем любая шахматная партия: шахматист может пожертвовать пешкой или даже какой-нибудь фигурой, но математик жертвует партией».

Напомним, что решить задачу – это не только найти её решение, но и в широком смысле – решить или доказать, что решение не существует. Если удается доказать, что задача не может быть решена, то она признается решенной (В. Успенский).

Именно этот подход применяется в тщетном поиске найти для √2 простую дробь.

Конечно, хорошо скроенный и стройный числовой мир пифагорейцев серьезно пошатнулся. Привел их в недоумение.

Но он нисколько не разрушился. Не пострадал. Наоборот, задал тон-направленность дальнейшему развитию. Как это было часто, если не всегда, в развитии любой науки.

Ровных гладких дорог не бывает. Мудрость знаний приходит со временем.

Ещё раз подчеркнем: перевод на язык десятичных чисел здесь совершенно не нужен.

О них вообще в данном случае можно не знать.

На языке математики это означает только то, что иррациональные числа в десятичном представлении не имеют регулярной повторяющейся структуры.

8.Сложности и подводные камни

Непрерывное пространство-время в своих микро-проявлениях на уровне бесконечно малых интервалов, возможно, ближе к дискретному проявлению.

В этом нет непреодолимого противоречия. Включая переход от чистой математики к реальной физике окружающего мира. И наоборот.

Воедино сплелись два фундаментальных образа-понятия.

С одной стороны, непрерывность, как процесс обусловленного непрекращающегося следования. С другой стороны, дискретность, как характер-форма этого следования.

Есть в таком понимании "симбиоза"-взаимодействия изъяны? – Конечно, есть.

Не так просто соединить-увязать в сознании непрерывное и дискретное начало.

Не случайно современная иноватика выделяет такие понятия, как дискретная непрерывность и непрерывная дискретность [27, с. 84].

«Каждая из этих величин имеет в себе оба момента, и непрерывность, и дискретность, и их отличие друг от друга составляет только то, какой из двух моментов есть положенная определенность...» [28].

Человек не может быть одновременно водителем и пешеходом.

В определенной степени многие апории Зенона решаются в один присест. Через пределы непрерывных функций. При самом сложном характере-функции сближения.

Однако рано списывать-снимать с повестки дня знаменитый тезис Аристотеля "Infinitum Actu Non Datur". – Как утверждение о невозможности существования (о внутренней противоречивости понятия) логических или математических (всего лишь мыслимых, а не существующих в природе) актуально-бесконечных объектов [29].

Проблема разделения-сопоставления дискретного числа и непрерывной геометрической величины действительно имеется.

Существуют разные подходы, позволяющие их примирить. Появились целые направления, включая алгебраическую геометрию, геометрическую алгебру и другие.

Главное не подменять понятия. Особенно без надобности.

Простой гидрологический пример.

Все знают, что вода – это вещество с формулой Н2О. Но если подходить только с этой меркой, то воды в природе нет. И то, что мы пьем, водой также не является.

Математик изучает идеальные объекты. Круги, треугольники, квадраты и числа в природе отсутствуют. Привычка математика разделять истинные и ложные утверждения невольно заставляет его видеть мир в черно-белом свете [30, с. 10].

Философские и гуманитарные понятия более расплывчаты. Потому более адекватно описывают окружающий мир с его аморфными и нечеткими образами.

Истина, если она вообще существует, лежит где-то посредине... Математики частично исправились-сориентировались. Начиная с американцев Л. Заде (1965), Р. Беллмана (1970), англичанина Э. Мамдани (1975) широкое развитие получила теория нечетких ("пушистых") множеств и нечеткая логика. С их разнообразными практическими приложениями.

Кому нравится, для условной локализации истины могут взять «золотую пропорцию».

Хотя в данной ситуации больше подходит её теологический синоним «божественной пропорции» (Лука Пачоли), дополненной колоритным образом курочки Рябы и яйца [31].

Как вечной дилеммы об их первичности.

И одновременно символа единения «дискретного – непрерывного».

Но об этом в следующем параграфе. Вместе с неутомимым критиком и активным радетелем Православия и славянского просвещения – Владимиром Говоровым.

Можно даже в форме совместного диалога. Очного или заочного...

Продолжение следует...


Литература:

  1. Древний мир: В 2-х кн. Кн. 1. А–К. – М.: Олма-пресс, 2003 – 320 с.
  2. Василенко С.Л. В плену отрицательных иллюзий. § 1 // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22774, 01.12.2016. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163149.htm.
  3. Клещев Д.С. Аристотель: основания математики и теорема Гиппаса // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22744, 22.11.2016. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163135.htm.
  4. Родин A.B. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля / Ин-т философии РАН. – М.: Наука, 2003. – 211 с.
  5. Рузавин Г.И. Логика и аргументация: учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ, 1997. – 358 с.
  6. Начала Евклида. Книги VII–X: Пер. с греч. и комментарии Д.Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии М.Я. Выгодского и И.Н. Веселовского. – М.–Л.: ГИТТЛ, 1949. – 512 с.
  7. Комарова В.Я. Учение Зенона Элейского: попытка реконструкции системы аргументов. – Л.: ЛГУ, 1988. – 264 с.
  8. Василенко С.Л. От шедевра до абсурда один шаг // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 17079, 10.12.2011. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/013a/02322069.htm.
  9. Василенко С.Л. Неподдающийся корень из двух // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 17141, 24.12.2011. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161911.htm.
  10. Белянин В.С. Незыблемое и дилетантство // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 17173, 03.01.2012. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161916.htm.
  11. Фрагменты ранних греческих философов. Часть 1. От эпических теокосмогоний до возникновения атомистики. Изд. А.В. Лебедев / Серия "Памятники философской мысли". – М.: Наука, 1989. – 576 с.
  12. Лосев А.Ф. История античной эстетики. Итоги тысячелетнего развития. В 2-х кн. Кн. 2. – Харьков: Фолио, 2000. – 676 с.
  13. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. – М.: Наука, 1959. – 456 с.
  14. Сабо Л.О превращении математики в дедуктивную науку и о начале её обоснования // Историко-математические исследования. – М.: Физматгиз, 1959. – № 12. – С. 321-392.
  15. Шумихин С., Шумихин А. Число Пи. История длиною в 4000 лет. – М.: Эксмо, 2011. – 192 с.
  16. История математики. Том 1. С древнейших времен до начала нового времени / Под ред. А.П. Юшкевича. – М.: Наука, 1970. – 352 с.
  17. Успенский В.А. Апология математики, или о математике как части духовной культуры // Новый мир. – 2007. – № 11. – URL: magazines.russ.ru/novyi_mi/2007/11/us10.html.
  18. Клещев Д.С. О формально разрешимой системе скрытых аксиом. // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 15779, 03.02.2010. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161609.htm.
  19. Краткий словарь латинских слов, сокращений и выражений / Сост. В.Н. Купреянова, Н.М. Умнова. – 3-е изд, стереотип. – Новосибирск: Наука СО, 1975. – 115 с.
  20. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. – 5-е изд., стереотип. – М.: Физматлит, 1962. – 608 с.
  21. Чезаро Э. Элементарный учебникъ алгебраического анализа и исчисления бесконечно малыхъ. – Одесса, 1913. – 632 с.
  22. Успенский В.А. Простейшие примеры математических доказательств. – М.: МЦНМО, 2009. – 56 с. – URL: mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.34-2.pdf.
  23. Щетников А.И. Как древнегреческие математики доказывали иррациональность Sqrt(N) : 1 // Империя математики. – 2002. – № 1. – С. 72-83.
  24. Bogomolny A. Square root of 2 is irrational // Interactive mathematics miscellany and puzzles. – URL: cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml.
  25. Арнольд В. И. Цепные дроби. – М.: МЦНМО, 2009. – 40 с.
  26. Мир математики: в 40 т. Т. 7: Хоакин Наварро. Секреты числа π. Почему неразрешима задача о квадратуре круга / Пер. с исп. – М.: Де Агостини, 2014. – 144 с.
  27. Вишняков Я.Д., Кирсанов К.А., Киселева С.П. Инновационный менеджмент. Практикум: учеб. пособие. – М.: КНОРУС, 2013. – 328 с.
  28. Гегель Г.В.Ф. Наука логики: пер. с нем. Раздел 2. Гл. 1. Непрерывная и дискретная величина. – Спб.: Наука, 1997. – 800 с.
  29. Зенкин А.А. Ошибка Георга Кантора // Вопросы философии. – 2000. – № 2. – С. 165-168.
  30. Успенский В.А. Математическое и гуманитарное: преодоление барьера. – М.: МЦНМО, 2011. – 48 с.
  31. Говоровъ В.И. Что есть и не есть Божественая Пропорцiя? // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22618, 17.10.2016. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163087.htm.



С.Л. Василенко, В плену отрицательных иллюзий. § 2 // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.22805, 10.12.2016

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru