Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Дискуссии - Наука

Информация
Числа

Oб авторе


(46)

Случилось так, что Рене Декарт[50] и Блез Паскаль[12], два наиболее значительных мыслителя из всех, что были подарены миру Францией в XVII веке, оставили в истории заметный след не только как философы, но и как первоклассные математики.

Про гениального Паскаля в этом отношении и говорить нечего, его вклад в точные науки общеизвестен. Но и Декарт – «отец современной европейской философии», как его нередко именуют – помимо прочего, знаменит также и как родоначальник аналитической геометрии. Благодаря ему, в частности, математический инструментарий науки пополнился новаторским и чрезвычайно эффективным подходом к решению задач на основе системы координат, получившей со временем название «декартовой».

В отличие от универсального языка математики, равно пригодного для всех людей в независимости от их мировоззрения и верований, разная философия может приводить ученых к диаметрально противоположным выводам. Поэтому неудивительно, что философские взгляды на природу у Декарта и Паскаля различались весьма существенно. Особенно в вопросах взаимоотношений между миром духовным и миром физическим.

Но имеются, однако, в философском наследии этих мыслителей весьма важные нюансы – причем речь идет о моментах математического свойства – которые при надлежащем их развитии могли бы не только сблизить философию Декарта и Паскаля, но и сделать куда больше. Вроде того, чтобы подвести строгую математическую базу под научную концепцию о единой природе материи и сознания.

Дабы стало яснее, о чем здесь вообще идет речь, пора напомнить два примечательных образа, или как еще говорят, архетипических символа, чрезвычайно занимавших этих философов. Данные символы – сфера и дерево – с незапамятных времен фигурируют в идеях человечества про устройство мироздания.

О богатой истории образа сферы (причем довольно необычной конструкции) в этом контексте весьма содержательно рассказывает очерк Хорхе Л. Борхеса под названием «Сфера Паскаля». Не вдаваясь в пересказ известного текста, здесь достаточно процитировать лишь то, в каких словах именно Блез Паскаль сформулировал им постигнутое: «Природа – это бесконечная сфера, центр которой находится везде, а окружность нигде»…

Для мировоззрения Декарта, судя по всему, более близким и важным представлялся символ дерева. Этот образ, обнаруживаемый в древнейших космогонических мифах самых разных народов планеты под общим названием «древо жизни», находит отражение и в декартовых «Началах философии».

Иерархическая структура для общего комплекса знаний человека о мире – то есть для «философии» в терминологии Декарта – должна выглядеть, по его мнению, следующим образом: «Вся философия подобна дереву, корни которого – метафизика, ствол – физика, а ветви, исходящие от этого ствола, – все прочие науки, сводящиеся к трем главным: медицине, механике и этике».

Не будем обращать внимания на очевидную архаичность, скажем так, декартовой классификации наук, и сосредоточимся лишь на собственно древовидной структуре знания. А также вспомним – для целостности картины – известное предание о том, при каких обстоятельствах Декарт придумал свою систему координат.

Взглянув однажды на раскидистое дерево через окно, защищенное прутьями решетки, философ, говорят, вдруг понял, что с помощью квадратов решетки можно задать числами положения частей дуба – ствола, ветвей, листьев. А уменьшая размер ячеек такой сетки, можно получать описания (или «оцифровки», как сейчас говорят) дуба со все большим и большим количеством деталей.

Прямоугольная декартова система координат, что общеизвестно, стала открытием величайшего значения для последующего выстраивания математических основ физики. Куда менее известно, что если бы мысль Декарта пошла несколько не так, и если бы он, скажем, попытался описать картину в окне с помощью другой, новой системы чисел – способных напрямую описывать дерево благодаря своей собственной древовидной структуре – то вся наука сегодня могла бы выглядеть в корне иначе.

То есть в принципе уже тогда, на заре научной революции, у человечества имелась возможность получить существенно иную систему исчисления. Которая, как недавно выяснилось, также чрезвычайно полезна для физики и прочих ветвей научного знания, но открыта была лишь несколько веков спустя под названием p-адические числа (читается как пэ-адические).

И самое любопытное, что еще одно – помимо дерева – наглядное представление этой математической конструкции делается с помощью «сферы, центр которой везде»


(47)

Теория p-адических чисел появилась на исходе XIX века. Иначе говоря, научный мир узнал об этом открытии практически одновременно с публикациями революционных для физики идей о квантовании энергии и специальной теории относительности.

О том, сколь глубока в действительности связь между этими величайшими физическими открытиями и аппаратом p-адических чисел, станет известно много, много позже. Так что не только поначалу, но и чуть ли не век спустя после открытия – почти до конца XX столетия, p-адика существовала в представлениях ученых совершенно отдельно от физики.

Иначе говоря, необычную арифметическую конструкцию, изобретенную немецким алгебраистом Куртом Гензелем]1[, в научном мире очень долго продолжали воспринимать как теоретически полезную, но при этом совершенно абстрактную математическую структуру. Не имеющую абсолютно никаких связей ни с реальностью, ни, тем более, с полезными практическими приложениями.

Если же смотреть на эту картину с высоты нынешнего комплекса знаний, то несложно заметить, что траектория развития науки в XX веке вовсе не обязательно должна была быть такой, какой она получилась. И если бы у титанов научной революции находилось чуть больше желания и времени повнимательнее смотреть по сторонам, а не только продвигать собственные теории, целостность научной картины от этого только бы выиграла.

Причем речь здесь идет отнюдь не об оторванных от реальности фантазиях. Так, одновременное появление[10] в 1900 году квантовой гипотезы Планка, проложившей ученым путь в микромир, и публикация книги Фрейда «Интерпретация сновидений», открывшей для науки мир подсознания, навряд ли могли бы быть сразу восприняты как четкий сигнал к сведению физики и психологии в единое русло взаимно согласованных изысканий (на данный счет нет понимания и по сию пору).

Но вот обратить внимание на то, что структура и особенности необычных p-адических чисел красиво сочетаются с новейшими открытиями в физической науке, для выдающихся математиков эпохи вполне было по силам. Тем более, что ученых таких имелось немало, а задачи математической физики всегда играли первостепенную роль. Несмотря на все это, увы, ни объединения, ни даже заметных пересечений для физики и p-адики тогда не произошло…

Необычная суть p-адической конструкции заключается в том, что абстрактную математическую идею непрерывности можно, оказывается, выводить стройно и непротиворечиво на основе модели, очень сильно отличающейся от привычных всем действительных чисел. Если для действительных чисел как самоочевидное предполагается, что все они упорядоченно расположены на числовой оси, а всякий отрезок на этой прямой можно (до бесконечности) делить на два меньших с общей границей, то для p-адических чисел картина выглядит существенно иначе.

Начать следует с того, что множество p-адических чисел является неупорядоченным. То есть для любой пары таких чисел невозможно говорить, что одно из них «больше», а другое «меньше». Соответственно, между этими числами нет и интервала, в котором можно было бы искать другие числа – типа «меньше первого и больше второго». Но при этом, имея сугубо дискретную природу, они плотно заполняют собой все «числовое пространство».

Наглядности ради, p-адические числа можно уподобить ветвям и листьям огромного раскидистого дерева. Если представить, что такое дерево выросло из некоторой определенной точки на числовой прямой, то обнаруживается удивительное соответствие этих множеств. То есть ветвей и листьев на математическом дереве настолько много, что для любой точки на числовой оси можно найти соответствующую величину и на древовидной структуре – продвигаясь по дереву согласно строго определенным правилам.

Чтобы правила эти в общих чертах стали понятны, полезно привести довольно близкую аналогию с разложением действительных чисел по разным основаниям. То есть надо представлять, каким образом всякое число эквивалентно записывают в виде суммы степеней одного и того же числа-базы – как это делается в десятичной записи, двоичной записи, шестнадцатиричной и так далее.

В конструкции p-адических чисел делается примерно то же самое, но в качестве основания берется простое число – делимое лишь на себя и 1 (в немецком языке такого рода объект именуют Primzahl, что и подсказало Курту Гензелю назвать свое открытие p-adischen Zahlen). Гензель обнаружил, что если рациональные числа, то есть дроби, определенным математическим образом (с помощью модульной арифметики) выражать через степени простого числа, то получается особый, вполне полноценный мир чисел.



А самое главное, через этот мир удобно подходить к известным сложным задачам математики. В частности, p-адика оказалась очень полезна для выяснения общих вопросов о разрешимости алгебраических уравнений.

Поскольку всякая система p-адических чисел выстраивается – или вырастает словно дерево – отдельно для каждого простого числа p, то можно говорить, что Курт Гензель открыл в математике бесконечное множество параллельных вселенных. Причем каждый из этих миров не хуже действительных чисел способен заполнять все промежутки между рациональных числами – представляя иррациональные числа (корни уравнений, значения логарифмов, синусов-косинусов и так далее) в виде бесконечных разложений по степеням p.

И что особо примечательно, каждая из p-адических вселенных имеет гранулированную структуру, сформированную на основе своего собственного «неделимого атома» p.

На фоне этих пояснений существенно иначе начинают выглядеть и важные успехи физики, достигнутые одновременно с появлением p-адики. С одной стороны – богатые результаты классической физики, наработанные относительно гранулированной структуры пространства (модель Кельвина для эфира как «вихревой губки»)[51]. А с другой – идеи Планка о квантованной, а значит тоже «гранулированной», природе энергии…

Иначе говоря, математический мост для органичного перехода от классической физики к квантовой теории имелся, по сути дела, с самого начала. Более того, спустя еще полтора десятка лет (в 1916, одновременно с рождением ОТО Эйнштейна) в теории чисел был доказан и фундаментально важный для обеих физик математический результат.

Ученик Гензеля, совсем молодой в ту пору российский математик Александр М. Островский доказал теорему (ныне известную под его именем), согласно которой рациональные числа можно пополнить до непрерывного множества лишь только двумя альтернативными способами – либо аппаратом действительных чисел, либо p-адических. Никаких других вариантов нет и не может быть в принципе…


(48)

Почему столь абстрактный, казалось бы, математический результат, как теорема Островского в теории чисел, оказывается чрезвычайно важен для фундаментальных основ физики, яснее станет чуть позже. Сейчас же самое время вспомнить про более древний «французский след».

С «деревом Декарта» и ролью этого образа для описания p-адических чисел ситуация, вероятно, уже достаточно понятна. Но вот причем здесь «сфера Паскаля»?

Для ясности в этом вопросе полезно рассмотреть конструкцию и свойства p-адики несколько с другой стороны – в терминах так называемых ультраметрических пространств, введенных в теорию чисел в 1944 году Краснером.

(Марк Краснер был еще одним математиком русского происхождения, которому в юном возрасте – как и Островскому – пришлось перебраться на Запад из России, зараженной антисемитизмом и бурно кипящей революциями. В середине 1930-х годов он защитил в Париже диссертацию под руководством Жака Адамара и последующие полвека, вплоть до смерти в 1985, оставался уже французом. Что же касается Александра Островского, то он после смены городов и стран к 1927 году осел в Швейцарии, где получил математическую профессуру в университете Базеля. На остальные 60 лет его долгой жизни этот город и стал для Островского домом…)

Уже по названию объекта, «ультраметрическое пространство», можно понять, что речь идет о таком множестве, где метрика – то есть мера расстояния – между элементами задается не так, как принято обычно.

Что такое метрика обычная, проще всего иллюстрирует евклидова геометрия, где свойства расстояний между точками интуитивно ясны и самоочевидны. Метрика всегда положительна, а нулю равна лишь в том случае, если точки совпадают. Расстояние от точки A до точки B равно расстоянию от точки B до точки A. Ну а для вершин треугольника расстояние между двумя любыми точками не превышает суммы расстояний от этих точек до третьей.

Последнее из перечисленных свойств обычно так и именуют – неравенством треугольника. Но вот если его чуть-чуть усилить, потребовав, чтобы расстояние между любыми вершинами во всяком треугольнике всегда не превышало длину наибольшей из двух других сторон (сильное неравенство треугольника), то происходит удивительная вещь. Выяснилось, что геометрия пространства с такой «ультраметрикой» не только выглядит существенно иначе, нежели евклидова, но и обычная человеческая интуиция относительно свойств пространства тут совершенно перестает работать.

Например, во всяком ультраметрическом пространстве любой треугольник является либо равносторонним, либо равнобедренным. И более того, основание равнобедренного треугольника не может быть больше боковых сторон.

Одним из любопытных следствий этого свойства оказывается то, что любые два шара в ультраметрическом пространстве либо вообще не пересекаются, либо один из них целиком содержится внутри другого. Похожим образом ведут себя капельки ртути.

Из-за этих свойств ультраметрические пространства образуют, как иногда говорят, систему с естественной иерархией. В такой системе шары меньшего радиуса без пересечений и пустот полностью заполняют собой шар большего радиуса. Причем внутри любого из шаров иерархии расстояние между произвольными двумя точками всегда одно и то же. И равно радиусу данного шара.

Совершенно логичным, но при этом все равно довольно неожиданным и необычным следствием этой «естественной иерархической» структуры оказывается вот что: любая точка ультраметрического шара является его центром.

Никто не успел, наверное, еще забыть, какими словами Блез Паскаль описывал устройство природы?

Ну а к математике p-адических чисел вся эта конструкция имеет самое непосредственное отношение по той причине, что саму концепцию ультраметрических пространств Марк Краснер вводил непосредственно на их основе.

Так что с самого начала и вплоть до сегодняшнего дня p-адические числа являются хотя и не единственным, но бесспорно важнейшим примером ультраметрических пространств. Или системы бесконечно вложенных друг в друга шаров, «центр которых везде, а край нигде».


Условное изображение 3-, 5-, 7-адических чисел (в действительности пустот между кругами нет)


(49)

Дабы произошел естественный переход от абстрактной p-адики ко вполне конкретным исследованиям тайн в устройстве материи, сознания и реальности в целом, осталось сделать всего один шаг. На языке математиков этот шаг называется неархимедов анализ.

Среди важнейших особенностей ультраметрических пространств всегда непременно упоминают, что их геометрия является неархимедовой. Конкретно здесь свойство неархимедовости означает, что из любой точки ультраметрического пространства невозможно удалиться на расстояние, превышающее некоторую величину R, если делать шаги не более R. То есть, чтобы выйти за пределы круга, надо обязательно сделать шаг, превышающий радиус этого круга…

Понятно, что эта странная особенность никак не соответствует всему нашему опыту и представлениям о мире, описываемом евклидовой геометрией и ее аксиомами. По той, в частности, причине, что среди аксиом классической геометрии имеется одна весьма особенная – так называемая аксиома Архимеда – которую на протяжении тысячелетий математики вообще не замечали.

Впервые выделили и проанализировали эту аксиому Джузеппе Веронезе и Давид Гильберт. По своей значимости для основ математики это открытие можно сравнить с открытием неевклидовой (римановой) геометрии искривленных пространств. Потому что и здесь было показано, как отказ от аксиомы Архимеда приводит к совершенно иной, неархимедовой геометрии, которая также демонстрирует свою полноценность и непротиворечивость.

Причем обнаружено это было – что имеет смысл отметить – в самом конце XIX века, всего за несколько лет до первых открытий квантовой физики. Но в ту пору, конечно же, заметить это было крайне сложно…

Так в чем же суть аксиомы Архимеда, десятки веков незримо присутствовавшей в математике как самоочевидная истина?

Рассмотрим прямую линию и выберем на ней два отрезка, имеющие разную длину и начинающиеся в одной точке. Так вот, аксиома Архимеда гласит, что если прикладывать меньший отрезок вдоль прямой достаточно большое число раз, то в конце концов мы непременно превзойдем длину второго, более длинного отрезка.

Фактически, эта аксиома описывает стандартную процедуру измерения – мы как бы сравниваем произвольную величину с эталоном меньшего размера. По этой причине аксиому Архимеда иногда называют аксиомой измеримости. А одним из ее естественных следствий является то, что всегда должна быть возможность для измерения сколь угодно малых расстояний – путем выбора еще более мелкого эталона.

И вот тут-то обнаруживается принципиальное противоречие между традиционной, архимедовой математикой пространства и устройством реального мира, описываемого квантовой физикой.

В квантовой теории – самой продвинутой из всех физических наук человека – имеется фундаментальной важности результат. Согласно которому при любой мыслимой точности приборов нет никакой возможности измерить расстояние с погрешностью меньшей, чем некоторая константа, именуемая «планковской длиной».

Эта минимальная величина размера выведена как соотношение самых главных констант, описывающих физику нашего мира – постоянной Планка, скорости света и константы гравитационного взаимодействия. Планковская длина очень мала, 10-35 метра, но она говорит о том, что при данных масштабах вся известная нам физика-математика действовать перестает. По той уже причине, что геометрия обычного евклидова и, даже более обобщенно, риманова пространства неадекватно описывает свойства реального физического мира на очень малых расстояниях.

Иначе говоря, для традиционной математической физики обозначился своего рода непреодолимый барьер. Но вся наука устроена так, что любой барьер трактуется лишь как сигнал к поиску новых, нетрадиционных инструментов для решения проблемы.

Здесь же суть проблемы выглядела примерно так. Общепринятая в науке система аналитического описания задач оперирует действительными числами. Это кажется совершенно естественным, ибо так в математической физике было всегда, начиная с Ньютона и Лейбница, создавших аппарат дифференциального и интегрального исчисления.

Аппарат же этот в основах своих построен на ключевой особенности действительных чисел: любой интервал длины или времени здесь можно уменьшать до бесконечности. Или иначе, если понадобится, то точность измерения – в десятичной записи величины – можно повышать до любой нужной цифры после запятой.

Но если над этим моментом задуматься чуть поглубже, то приходится сделать вывод, что с физической точки зрения здесь делается чересчур сильное и более того, неверное допущение. Как в экспериментальном, так и в теоретическом смыслах.

Потому что в любом физическом опыте всякую нужную величину реально можно измерить только рациональным числом – как отношение одного целого числа к другому. Насколько позволяет градуировка прибора… Формулируя чуть иначе, рациональные числа и только они являются подлинно «физическими» числами.

Описание естественно-научных моделей с помощью действительных чисел – как одного из возможных расширений чисел рациональных – происходило несколько сотен лет и на микромасштабах зашло в тупик. Из теоремы Островского известно, что другим логически оправданным вариантом для описания мира являются р-адические числа, в пространстве которых аксиома Архимеда нарушается.

Ну а поскольку каких-либо третьих вариантов пополнения рациональных чисел до понятия непрерывности в мире математики больше не имеется, то естественно предположить, что настало, очевидно, время для описания мира в терминах p-адической арифметики и неархимедовой геометрии.

По каким-то необъяснимым пока историческим причинам, ключевая роль в переформулировке физики на язык р-адических чисел и ультраметрического анализа досталась ученым российской математической школы. И что примечательно, реальный прогресс на данном направлении начался лишь после того, как в середине 1980-х годов скончались Марк Краснер и Александр Островский…


(50)

Родоначальниками совершенно нового исследовательского подхода по праву считаются Василий С. Владимиров и Игорь В. Волович, работы которых впервые продемонстрировали важность неархимедова анализа и р-адических чисел для теоретической физики.]2[ (Строго говоря, несколько других попыток в этом духе было и до них, однако внимания коллег они привлечь не сумели.)

Уже в первой публикации Владимирова и Воловича на эту тему, в 1984, было выдвинуто и обосновано предположение, что р-адические числа можно использовать для описания пространства на планковских расстояниях. Более того, выкладки математиков свидетельствовали, что природа вообще оказывается устроена неожиданно и существенно проще, если смотреть на нее с теоретико-числовой точки зрения.

Реально важным этапом для внедрения p-адики в физику стала работа Воловича 1987 года, предлагавшая интересные подходы к использованию р-адического аппарата в теории струн. Эта статья]3[ в журнале «Классическая и квантовая гравитация» сумела привлечь внимание видных струнных теоретиков, включая Эдварда Виттена, и вызвала в международном сообществе целый поток публикаций по р-адическим струнам.

Активный интерес других исследователей в сочетании с новыми интересными результатами простимулировали развитие многих других р-адических физических моделей. Причем области приложения этого аппарата и ультраметрического анализа в целом год от года устойчиво разрастаются.

Со временем появились не только p-адические модели квантовой механики и теории поля, но также p-адические описания сложных систем типа спиновых стекол – необычного состояния твердого вещества, по своим структурным особенностям напоминающего «вихревую губку» Кельвина. Благодаря специфике своей конструкции, p-адические числа вообще оказываются очень удобным инструментом для описания самых разных систем фрактальной или гранулированной структуры.

Более того, для p-адики нашлись весьма заманчивые приложения в биологии. Чтобы стало понятнее, почему этот аспект внедрения новых подходов в науку представляется особо важным, можно процитировать известные слова Израиля М. Гельфанда, одного из главных мировых авторитетов по проблемам математического описания биологических систем.

Обыгрывая знаменитую формулировку Юджина Вигнера[MI], он сказал так: «Есть только лишь одна вещь, еще более непостижимая, чем непостижимая эффективность математики в физике. И эта вещь – непостижимая НЕэффективность математики в биологии»…

Возможно, что ключ к решению данной загадки уже получен. Как пишет об этом Сергей В. Козырев, один из известных исследователей биофизики методами p-адического анализа, «неэффективность математических методов в биологии может быть связана именно с тем, что к биологии пытались применять, как и к физике, методы вещественного анализа, в то время как базовые модели биологии, возможно, должны выражаться на ультраметрическом языке».]4[

Обоснованность этой точки зрения достаточно убедительно подтверждают успехи математиков, применяющих новые методы ультраметрического анализа к описанию генетического кода ДНК и к моделям динамики биологических макромолекул типа белков.

Перечисляя, однако, множество бесспорных успехов и достижений нового p-адического подхода, непременно следует подчеркнуть один очень важный нюанс. Каждая p-адическая модель выстраивается на основе своего собственного простого числа p. Для описания ДНК или, скажем, для криптографии очень удобна 2-адическая модель. Для других же задач это могут быть 3-, 5-, 7-, 11- или даже (вдруг кому понадобится) 1999-адические системы.

Систем таких бесконечно много, все они разные и каждая из них по сути самодостаточна. Но вот какое из чисел этого бесконечного ряда подходит для описания мира наилучшим образом – не скажет вам никто.

К счастью, направление для выхода из этой затруднительной ситуации было найдено почти сразу. В технической терминологии оно именуется адели, а по сути своей приводит все p-адические системы к демократичному равноправию.

Поначалу в высшей степени абстрактная, конструкция адельных чисел была введена в математику чуть-чуть раньше ультраметрики, на рубеже 1930-1940-х годов. Родоначальником аделей был французский математик Клод Шевалле, более всего известный как самый молодой из сооснователей знаменитой группы «Бурбаки». А также как человек, занимавшийся, по выражению его друга и коллеги Андре Вейля, максимально дегуманизированной, то есть формальной и очень далекой от жизни математикой.

Лишь только к концу 1980-х годов выяснилось – благодаря знаменитой ныне адельной формуле Фройнда-Виттена]5[ – что в действительности абстрактная конструкция Шевалле имеет самое непосредственное отношение к квантовой физике. Как говорят в подобных случаях, верная идея опередила свое время примерно на полвека (но это, впрочем, как смотреть – о чем чуть далее).

Суть устройства необычного числа под женским почему-то именем адель сводится к тому, что это вектор или бесконечная последовательность чисел, где на первом месте стоит произвольное действительное (вещественное) число, а на всех остальных – p-адические выражения для того же самого числа по всевозможным нарастающим значениям простого p.

Соотношения, записывающие произвольное число в виде бесконечного произведения по степеням простых чисел, широко используются в математике и известны под названием эйлерова представления. Преобразование величины к такому виду обычно сильно упрощает анализ.

Что же касается свойств адельных объектов, то адельная координата содержит в себе и вещественную, и все р-адические координаты. Благодаря такой составной конструкции они одновременно демонстрируют свойства архимедовой и фрактальной (неархимедовой) топологии. Но при этом адельные объекты в целом имеют сильную тенденцию быть проще, чем их архимедовы (вещественные) компоненты.

А кроме того, благодаря эйлеровым формулам произведения, воплощающим идею равноправия всех топологий, информация о вещественной компоненте адельного объекта может быть считана либо с самой этой вещественной компоненты, либо с произведения p-адических компонент для всех p.

Опираясь на этот математический аппарат, Питер Фройнд и Эд Виттен, заинтересовавшиеся работой Воловича о p-адических струнах, в 1987 году вывели важную формулу, объединившую обычную квантовую механику с р-адической и адельной математикой.

Они показали, что волновая функция, описывающая эволюцию свободной частицы в стандартной квантовой механике, может быть представлена как произведение волновых функций р-адических струн. Это соотношение иногда интерпретируют так, что энергия обычной квантовой частицы на самом деле состоит из энергий ее р-адических компонентов…

Данный результат очень важен по трем, как минимум, причинам. Во-первых, стало ясно, что отыскание адельных формул для описания физических систем может существенно упрощать их анализ.

Во-вторых, объединение математики аделей с квантовой физикой к концу 1990-х годов позволило уже упоминавшемуся ранее[5.2] Алену Конну найти «почти доказательство» (точнее, красивый подход к решению) одной из величайших математических задач – гипотезы Римана о нулях дзета-функции.

Ну а в-третьих, адели указали реальный путь к целостному описанию сознания и материи как единой системы.


(51)

В 1987 году, почувствовав мощную тенденцию в процессах «погружения» (или наоборот, вознесения) физики в теорию чисел, видный русский математик Юрий И. Манин[MP] так обрисовал свое представление об открывающейся картине реальности:

На фундаментальном уровне наш мир не является ни вещественным, ни р-адическим: он адельный. По каким-то причинам, связанным с физической природой нашей разновидности живой материи (возможно, с тем, что мы состоим из массивных частиц), мы обычно проецируем адельную картину в вещественную сторону. С тем же успехом мы могли бы духовно проецировать ее в неархимедову сторону и вычислять наиболее важные вещи арифметически [по Манину, «духовная проекция» происходит в платоновский мир математических идей].

«Вещественная» и «арифметическая» картины мира находятся в отношении дополнительности, напоминающем отношение между сопряженными наблюдаемыми в квантовой механике.

Эти идеи Манина особо примечательно выглядят при их сопоставлении с высказываниями Вольфганга Паули, одного из главных персонажей в «путеводителе ТЗО». На рубеже 1940-50-х годов, подводя итог своим метафизическим размышлениям о природе мира и будущем науки, Паули писал про эти вещи так [10][13]:

По моему личному мнению, в будущей науке реальность не будет ни ментальной, ни физической, а каким-то образом обеими из них сразу, и в то же время ни той или другой по отдельности…

Наиболее важная и в высшей степени сложная задача нашего времени – заложить новую идею реальности … И самое оптимальное, если бы физика и душа представлялись как комплементарные аспекты одной и той же реальности.

Не заметить очевидные параллели в идеях Паули и Манина чрезвычайно сложно. А чтобы стало понятнее, насколько близко Вольфганг Паули находился от важнейших физико-математических открытий, происходящих только сейчас, достаточно привести такие биографические факты.

Свои идеи о едином математическом описании для материи и сознания Паули начал вынашивать под большим впечатлением от теорий Карла Г. Юнга, с которым был близко знаком с начала 1930-х годов и регулярно общался всю остальную жизнь. В годы войны, т. е. первую половину 1940-х годов, Паули работал в Принстоне, США – где в тот же период работал и «отец всех аделей» Клод Шевалле.

В эти же годы, в 1944, Карл Юнг начал работать, помимо Цюриха, еще и профессором в университете Базеля. Другим профессором этого университета был Александр М. Островский. Более того, в 1949 году этот специалист по p-адике женился на специалистке по аналитической психологии Маргарет Захс, ученице и соратнице Карла Густава Юнга. Наконец, в 1958 году и Островский, в свою очередь, стал приглашенным профессором цюрихского ETH, где постоянно работал Паули…

Короче говоря, практически все было уже готово, чтобы Паули и Островский сошлись поближе. Великий физик наверняка узнал бы побольше о p-адических числах, об аделях и об их замечательных особенностях. И конечно же, Паули заметил бы, насколько красиво структура аделей ложится на его идеи о взаимной дополнительности материи и сознания… Но ничего этого, увы, в реальности не произошло.[1C]

А получилось так, что пришлось ждать еще полвека. И то, что мы могли бы узнать о единой математической модели для физики и души уже тогда, понемногу начинает выясняться только сейчас.

В 1989 году, послушав одну из лекций Владимирова и Воловича, практическими приложениями p-адики сильно заинтересовался математик Андрей Ю. Хренников. Еще через пять лет, к 1994, став уже видным специалистом в этой области и автором известной монографии]6[ о приложениях p-адического анализа в математической физике, Хренников пришел к выводу, что занимается не совсем тем, чем следовало бы.

Весь наработанный им опыт свидетельствовал, что p-адические подходы нужны не столько для физики микромира, сколько для описания чего-то другого, какой-то другой части природы… Вряд ли это была случайность, но как раз в это же время он заинтересовался работами Зигмунда Фрейда. За чтением фрейдовых книг у Хренникова и родилась сильно захватившая его идея: создать математическую теорию, описывающую психологическое поведение и, в частности, формализующую психоанализ.

В работах Фрейда очень наглядно описывались потоки идей, представлений и желаний, причем эти потоки или «духовные объекты» выглядели ничуть не менее реально, чем объекты материальные. Духовные объекты также способны эволюционировать, с разной силой взаимодействуя друг с другом. То есть, как математический физик, Хренников интуитивно почувствовал, что наткнулся на такую динамику в ментальном пространстве, которая очень похожа на динамику материальных объектов в пространстве физическом.

Ну а дальше, как исследователю-аналитику, ему было необходимо лишь ввести подобающую систему духовных координат и математически описать ментальные потоки. Стандартные модели на основе вещественных координат, давно и активно применяемые для картографирования нейросетей мозга, Хренников отмел очень решительно – как неподходящие по целому ряду принципиальных причин. Но одновременно, имея солидный опыт работы в р-адической физике, он сразу обратил внимание на то, что р-адические деревья подходят для описания духовных пространств практически идеально.

Спустя еще десяток лет результатом этой исходной идеи стала внушительная серия из дюжины примерно монографий и статей Хренникова, посвященных математическому моделированию процессов мышления в системе p-адических координат.]7[

Нельзя сказать, что эти новаторские и глубокие работы прошли в научном сообществе полностью незамеченными. Специалисты их знают, конечно (профессор Хренников, среди прочего, известен как глава «Международного центра по математическому моделированию в физике и науках о мышлении» при университете Вэкшо, Швеция). Однако никакой революции в науке о мышлении и мозге эти труды пока не совершили. По той, прежде всего, причине, что на главные вопросы о тайнах сознания числовые p-адические модели Хренникова дать ответов не могут.

Главный из этих вопросов – проблема связи между духом и материей. Никакой ясности с этим вопросом как не было у ученых во времена Декарта и Паскаля, так нет ее и поныне. Опираясь на имеющийся массив знаний, наука по-прежнему стоит перед «пропастью в объяснении», даже близко не представляя механизмов, обеспечивающих взаимодействие материи и сознания.

Другой вопрос, близко соотносящийся с первым – где именно сознание находится? В мозге? Или же где-то еще – в пространстве «над головой»? А может быть, сознание распределено повсюду, где есть энергия и пространство?

Внятно и убедительно ответить на эти вопросы сегодня не в состоянии никто.

Но можно отметить, что кое-что очень существенное на данный счет способна подсказать наука геометрия. В частности, геометрические идеи, разработанные одним коллегой, соседом и близким знакомым Вольфганга Паули по Цюриху…

Более корректно, впрочем, в данном контексте говорить не столько о геометрии вообще, сколько о ее разделе под названием топология.[6C]


[10] Два мира

[12] Паскаль-Пашелес-Паули

[13] Нечто иное

[1C] Что-то случилось

[50] Сны Декарта

[51] Одиссея вихревой губки

[6C] Резиновая геометрия

[MI] Недостающая идея

[5.2] ТЗО_5.2_душа

[MP] Сад сходящихся троп: Манин и Паули


Внешние ссылки:

]1[. Kurt Hensel, «Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen«, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Band 6, 1899, 6 (3): 83–88.

]2[. Владимиров B.C., Волович И.В. «Суперанализ, 1. Дифференциальное исчисление «. ТМФ. 1984. Т. 59, № 1. С. 3-27 ; —, —. «Суперанализ, 2. Интегральное исчисление«. ТМФ. 1984. Т. 60, № 2, С. 169-198 ; —, —. «p-Адическая квантовая механика«. Доклады Акад. Наук СССР: Физика. 1988. Т. 302, № 2. С. 320-322 ; engl. version: Vladimirov V.S., Volovich I.V. «P-adic quantum mechanics«. Commun. Math. Phys. 1989. T. 123, C. 659-676 ; В. С. Владимиров, И.В. Волович, Е. И. Зеленов, «p-Адический анализ и математическая физика«, Наука, М., 1994; engl. version: V.S. Vladimirov, I.V. Volovich, Ye.I. Zelenov, «p-Adic Analysis and Mathematical Physics«, World Scientific, Singapore, 1993

]3[. Volovich IV, «p-adic string«. Class. Quant. Grav. 1987. V. 4. P. 83-87.

]4[. С. В. Козырев, «Методы и приложения ультраметрического и p-адического анализа: от теории всплесков до биофизики«, Совр. пробл. матем., Вып. 12, МИАН, М., 2008

]5[. P. G. O. Freund, E. Witten, «Adelic string amplitudes«, Phys.Lett. B, 199 (1987), 191–194

]6[. Khrennikov A. Yu. «p-adic valued distributions and their applications to the mathematical physics«. Dordreht: Kluwer Acad. Publ., 1994.

]7[. Khrennikov A. Yu. «Non-Archimedean analysis: quantum paradoxes, dynamical systems and biological models«. Dordreht: Kluwer Acad. Publ., 1997. ; Khrennikov A. Yu. «Human subconscious as the p-adic dynamical system«. J. of Theor. Biology. 1998. V. 193. P. 179-196. ; Khrennikov A. Yu. «Description of the operation of the human subconscious by means of p-adic dynamical systems«. Dokl. Akad. Nauk. 1999. V.365. P. 458-460. ; Хренников А. Ю. «Моделирование процессов мышления в р-адических системах координат«. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.


Там за облаками


Информация , Числа // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.22762, 28.11.2016

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru