Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Дискуссии - Наука

Информация
Там за облаками. Формы

Oб авторе



Оглавление

(52) Расслоение Хопфа: множество практических приложений для абстрактного объекта чистой математики;

(53) Калибровочные поля Янга-Миллса как связности на расслоенных пространствах;

(54) Топология тора как двухслойной сферы, структура фуллерена и признаки додекаэдрического пространства Пуанкаре в геометрии вселенной;

(55) Двойственность лестницы Мёбиуса, вселенная как топологический изолятор, топология трилистного узла как шестислойного футбольного мяча;

(56) Геометрические взаимосвязи между AdS/CFT и расслоением Хопфа;

(57) Метрика Геделя с замкнутыми траекториями по оси времени, стационарная вселенная AdS и концепции циклических расширений-сжатий вселенной.

(52)

Случилось так, что на кладбище Цолликона, фешенебельного пригорода Цюриха, урны с прахом Вольфганга Паули и Хайнца Хопфа расположены неподалеку друг от друга. Как своего рода символ непрекращающегося диалога двух великих ученых-друзей – возглавлявших кафедры физики и математики в одном и том же институте ETH, живших по соседству, время от времени сражавшихся в шахматы и любивших вместе бродить-беседовать в окрестных лесах.

О чем там им нравилось разговаривать, теперь, наверное, уже и не узнать. Хотя кое-что на данный счет все же известно. Всегда отличавшийся чувством юмора, после одной из таких прогулок Хопф следующим образом прокомментировал их беседы: «Сегодня у нас была горячая дискуссия о том, для чего был сотворен человек – чтобы заниматься Чистой Математикой или же чтобы заниматься Прикладной Математикой. Увы, нам не удалось разрешить эту проблему»…

Занятная и одновременно несколько грустная ирония заключается в том, что готовый ответ для столь «трудноразрешимой проблемы» в действительности был найден самим же Хопфом давным-давно. Вот только на постижение смысла этого ответа ученым-математикам и ученым-физикам понадобились многие и многие годы. Считай, порядка полувека. К тому времени уже ни Хопфа (1894-1971), ни тем более Паули (1900-1958), на этом свете уже не было.

Собственно же Ответ представляет собой на удивление богатую математическую конструкцию, открытую Хайнцем Хопфом еще в 1931 году ]0[, а ныне общеизвестную под названиями Hopf fibration, Hopf fiber bundle или – не в самом удачном переводе на русский – «расслоение Хопфа». Поначалу обнаруженное и описанное как совершенно абстрактный объект в области чистой математики, расслоение Хопфа, как выяснилось много десятилетий спустя, имеет широчайший диапазон приложений в математике прикладной. И особенно – в самых разнообразных областях физики.

Иначе говоря, разграничение чистой и прикладной математики – это, похоже, особенность исследователей, только начинающих познавать природу. Однако чем больше человек узнает о мире и о себе, тем чаще он обнаруживает, что любой раздел математики может иметь прикладное значение. Более того, именно такие открытия – найти сугубо практическое приложение для совершенно абстрактных прежде идей – и оказываются ныне в математике особо волнующим и захватывающим делом.

Но пока что, впрочем, самое время поподробнее разобраться, что же в общих чертах представляет собой расслоение Хопфа и каковы его разнообразные физические приложения.

Суть этого замечательного объекта такова, что внутреннее строение трехмерного пространства, как обнаружил Хопф, имеет с точки зрения топологии не то чтобы не простую, а скорее даже напротив, весьма нетривиальную и богатую структуру.

В принципе, рассказывать об этом «устройстве нашего пространства» можно очень по-разному – в зависимости от аспектов, которые надо подчеркнуть. Можно, в частности, и вот так.

Фактически, Хайнц Хопф нашел способ заполнения всего пространства с помощью окружностей. Вообще говоря, для этой задачи есть и совсем простые решения, типа такого – взять прямую и нанизывать на нее до бесконечности концентрические окружности.



Однако Хопф занимался более общей задачей – построением отображения трехмерной сферической поверхности или 3-сферы, находящейся в 4-мерном пространстве, на более привычное нам 3-мерное евклидово пространство, которое принято именовать плоским и обозначать R3.

В каком-то смысле эта задача аналогична задаче о том, как поверхность глобуса – или 2-сферы – отобразить на поверхность плоской карты. Понятно, что любая форма проекции неизбежно вносит в картину те или иные искажения. Хопф для этой цели применил известную в географии и геометрии стереографическую проекцию, которая при отображении сохраняет углы между прямыми (это называется конформное преобразование), а окружности переводит также в окружности или прямые (иначе, окружности бесконечного радиуса).



Если развивать ту же аналогию с глобусом, т. е. более привычной нам 2-сферой, то одна из важных особенностей отображения, изучавшегося Хопфом, заключается вот в чем. Когда точки 3-сферы, образующие поверхность в 4-мерном пространстве, находятся на таком глобусе строго по линии «широты», то при отображении в евклидово пространство R3 этой конфигурации соответствует фигура, именуемая тор вращения (и по форме соответствующая вихревому кольцу).



Толщина трубы такого тора изменяется в зависимости от места расположения широты между плоскостью и точкой проецирования. По мере смещения широты от точки проецирования, тор проходит через все промежуточные состояния между двумя предельными. В одном пределе, становясь все тоньше, он вырождается в окружность. В противоположном случае тор распухает до такого состояния, когда его «дырка» вырождается в прямую линию, перпендикулярную плоскости экватора.

Иначе говоря, Хопф заполнил все пространство R3 вложенными друг в друга торами. Но самое главное, однако, тут вот что. Каждой точке глобуса, расположенной на линии широты, на поверхности тора соответствует линия окружности, захватывающая «дырку бублика» и по косой опоясывающая трубу. Подобно тому, как множество точек заполняет всю окружность широты, так и множество таких колец, зацепленных друг за друга, полностью покрывает поверхность соответствующего тора.



По причинам исторического порядка, такого рода окружности на торе именуются параллелями Клиффорда – по имени английского математика, который в XIX веке ввел эти объекты для изучения свойств искривленных пространств. Поэтому описываемую здесь конструкцию в целом иногда именуют расслоением Клиффорда-Хопфа. «Слоями» (стандартный перевод термина Fiber выглядит довольно неудачно, потому что речь идет о замкнутых в кольцо нитях или «фибрах») здесь принято называть те самые зацепленные окружности, которые образуют поверхности торов, а значит – заполняют собою весь объем пространства.

Эта исходная конструкция положила начало чрезвычайно плодотворному направлению топологических исследований, изучающих расслоения пространств самых разных конфигураций и размерностей. Но что характерно, на протяжении довольно долгого времени все подобные изыскания относились к области сугубо абстрактной чистой математики.

К концу 1970-х годов, однако, физикам стало ясно, что расслоение Хопфа играет фундаментально важную роль в калибровочных подходах к квантовой теории поля. Кроме того, фактически в качестве ядра всей модели, расслоение Хопфа выступило в теории твисторов Роджера Пенроуза, а позднее и в ряде других подходов к теории квантовой гравитации.



На сегодняшний день перечень всевозможных физических приложений для этой конструкции оказывается очень длинным – от магнитных монополей до поляризации поперечных волн и механики твердого тела, от геометрических свойств квантовой сцепленности и устройства кубитов в квантовом компьютере до релятивистского искажения небесной сферы.]1[

Формулируя то же самое чуть иначе, можно констатировать, что в структуре геометрического объекта под названием расслоение Хопфа ныне просматривается единая фундаментальная основа для ряда важнейших на сегодня идей физиков относительно устройства реальности. В частности, для фрактально-голографической модели – где любой, даже самый мелкий фрагмент воспроизводит собой целое. Для модели мультиверса – как множества одновременно сосуществующих параллельных миров. Для вселенной как квантового компьютера. И для такой физической системы, наконец, которая органично и неразрывно сочетает в себе материю и сознание.

Короче говоря, имеются серьезные основания рассматривать расслоение Хопфа как общую структуру, объединяющую в себе все те направления математической физики, которые начинали было развивать – но явно не сделали того, что могли – Хью Эверетт, Клод Шеннон и, конечно же, Вольфганг Паули, мечтавший о возвращении в науку «души материи».


(53)

Дабы плавно и естественно подойти к картине того, каким образом память или душа материи вообще и коллективное сознание человечества в частности, могут быть встроены в расслоение Клиффорда-Хопфа, для начала полезно обратить внимание на «мистический» компонент всей этой истории.

Как уже говорилось, согласно документальным свидетельствам, открытие Хайнца Хопфа приходится на 1931 год. Именно в этот год Хопф переехал в город Цюрих, где в местной высшей технической школе ETH принял математическую кафедру, которую до него возглавлял Герман Вейль (один из великих математиков XX века, среди прочего первым выдвинувший идею калибровочных взаимодействий в качестве базового принципа для единого описания всех сил в природе).

Кафедру физики цюрихского ETH в ту пору уже возглавлял Вольфганг Паули. А в тот же 1931 год произошло его знаменательное знакомство с известным психиатром, отцом аналитической психологии Карлом Густавом Юнгом, что положило начало их дружбе и сотрудничеству на всю остальную жизнь.

Третьим же примечательным событием 1931 года была публикация Полем Дираком, одним из основоположников квантовой теории, очередной статьи под названием «Квантовые сингулярности в электромагнитном поле». Эта статья занимает в творчестве Дирака особое место по той причине, что в ней ему удалось с помощью весьма изящной математики дать возможное объяснение для одной из фундаментальных загадок физики – квантования электрического заряда.

В качестве элегантного решения этой проблемы выступила предположенная Дираком гипотетическая частица под названием «магнитный монополь», впоследствии более известная как монополь Дирака. Суть гипотезы заключалась в том, что если бы удалось отыскать частицу, имеющую не два магнитных полюса, а только один, то факт наличия у частиц минимального электрического заряда, меньше которого не бывает и которому кратны все остальные, получил бы простое и естественное объяснение.

Логика и математика этой аргументации выдающегося теоретика выглядели красиво и убедительно, поэтому «отлов» магнитного монополя Дирака на многие десятилетия стал одной из важных целей экспериментальной физики. Но несмотря на все напряженные усилия исследователей, увы, обнаружить этот объект в природе не удается вплоть до нынешних дней…

Для всякого человека, чуждого мистическому мировосприятию, в трех перечисленных и явно независимых друг от друга событиях 1931 года не просматривается абсолютно никаких взаимосвязей. Ученые только и делают, что пишут статьи (работа у них такая), люди постоянно переезжают с места на место в поисках лучшей доли, а приехав на новое место, непременно с кем-то знакомятся… Короче говоря, что тут вообще может быть примечательного и неслучайного?

Для того же, чтобы научиться видеть скрытый смысл и взаимосвязи во внешне разрозненных событиях, полезно вспомнить о концепции Юнга, названной им «синхроничность»[17]. Такого рода синхроничности, по мнению Юнга, выступают в качестве своеобразных узлов, которые на некоторых иных уровнях сознания связывают вроде бы независимые события и структурируют собою общую ткань реальности.

Конкретно в условиях рассматриваемого здесь примера пора отметить, что на сегодня, согласно результатам теоретической физики, все так же неуловимый, но при этом ставший еще более желанным объект под названием «магнитный монополь» – в образе топологического дефекта-вихря – как бы сфокусировал в себе важнейшие открытия и по сию пору нерешенные загадки на границе физики и топологии.

В математике монополей (Дирака) обнаруживаются, в частности, эффекты спонтанного нарушения симметрии и механизм Хиггса, нетривиальные расслоения (Хопфа) и особые решения калибровочных уравнений Янга-Миллса. Ну а также, если присмотреться, и чрезвычайно взволновавшие в свое время Вольфганга Паули идеи о «раздвоении и уменьшении симметрии», открывшие ему новый взгляд на природу и на неразрывную связь материи с сознанием.

Дополнительным штрихом к картине, показывающей, насколько тесно переплетены все эти вещи, может служить и не так давно обнародованная история о том, что Вольфганг Паули первым вывел формулы, которые ныне известны под названием калибровочных уравнений Янга-Миллса]2[. Но только Паули, знаменитый своей научной щепетильностью, не стал публиковать эту работу, поскольку видел в ней серьезнейшие противоречия с уже известными физикам фактами.

Что же касается Янга Чженьнина и Роберта Миллса, то они в ту пору (1954) были еще «молодыми теоретиками, имеющими право на глупость», по известному выражению П. Эренфеста[67]. Несмотря на откровенное недовольство Вольфганга Паули, выраженное им авторам лично на одном из предварительных обсуждений, Янг и Миллс обнародовали-таки свою – очевидно сырую и недоработанную – теорию. Чем положили начало чрезвычайно плодотворному и далеко еще не исчерпанному поныне направлению современной физики.

Для того, что понять, насколько тесно эта теория связана с геометрией и топологией расслоенных пространств, понадобилось еще свыше 20 лет. У историков науки имеются непосредственные воспоминания на этот счет от Янга Чженьнина, озвученные им на одной из юбилейных конференций.

В те годы, когда теория калибровочных полей только зарождалась, Янг и Миллс были озабочены исключительно уравнениями, а об их геометрическом истолковании они даже не задумывались. Лишь два десятка лет спустя Янг всерьез заинтересовался топологической интерпретацией их теории и пригласил в университет, где тогда работал, видного специалиста-математика Джима Саймонса – чтобы тот прочел для физиков-теоретиков серию лекций о расслоенных пространствах.

Узнав и постигнув массу нового, физики были «вне себя от счастья», по выражению Янга, когда поняли, что нетривиальные расслоения в топологии – это именно то понятие, которое позволяет им избавиться от известных трудностей в теории монополей Дирака. Особо же физиков поразило, что «их» калибровочные поля в действительности давно известны математикам – под названием «связности на расслоенных пространствах». Но только математики изучали эти вещи чисто абстрактно, без всяких идей об устройстве физической реальности.

Обсуждая как-то раз это удивительное открытие с Чжэнем Шэншэнем (в англоязычной транскрипции более известным как Chern, т. е. Черн), выдающимся топологом XX века, Янг спросил его: «Совершенно непонятно и загадочно, как вы, математики, смогли придумать все это на пустом месте»? На что Чжэнь-Черн немедленно возразил физику так: «Нет-нет, эта концепция отнюдь не выдумана – она естественна и реальна»…]3[


(54)

Оперевшись на авторитетное свидетельство математиков – о «естественности и реальности» расслоенных пространств – самое время перейти к идеям о том, как эта универсальная конструкция соотносится с формой вселенной.

Для начала полезно рассмотреть, каким образом в структуре пространства одновременно присутствуют столь разные, казалось бы, конфигурации, как тор и сфера. Наглядно увидеть это, ясное дело, для человека гораздо проще на примере 2-мерных поверхностей в 3-мерном пространстве.

С помощью математических программ и компьютерной графики, в частности, специалистами показано, каким образом 2-мерный тор путем гладких топологических преобразований (именуемых гомотопными) превращается через сжатия, перетяжки и растяжения в двухслойную риманову сферу.]4[



Сетка ячеек, нанесенная на поверхность тора и дважды воспроизводящая общеизвестную конфигурацию футбольного мяча, присутствует тут, конечно же, не случайно. Во-первых, она позволяет более наглядно увидеть процесс деформации, демонстрирующий топологическую эквивалентность двух разных структур.



Во-вторых, как показывают молекулы фуллеренов в природе, такая конфигурация является оптимальной с точки зрения минимизации энергии на сферической поверхности. Ну и в третьих, самое главное, у науки на сегодняшний день имеется уже немало свидетельств тому, что именно такая конфигурация лежит в основе структуры вселенной – как сети ячеек, образованных суперкластерами галактик.[6D]



Формулируя более аккуратно, следует говорить, что имеющиеся у науки данные наблюдений позволяют предполагать для космоса такую форму, которая именуется додекаэдрическим пространством Пуанкаре. Упрощенной моделью такой конфигурации является мяч, сшитый из 12 кусков в форме правильных пятиугольников. Или, иначе, раздутый до сферы правильный многогранник-додекаэдр.[60]



Отчетливые признаки именно такой формы космоса обнаружила группа Ж. Люмине в картах космического фонового излучения от спутника WMAP[62]. А польские исследователи из Торуньского университета выявили на той же карте 6 пар совпадающих кругов, еще более определенно указывающих на признаки замкнутого пространства вселенной в форме додекаэдра.[63]



Дабы стало понятнее, что это важное (но почему-то замалчиваемое) открытие науки XXI века никак не противоречит «классической» форме футбольного мяча из 12 пятиугольников и 20 шестиугольников, достаточно уточнить, что и в 32-ячеистом варианте имеются те же самые 6 пар «кругов», что и у додекаэдра. А также вспомнить о двухсторонней топологии сферы космоса и о физике образования конвективных ячеек в сверхтекучих жидкостях.[65]

Всепроникающее «поле Хиггса», согласно современным научным представлениям, по свойствам можно уподобить сверхтекучей жидкости. А важнейшая особенность таких супержидкостей, как известно, это самопроизвольное формирование дискретных вихревых ячеек при вращении среды.

И если с одной стороны сферы образовались 12 ячеек додекаэдрической структуры, то с другой стороны – где 20 вершин многогранника становятся центрами вихревой конвекции – естественным образом формируется икосаэдр из 20 ячеек. То есть правильный многогранник, являющийся дуальным партнером додекаэдра.

Ну а в конечном итоге, когда вся эта конфигурация стабилизируется к состоянию с минимальной энергией, на каждой из сторон сферы – внутри и снаружи – оказываются одинаковые сетки из 32 ячеек футбольного мяча, сдвинутые относительно друг друга конвективными процессами. Эти вихревые процессы как бы «срезали» энергозатратные вершины у додекаэдра и икосаэдра, наложив со сдвигом обе структуры друг на друга и в итоге породив симметричную, энергетически оптимальную конструкцию…



Если ключевая роль (топологических) вихревых эффектов в картине формирования ячеистой структуры космоса стала более-менее понятна, то самое время напомнить вот что. Все приводимые здесь рассуждения – это, конечно же, никакие не доказательства и, тем более, не истина в последней инстанции.

Можно считать, что все это представляет собой попытку продемонстрировать – с помощью наглядных картинок и упрощенных идей – одну действительно важную вещь. То, что конструкция под названием расслоение Хопфа очень удачно подходит на роль универсального геометрического объекта или принципа, позволяющего сводить в единое и органичное целое множество разрозненных и плохо стыкующихся фактов, установленных наукой относительно окружающего нас мира.


(55)

Двигаясь далее в том же направлении, пора более тщательно присмотреться, почему расслоение Хопфа именуют «нетривиальным». И отметить, почему эта его особенность позволяет объяснить естественным образом такие загадочные факты, как леворукая киральность вселенной и три поколения частиц-фермионов.

В качестве элементарного примера, демонстрирующего, что представляет собой тривиальное расслоение, обычно приводят форму цилиндра, который образован отрезками, отходящими от множества точек окружности. Поверхность такого цилиндра называют расслоением окружности, а образующие ее отрезки – слоями.


Тривиальное (слева) и нетривиальное расслоение

Соответственно, расслоение называется нетривиальным, если поверхность, сформированная слоями, оказывается не обычной, а односторонней. Простейшим примером такой поверхности – т. е. нетривиального расслоения – является лента Мебиуса.

Чтобы стало понятнее, каким образом в нетривиальном расслоении Хопфа, где слоями являются окружности, в качестве важной структуры присутствует лента Мебиуса, полезно привести две внешне разных фигуры, которые в действительности являются топологически эквивалентными. Одна в виде графа-лестницы отображает традиционную суть ленты Мебиуса как односторонней поверхности, а вторая, пользуясь резиновыми свойствами топологии, растягивает тот же граф в виде окружности, противоположные точки которой соединены отрезками-слоями.



Тот факт, насколько важным делом может быть нетривиальная топология ленты Мебиуса с точки зрения физики, не так давно в очередной раз красиво показала группа китайских исследователей из пекинского Института теоретической физики]5[. В 2009 году они опубликовали теоретическую работу, посвященную электронным свойствам листа, изготовленного из нового материала графена и имеющего форму ленты Мебиуса.

В этом исследовании расчетами продемонстрировано, что графеновая лента Мебиуса ведет себя как «топологический изолятор с надежной металлической поверхностью»[TI]. То есть по краю ленты происходит движение электронов без потерь энергии, в то время как вся остальная часть (балк) ленты электрический ток не пропускает, демонстрируя свойства изолятора. Иначе говоря, сама топология формы порождает необычные свойства материала.



Спустя еще три года, в мае 2012, работа теоретиков из американского Института ядерной теории в Сиэтле показала, что если известные физические свойства топологического изолятора предположить для пространства-времени всей вселенной, то тогда удается обнаружить и совершенно естественный топологический механизм, порождающий именно три поколения частиц-фермионов.]6[

Если в двух словах пояснить суть открытия, которое сделали Дэвид Каплан и Сычун Сун, то их расчеты показывают, что наша вселенная имеет дополнительное, пятое измерение, которое в силу непреодолимых математических обстоятельств «запрещено» для частиц нашего мира – аналогично тому, как внутреннее пространство материалов, именуемых топологическими изоляторами, оказывается вне пределов досягаемости для электронов проводимости на их поверхности.

Рассматривая пространство-время как 4D-поверхность, ученые уподобили ее проводящей поверхности, ограничивающей балк «изолятора» более высокой размерности (5D). А затем, обоснованно предполагая определенную топологию такого 5D-пространства, состоящего из дискретных энергетических слоев, авторы показали, что здесь могут порождаться в точности три семейства частиц – привязанных к своим четырехмерным поверхностям…

Дабы эффектно дополнить ту же самую «слоеную» тему, можно еще раз вернуться к гладким гомотопным преобразованиям, демонстрирующим богатство структур, скрытых в обычном футбольном мяче. Американский исследователь Майкл Тротт, разносторонне изучавший эту конфигурацию с помощью научной компьютерной программы Mathematica, обнаружил вот еще какой факт.]4[

Одно из преобразований, демонстрируемых Троттом с помощью анимационных клипов, показывает процесс морфинга между уже известным нам двухслойным футбольным мячом и трилистным узлом – еще одной примечательной формой, богатой своими топологическими свойствами.



Наглядности ради, гладкий морфинг показан в противоположную сторону – как узел-трилистник преобразуется в футбольный мяч. Для того, чтобы такой трюк стал возможен, на тороидальную поверхность узла наносится прежняя сетка мощения многоугольниками – 2Ч32 клетки футбольного мяча – но только теперь не в одном, а в трех экземплярах-копиях, замкнутых в периодический узор.

После чего все три копии одновременно укладываются на два слоя римановой сферы, изображающей футбольный мяч. В итоге, на финальном графике, все три пары футбольных мячей совмещены в пространстве друг с другом.[6E]

Целый ряд обстоятельств делает эту иллюстрацию очень важной в контексте расслоения Хопфа. Во-первых, между топологией трилистного узла и лентой Мебиуса имеется самая непосредственная связь. Если лента Мебиуса перекручена не на один полуоборот, как обычно, а на три, и если эту фигуру разрезать по осевой линии, то получится односторонняя лента, завязанная в трилистный узел.

Во-вторых, узел-трилистник является классическим – как и лента Мебиуса – примером киральной фигуры, то есть при наложении не совпадает со своим зеркальным отображением. Соответственно, наличие гладкого гомотопного преобразование между тором-трилистником и двухслойной сферой показывает, что и в этой, казалось бы, шарообразной фигуре, не имеющей правых и левых предпочтений, на неких внутренних уровнях оказывается заложено свойство киральности.

Ну и, в-третьих, наконец, очень важен момент с тремя копиями двухслойного покрытия, которые на поверхности узла-трилистника расположены периодически друг за другом, а на римановой сфере укладываются в полностью совпадающие три пары. Такая картина означает, что если в геометрии вселенной имеется киральная топология узла-трилистника, то это эквивалентно ситуации, когда каждая из двух сторон мембраны-поверхности имеет трехслойную структуру. Или, иначе, естественным образом обретает дополнительное измерение и три поколения частиц…[6F]


(56)

Внимательные читатели, быть может, уже обратили внимание, что важные научные открытия, указывающие на скрытые особенности в устройстве вселенной, сделаны с опорой на необычные молекулярные конструкции, в основе которых лежит атом углерода: графен и фуллерены. Принимая во внимание, что атомному весу – то есть числу нуклонов в ядре – углерода соответствует число 12 (число граней додекаэдра), и то, что именно углерод лежит в основе всех известных нам форм биологической жизни, трудно делать вид, что все эти совпадения – обыкновенная случайность.

Куда более вероятно, что и в данном случае мы имеем дело с очередными проявлениями всеобщего «голографического принципа» – когда даже самый мельчайший фрагмент конструкции воспроизводит собою ключевые особенности целого… Соответственно, сосредоточившись теперь на этой идее, самое время рассмотреть, какие взаимосвязи наблюдаются между голографией и расслоением Хопфа.

Можно напомнить, что в теоретической физике под термином «голографический принцип», строго говоря, принято понимать вовсе не соотношение между целой картиной и ее частями, а нечто существенно иное. Типа того, что разные наборы уравнений, описывающие поведение отличающихся систем различной размерности, в действительности могут описывать одну и ту же физику. Примерно так же, как плоская (2D) пластина голограммы содержит в себе всю информацию для воссоздания объемного трехмерного изображения (3D).

Среди главных достижений голографического подхода в современной теоретической физике чаще всего упоминают так называемое AdS/CFT-соответствие, демонстрирующее одну и ту же физику у двух совершенно разных систем. Одна из них – пятимерное пространство-время анти-де Ситтера (AdS), имеющее гиперболическую геометрию отрицательной кривизны. Вторая же система – сферическое 4-мерное пространство, выступающее в качестве границы AdS и описываемое конформной теорией поля (CFT), в целом похожей на физику нашего мира.

Для того, чтобы непосредственная связь между AdS/CFT и расслоением Хопфа стала более ясной и наглядной, полезно привести два различных, но эквивалентных подхода к заполнению объема искривленными поверхностями. Один из этих способов, (a), уже нам знаком и представляет собой параллели Клиффорда в виде окружностей, формирующих торы. Второй же способ, (b), является линеаризацией первого, так что параллели Клиффорда действительно становятся отрезками прямых, но при этом образуют искривленную «линейчатую поверхность» или гиперболоид вращения отрицательной кривизны. Границей такой поверхности является окружность или 1-сфера.



Опираясь на эти картинки, взаимосвязи с AdS/CFT показать уже проще. Потому что внешнюю часть тора с положительной кривизной можно уподобить миру сферической системы-границы CFT (здесь размерность 2D). А внутреннее пространство «дыры», ограниченное гиперболоидом отрицательной кривизны, рассматривать как мир AdS (размерности, соответственно, 3D).

При таком подходе к моделированию, пространство-время AdS выглядит как стопка плоских (2D) кругов, каждый из которых имеет гиперболическую геометрию пространства, а все они уложены друг на друга по вертикальной оси времени (образуя 3D).


Слева: Проекция гиперболического пространства на плоскость. Каждая рыбка на самом деле имеет один и тот же размер, а окружность границы находится бесконечно далеко от центра диска. Сжатие размеров рыбок сделано для того, чтобы уместить бесконечное пространство в круге конечного размера. Это визуальный эффект сильного искривления пространства. Центр и справа: Физика в таком пространстве-времени («стопке дисков») довольно специфична. Что мяч, что луч света, пущенные из центра диска, возвращаются обратно за одно и то же время (с тем отличием, что свет успевает достичь края пространства). Подробности см. в ]7[.


Если сделать поперечный срез тора в любой момент времени, то всякому кругу в мире AdS соответствует окружность-широта на внешней оболочке – снимок «нашего» мира CFT. Мира размерности 1D, который по той же оси времени движется из прошлого (низ тора) в будущее (верх тора).



Поскольку «мир AdS» геометрически находится в «дыре» тора, а всякая окружность в расслоении Хопфа, образующая поверхность тора, непременно содержит внутри себя и эту «дыру», то для точечных обитателей «мира CFT», живущих на широте, просматривается интересная возможность. Если косую окружность слоя Хопфа считать их «памятью», т. е. основой сознания, то пространство внутри этого круга, приходящееся на «дырку» тора, можно считать 2-мерной «голограммой сознания». Причем, благодаря геометрическим особенностям косого сечения, эта голограмма позволяет обитателям «мира CFT» путешествовать внутри своего сознания как в пространстве, так и во времени.



Как всем известно, примерно так же – «силой мысли» – люди нашего мира способны путешествовать через пространство-время в своих мечтах, сновидениях и в воспоминаниях «околосмертного опыта», связанного с пребыванием в тонком мире духов и душ умерших. Иначе говоря, имеются основания для того, чтобы это пространство – по геометрическим причинам неразрывно связанное с нашим – именовать пространством тонкого мира.

Немаловажным моментом в выкладках AdS/CFT является то, что CFT-физика на границе-оболочке хотя и похожа в общих чертах на физику нашего мира, однако не имеет гравитации. А вот физика 5-мерного AdS, напротив, хотя этот мир в остальном совершенно не похож на наш, включает в себя гравитацию естественным образом.

Чтобы стало понятнее, как преодолевается это очевидное, на первый взгляд, несоответствие с физикой реального мира, полезно еще раз вспомнить о 2-бранной модели Рэндалл-Сундрума, требующей 5 измерений. И о том, что загадочный мир «гравитобраны» в их модели куда более естественно можно объяснить через мир мембраны как замкнутой односторонней поверхности типа ленты Мебиуса. Где вторая половина всех частиц нашего мира сконцентрирована в звездах. Или, иначе говоря, в таких областях пространства, геометрия которых сильнейшим образом деформирована эффектами гравитации.

Тут же уместно напомнить и добавить в эту картину такой немаловажный нюанс. Из-за постоянных перескоков частиц нашего мира с одной стороны мембраны на другую мы – как наблюдатели – все время оказываемся то «внутри», то «снаружи» поверхности сферы. В таких условиях естественным усреднением всех наших наблюдений относительно кривизны пространства оказывается то, что геометрия вселенной повсюду представляется плоской – словно лист бумаги на столе…

Наконец, еще одним примечательным следствием данной конструкции является эффект переворота топологического заряда при каждом перескоке частицы с одной стороны мембраны на другую. Если рассмотреть этот процесс в терминах магнитного монополя Дирака, то несложно, наверное, увидеть, что именно здесь и заключается геометрический ответ на загадочную неуловимость в природе столь желанного для теоретиков объекта.

В каком-то смысле, поиски монополя Дирака – это примерно то же самое, что попытка увидеть целиком частицу, которая с одной стороны мембраны является протоном, а с другой электроном.


(57)

Обнаруженная Хайнцем Хопфом геометрическая структура, как было показано, позволяет в корне иначе смотреть на то изобилие загадок и нерешенных проблем, что характерны для современной физики. Но попутно продемонстрировано и то, что можно называть «парадоксом Хопфа».

С одной стороны, важность расслоения Хопфа для великого множества прикладных физических задач – это ныне вещь уже бесспорная и не нуждающаяся в доказательствах. С другой же стороны, однако, ситуация выглядит так, будто ученые все никак не решатся начать применение этого мощного инструментария с его полным потенциалом.

Происходит же это, скорее всего, по той причине, что тогда (разом или постепенно, но) с неизбежностью рухнет слишком много общепринятых догм… Доказать подобное утверждение документами вряд ли кому по силам, но вот наглядно проиллюстрировать идею еще одним историческим примером – можно вполне.

В 1949 году знаменитый «чистый» математик Курт Гедель опубликовал чуть ли не единственную свою статью, посвященную физике – как своеобразный подарок к 70-летию старшего друга, Альберта Эйнштейна. (Подобно дуэту Паули-Хопф, эта пара приятелей тоже очень любила совместные пешие прогулки-беседы в окрестных лесах – но только не Цолликона, а Принстона.) В своей «подарочной» статье Гедель нашел точное и на редкость элегантное решение для ОТО или эйнштейновой системы уравнений общей теории относительности.

Иначе говоря, теоретик получил красивое математическое описание для вселенной, которая, если верить уравнениям, имеет полное право быть тем миром, в котором мы все живем. Природа, как давно уже известно ученым, устроена так, что наиболее красивые решения уравнений обычно оказываются и наиболее правильными. Однако конкретно для этого решения, получившего название «метрика Геделя», пришлось сделать категорическое исключение. Просто «потому, что реальный мир так устроен быть не может»…[64]

Вселенная Геделя неизменна в размере (стационарна) – а наука точно знает, что она расширяется. Вселенная Геделя вращается – а в науке не то чтобы установлено, но во всех доминирующих теориях принято считать, что вращения нет. Наконец – самое неприемлемое – решение Геделя допускает замкнутые траектории или петли по координате времени, а такие «путешествия» нарушают все научные представления о фундаментальной важности причинно-следственных связей для непротиворечивого устройства вселенной.

Вряд ли здесь уместно обсуждать эту историю в подробностях, но вполне к месту будет показать – на примере одного из торов в расслоении Хопфа – что конструкция Геделя все-таки реально описывает «наш» мир. Но только в более широком контексте – c учетом AdS. А все возражения против метрики Геделя, соответственно, оказываются выстроенными на противоречиях, которых в действительности нет.

То есть более широкий контекст вводится с помощью той же модели, которая иллюстрировала суть AdS/CFT. Тогда рассматриваемый там тор в 3D-пространстве – это модель стационарной 5D-вселенной. Вертикальная ось – как и прежде, ось времени. А внешняя горизонтальная окружность в сечении тора, соответственно, – это одномерная модель для 3D-пространства нашего мира в любой конкретный момент его эволюции во времени.

Из этой иллюстрации вполне понятно, что трехмерное пространство вселенной сначала расширяется до максимального диаметра, а затем начинает сужаться обратно. По той же, фактически, схеме, как ведут себя все квантовые частицы материи с их осцилляциями амплитуды. Более того, аналогично вращающимся частицам, вращается и вселенная – это соответствует «току на поверхности топологического изолятора». А также иллюстрируется косыми окружностями расслоения, которые здесь обозначают траектории (мировые линии) частиц в пространстве-времени.

Наконец, то, что все такие линии-слои представляют собой окружности – это и есть наглядная иллюстрация «самой возмутительной» особенности в метрике Геделя: замкнутость траектории по координате времени. Или, формулируя чуть иначе, наглядная иллюстрация для бесконечного повторения циклов в истории эволюции вселенной.

Конечно же, данная иллюстрация абсолютно ничего не доказывает. От картинок, собственно, это никогда и не требуется. Достаточно уже того, что они предоставляют наглядные и упрощенные образы для понимания сути предмета. Что же касается более строгих математических и экспериментальных аргументов, то при наличии желания и их можно отыскать в достатке.

В истории астрофизических наблюдений известно немало свидетельств тому, что вселенная постоянно пребывает во вращении. Более того, содержимое наблюдаемых данных (асимметрия в поляризации излучения от внегалактических источников, неслучайное распределение низкочастотных мод на карте фонового микроволнового излучения вселенной и т.д.) отчетливо свидетельствует, что пространство вселенной имеет форму тора или вихревого кольца.[64]

Другое дело, что все эти факты и свидетельства в мейнстрим-космологии принято как бы не замечать, коль скоро они не соответствуют доминирующей теоретической модели на основе «большого взрыва» и инфляционного расширения.

Но при этом, однако, степень неопределенности в нынешней теоретической физике такова, что за последнее десятилетие идея «циклической вселенной» хотя и постепенно, но отчетливо набирает все больше и больше сторонников. Нельзя, правда, сказать, чтобы идея эта была особо новой. Еще на заре рождения теории «большого взрыва» концепцию квазистационарной – то есть циклически расширяющейся и сжимающейся – вселенной активно отстаивал известный астрофизик Фред Хойл.

Теперь же ее заметно возрождают в новом обличье такие уважаемые в науке люди как Пол Стейнхардт, Нил Тьюрок, или, скажем, Роджер Пенроуз. Пытаясь преодолеть ограничения уравнений ОТО, которые для предельных условий сводят пространство-время в «точки сингулярности», о которых физика по сию пору ничего содержательного сказать не может, Стейнхардт и Тьюрок создали циклическую модель «экпиротической вселенной». Согласно этой концепции, два мира-мембраны периодически сходятся и расходятся, циклически то порождая, то разрушая вселенную, и при этом не утыкаются ни в какие сингулярности.]8[

В модели Роджера Пенроуза – другой пример – идея циклических расширений-сжатий космоса обосновывается существенно иными соображениями, с опорой на второй закон термодинамики и для преодоления известных нестыковок в стандартной космологии, касающихся энтропии вселенной.]9[

В работах упомянутых известных теоретиков, среди прочего, можно обнаружить и вполне внятные математические объяснения тому, почему вселенная даже при переходе к циклическому сжатию для наблюдателей будет представляться ускоренно расширяющейся. (Одно из геометрических объяснений носит название «наведенная метрика» и напрямую связано с хорошо известными в проективной геометрии свойствами конических сечений – когда поверхность с метрикой сферы в проекции выглядит как парабола с расходящимися в бесконечность ветвями.)

Но это все, впрочем, уже не самые существенные технические нюансы геометрического характера. Куда важнее выглядят общие выводы, которые следуют из всей этой картины относительно неразрывного единства материи и сознания.



___

[17] Язык синтеза 

[60] Загадки додекаэдра 

[62] Космос как зал зеркал

[63] Аномальные факты и структуры 

[64] И все-таки она вертится

[65] Супержидкий кристалл

[67] Спин на ленте Мебиуса

[6D] Конвективная геометрия

[6E] Гранулированная геометрия

[6F] Многомерная геометрия 

[TI] Вселенная как топологический изолятор


ВНЕШНИЕ ССЫЛКИ:

]0[. Heinz Hopf, «Ьber die Abbildungen der dreidimensionalen Sphдre auf die Kugelflдche», Mathematische Annalen (Berlin: Springer) 104 (1): 637–665 (1931)

]1[. M. Nakahara, «Geometry, Topology and Physics,» Institute of Physics Publishing, Philadelphia, 1990 ; J. Marsden and T. Ratiu, «Introduction to Mechanics and Symmetry», Springer-Verlag, New York, 1994 ; R. Mosseri and R. Dandolo, «Geometry of entangled states, Bloch spheres and Hopf fibrations», J. Phys. A 34 (2001), 10243-10252

]2[. «A vision of gauge field theory», a chapter in «No time to be brief. A scientific biography of Wolfgang Pauli» by Charles P. Enz, . Oxford University Press (2002)

]3[. C.N. Yang, «Chem Symposium,» June 1979 (preprint CERN TH 2725 [1979]); «Magnetic Monopoles, Gauge Fields, and Fiber Bundles,» (preprint ITP/SB 77-14)

]4[. Trott, M. «Bending a soccer ball – mathematically». Mathematica Guidebooks, June 2006

]5[. ZL Guo, ZR Gong, H Dong and CP Sun, «Mobius Graphene Strip as Topological Insulator». Physical Review B 80, 195310 (2009). Preprint arXiv:0906.1634v2

]6[. David B. Kaplan and Sichun Sun, «Spacetime as a Topological Insulator: Mechanism for the Origin of the Fermion Generations». Phys. Rev. Lett. 108, 181807 (2012). Preprint arXiv:1112.0302v3 [hep-ph].

]7[. Juan Maldacena, «The Illusion of Gravity». Scientific American, November 2005. Русский перевод: Хуан Малдасена, «Иллюзия гравитации», «В мире науки» №2, 2006

]8[. Paul J. Steinhardt, Neil Turok, «Endless Universe: Beyond the Big Bang». Broadway. 2008

]9[. Roger Penrose. «Cycles of Time: An Extraordinary New View of the Universe». The Bodley Head. 2010


Там за облаками


Информация , Там за облаками. Формы // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.22674, 31.10.2016

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru