Принимать изменения так же важно,
как защищать прошлое...
(Downton Abbey)

Чтобы где не говорили, но взаимно уважительная критика – мощная штука.

Так, благодаря обмену мнениями, в меру заковыристыми, мы плотнее стали изучать статьи Олега Черепанова (далее по тексту – автора). И, нужно отдать должное, небесполезно.

Одновременно хочется отметить человеческий фактор.

Когда исследователь спокойно воспринимает замечания. С чем-то соглашается, что-то подправляет. Наряду с этим отстаивает собственные основные позиции.

То есть, принимая изменения, он одинаково защищает прошлое. – В контексте принципиальных научных положений.

В своей работе от 09.10.2016 автор изложил "урок второй" с условной тезой «упрямые факты не лежат кучей».

Мы полностью удовлетворены поставленной им задачей в её оригинальном посыле, который связан с объединением и рассмотрением-исследованием двух замечательных числовых последовательностей математики: числами Фибоначчи и Люка.

Перерыв кучу известной нам литературы, с удивлением обнаружили, что сама по себе авторская мысль нова, самобытна, и всё что с ней связано, имеет будущее в творческих поисках свежих идей в данной области.

Действительно, упрямые факты не сбиваются в кучу-стаю.

Обнаружить их и дать им дыхание жизни – есть истинное призвание человека ищущего.

Автор в основном сосредоточил свое внимание на обратных величинах и отношениях совмещенной последовательности чисел.

Тем самым, с возможным их приведением к числовому интервалу [0, 1].

Вместе с тем небезынтересным оказывается рассмотрение собственно чисел.

В отсортированном по возрастанию виде они распределены таким образом, что нечетные по порядку элементы – есть числа Фибоначчи, четные элементы – числа Люка: A_2n–1 = F_n+1, A_2n = L_n соответственно с начальными условиями (1, 2) и (1, 3):

1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 18, 21, 29, 34, 47, 55, 76, 89, 123, 144, 199, 233, 322, 377, 521, 610, 843, 987, 1364, 1597, 2207, 2584, 3571, 4181, 5778, 6765, 9349, 10946, 15127, 17711, ...

Рекуррентная форма образования ряда представляется простой двучленно-аддитивной конфигурацией:

A_n+2 = A_n + A_n–2.

Эквивалентное алгебраическое уравнение x ⁴ – x ² –1 = 0 имеет положительное решение в виде квадратного корня из константы золотого сечения √Φ.

Однако аттрактор, как предельное отношение соседних членов последовательности, в данном случае не равен этому корню.

Движение к аттрактору по мере возрастания порядковых номеров n и собственно сам аттрактор является «попеременно двойным»:

где ф = Ф^–1 – малая золотая константа.

Геометрическое среднее этих аттракторов равно √Φ.

Замена чисел Люка с парой начальных значений (1, 3) на последовательность Люка с начальными числами (1, 4) или (1, 5) также приводит к подобной модели, но уже с другими предельными аттракторами:

И так далее...

Исключительная особенность полученных составных рядов:

– предельное отношение A_n /A_n–2 равно константе золотого сечения Ф;

– геометрическое среднее двух аттракторов равно √Φ.

Заметим, что второе свойство характерно для геометрической прогрессии, которую образуют длины сторон прямоугольного треугольника Кеплера.

Довольно неожиданная связь...

По мере возрастания начальных значений для последовательностей Люка в один прекрасный момент происходит нарушение стройности в суммарной последовательности: в ней начинают появляться пары соседствующих чисел Фибоначчи.

Система как бы расстраивается. Но потом снова возвращается к своей прежней "поступи".

Очень прелюбопытная вещь!

В том числе с точки зрения поиска и рассмотрения критериев устойчивости.

По нашему мнению, подход О. Черепанова дает-открывает новое интересное направление в математике – «Анализ совмещенных рядов». С их возможным практическим приложением к моделированию-исследованию совмещенных и сопряженных процессов.

При этом анализ возможен в двух альтернативно-дуальных направленностях: в работе с самими исходными рядами, а также с их обратными величинами и/или отношениями – в рамках авторской арифмометрии.

Два слова о терминологии. Безусловно, любой ученый имеет право на введение собственной обоснованно-аргументированной терминологии.

Пусть будет "арифмометрия"…

Хотя, на наш взгляд, "арифметрия" – тоже вполне подходящее словообразование, которое более созвучно с таким понятием как "геометрия".

По крайне мере, не возникает никаких ассоциативных линий с механическим арифмометром.

Но подчеркиваем снова и снова: это личное дело исследователя.

Во всяком случае, подобное действо намного лучше и правильнее, чем искусственное терминологическое "золочение" всего и вся, которое, к сожалению, часто встречается в практике последних лет.

А пока ждем от автора "урок третий"…