Лучший способ избавиться от проблемы – решить её.
Брендан Франсис

В своей недавней работе О. Черепанов (далее по тексту – автор) задает и/или преподает "урок первый", который «является попыткой сформулировать домашнее задание любителям разгадывать шарады».

Статья густо изобилует, скажем, непривычной для арифметики терминологией: инверсия и реверс, контр-симметрия и конверсия, секстетный элемент… Что, конечно, несколько затрудняет восприятие материала.

Вместе с тем на фоне того, что многие ещё недавно знакомые счетные предметы (счеты, арифмометр, логарифмическая линейка…) ушли в прошлое, автор оставил ключевой термин "арифмометрический".

Интуитивно понятно, что речь идет об арифметике. Но арифметике необычной...

Однако всё равно остается устойчивая связь-ассоциация именно с арифмометром – механической вычислительной машинкой, позволяющей выполнять четыре арифметических действия путем поразрядного сложения и сдвига сумм частных произведений.

Возможно, именно из-за арифмометра, уже на первой странице в таблице, начиная с пятого порядка, у автора возникает проблема со счетом, когда перестает выполняться очевидное тождество S^–1 = s.

Реконструкция приведенной таблицы имеет вид:

Параллельно вспомнился один известный исследователь на страницах АТ, который для строгих математических утверждений обычно проводит доказательства на калькуляторе.

В результате чего он не может отличить очевидную единицу от числа 0,999999999..., которое непослушное устройство никак не хочет округлять, и невольно генерирует неверные результаты и выводы.

Видимо, автору тоже можно подумать над тем, чтобы чаще переходить с расчетов на арифмометре к более распространенным вычислительным средствам.

Он, конечно, стремится применять и компьютер. Но у него «Excel ошибается, неверно определяя огибающую гистограммы степенной функцией». – Вряд ли это так.

Программные средства, даже простые, – такая вещь, как и что в них примешь-задашь в виде исходных условий, то и получишь на выходе.

Тем не менее, представленные автором исследования в целом интересны, оригинальны и настраивают на работу мысли.

Получены самобытные связи-отношения.

Что нас в них настораживает, так это арифмометрическое отображение натурального ряда, которое фактически осуществляется через самоё себя.

Ибо натуральные числа в порядке их увеличения явно присутствуют в виде целых степеней алгебраических уравнений триномиального типа, содержащих три члена.

Есть ещё один принципиальный момент.

Автор довольно осторожно, но всё же высказывает такую мысль: «Похоже, что числовые ряды из "малых" корней уравнений 1) х + x^N = 1 и 3) z² + Nz = 1, где N = 1, 2, …, структурно одинаковы».

Приводится соответствующая аргументация. С ней можно соглашаться или дискутировать, но она есть!

Здесь важно другое. А именно разрешимость.

Так, квадратное уравнение (3) имеет строгое аналитическое решение через радикалы.

Степенное уравнение (1) в общем случае решается исключительно численными методами. О какой одинаковости структур корней вообще может идти речь? – На наш взгляд, никакие ухищрения здесь не работают. Математики давно всё разложили по полочкам.

Единственно-надежная связь проявляется в четкой и априори очевидной зависимости решений от натурального числа N. Собственно и всё!

Сам по себе трином старших степеней y^N – y^N–1 – 1, который получается путем замены y = 1/x, – весьма интересный объект.

Для степеней не выше пятой он приводит к числам Пизо (!):

y⁵ = y⁴ + 1 → 1,3247...

y⁴ = y³ + 1 → 1,3802...

y³ = y² + 1 → 1,4655...

y² = y + 1 → 1,6180... (золотая константа).

Эти числа обладают одним удивительным свойством: их степени «почти целые».

Именно эта уникальная особенность делает их удобными кандидатами в качестве иррациональных оснований систем счисления.

Первое из этих чисел (пластиковая константа) p = 1,3247... является одновременно наибольшим положительным корнем кубического уравнения x³ = x + 1 и наименьшим числом Пизо. Понятно, уравнение разрешимо в радикалах. Хотя имеет пятую степень (см. выше).

Наименьшее из чисел Пизо – единственное положительное число, удовлетворяющее тождеству (p – 1)·p·(p + 1). Здесь фигурирует произведение числа на его два "симметричные отклонения", отличные на ±1.

Подобно золотой модели, пластиковая константа p играет роль золотого сечения в трехмерном пространстве (sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/15285.html).

Кроме того, она удивительным образом взаимоувязана с золотым сечением через метрические свойства необычного геометрического тела – snub icosidodecadodecahedron.

Следующий корень 1,3802... – второе наименьшее число Пизо.

И так далее...

С повышением порядка N > 5 аналитические решения уравнений отсутствуют.

Что из них можно "выудить" по мере роста N с точки зрения арифмометрического отображения натурального ряда, – вопрос риторический. По нашему мнению, ничего!

Вместе с тем авторская позиция заслуживает внимания.

Во всяком случае, его преобразования являются не противоречивыми. Всё дело в их интерпретации и полезности для математики.

Пока же авторская арифмометрия, которая разрабатывается им уже много лет, не находит логического продолжения в среде научного сообщества.

Возможно, время внесет свои коррективы.

С чем мы полностью согласны, так это с важной авторской позицией: «надо отказаться от понимания последовательностей {s_N } и {S_N } как s- и р-рядов, которые из-за незнания всех свойств неосторожно считают обобщением "золотого" сечения».

Данная теза совпадает, в том числе с нашей аргументацией относительно обобщенного "златобайства", которое ни на йоту не способствует развитию истинно золотоносной тематики (trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163071.htm).

Ждем от автора "урок второй"…