Представлено достаточно полное описание треугольника Кеплера, который объединяет в себе два "сокровища геометрии": теорему Пифагора и золотое сечение. Показано, что так называемый "мета-треугольник" является одной из бесконечных реализаций треугольника Кеплера с единичной мерой его высоты. Многие приписываемые ему свойства (трансцендентности, фрактальности, самоподобия, сакральности и др.) таковыми не являются и по своему характеру напоминают мифы.

Оглавление

Введение

Начальные сведения

Миф 1. Кеплер определил термин "золотое сечение"

Геометрическая прогрессия сторон в треугольнике

Общие положения

"Второе ЗС" в треугольнике Кеплера

Общее и частное в Δ-Кеплера

Миф 2. Δ-Кеплера – частный случай "мета- Δ"

О фрактальности Δ-Кеплера

Миф 3. "Мета-Δ" фрактален и самоподобен

Построение "мета-Δ"

Миф 4. "Мета-Δ" математика ранее не знала

Вместо заключения

Список источников

Введение

Треугольник – первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнаментах.

Изображения треугольников и соответствующие задачи на построение находят в папирусах и старинных индийских книгах.

Треугольник – одна из первых плоских фигур. Отсюда и символ поверхности вообще.

В дошедших до нас трактатах древнегреческого философа Платона «всякая прямолинейная поверхность состоит из треугольников» [1] – строительных блоков космического мироздания. Но не все из них одинаково выразительны, и «нам приходится отдать предпочтение двум треугольникам... один из них равнобедренный, а другой таков, что в нем квадрат большей стороны в три раза больше квадрата меньшей» [1, с. 457].

В диалоге "Тимей" отмечается, что истинными элементами материального мира являются не земля, воздух, огонь и вода, но два вида прямоугольных треугольников: половина квадрата и половина равностороннего треугольника.

В такой абстрактной науке как математика выделен специальный раздел тригонометрии (греч. trigonon треугольник + metro метрия), который своим рождением обязан исследованию зависимостей между сторонами и углами треугольника, а сегодня изучает алгебраические соотношения тригонометрических функций и их приложения в геометрии.

Наибольший вклад в развитие геометрии треугольника внесли математики XIX–XX веков Лемуан, Брокар, Тебо и другие.

На сегодня мы имеем целый кладезь уникальных свойств, которые можно по праву отнести к проявлению редкостной алгебраически-геометрической симметрии.

Просто диву даешься, насколько многообразен и удивителен мир гармонично-симметричных отношений в общесистемном случае для любого треугольника, по внешней форме весьма далекого от гармонии в смысле её частного образа красивости [2].

Насколько всё сразу преображается, когда мы начинаем сопоставлять отношения сторон, углов, высот и прочих элементов треугольника, которые образуют около 3600(!) характерных точек [3–5] со своей геометрией, симметрией и гармоничными соотношениями.

Треугольник подобно фениксу из пепла воссоздается во всей своей красе, как геометрической, так и формульно-подобной, а часто даже симметричной форме [6].

Тем неожиданной стала полемика в отдельных последних публикациях по золотоносной тематике вокруг известного треугольника Кеплера.

Он стал своеобразной "притчей во языцех" с синхронным порождением современных мифов математического характера.

Одновременно вполне понятный геометрический объект превратился в камень преткновения и/или "яблоко раздора" позиций-взглядов.

С одной стороны, несмотря на свою 4-вековую известность [7, с. 149], он продолжает как бы переоткрываться (rediscover) или "переоопределяться".

С другой стороны, отличаясь изящной простотой, он, как вдруг оказалось, способен вызывать недопонимание или, по аналогии с тремя сторонами геометрической фигуры, – блуждание в трех соснах.

Начальные сведения

Треугольник Кеплера (далее по тексту Δ-Кеплера) – это прямоугольный треугольник, длины сторон которого составляют геометрическую прогрессию.

Данная фигура объединяет два важных математических признака:

• прямой угол с вытекающей теоремой Пифагора;
• геометрическая прогрессия или пропорциональность сторон: большая сторона так относится к средней, как она к меньшей.

Пропорциональность сторон вкупе с прямоугольностью приводит к тому, что знаменатель геометрической прогрессии для численных значений сторон равен квадратному корню из константы золотого сечения Ф ≈ 1,618 [8, с. 80–90].

Квадраты, построенные на сторонах Δ-Кеплера, образуют геометрическую прогрессию с соотношением 1:Ф:Ф².

Для вещественных положительных чисел u, v > 0 их среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое являются длинами сторон прямоугольного треугольника тогда и только тогда, когда фигура является Δ-Кеплера [9].

формате PDF (1088Кб)