Введение

В связи с публикацией моей статьи «Проблемы Гильберта и «математика гармонии» [1] я получил несколько писем от членов Международного Клуба Золотого Сечения. Меня просят популярно объяснить, в чем суть нашего с Арансоном решения 4-й проблемы Гильберта и чем оно отличается от решения Алексея Погорелова. Цель настоящей заметки – дать ответ на эти вопросы.

Неевклидова геометрия. Начнем с определения понятия «неевклидова геометрия». В Википедии [2] мы читаем:

«Неевклидова геометрия — в буквальном понимании — любая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системам: геометрии Лобачевскогои сферической геометрии. Как и евклидова, эти геометрии относятся к метрическим геометриям пространства постоянной кривизны. Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, положительная — сферической, отрицательная — геометрии Лобачевского».

Игра в постулаты

Неевклидовы геометрии отличаются от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Отрицание 5-го постулата в «геометрии Лобачевского» (1825) явилось значительным событием в истории науки, ибо послужило первым шагом на пути к теории относительности. Начиная с «геометрии Лобачевского», началась «игра в постулаты», которая привела к новым неевклидовым геометриям.

Второй постулат Евклида утверждает, что любой отрезок прямой можно неограниченно продолжить. Евклид, по-видимому, считал, что этот постулат содержит в себе и утверждение, что прямая имеет бесконечную длину. Однако, в «эллиптической» геометрии любая прямая конечна и, подобно окружности, замкнута.

Теперь объясним суть решения 4-й проблемы Гильберта, изложенного в книге А.В. Погорелова [3]. Прежде всего, заметим, что решение Погорелова находится в рамках «игры в постулаты». Это вытекает из следующей цитаты, взятой из статьи Самуила Арансона «Еще раз о 4-й проблеме Гильберта» [4]:

« Как следует из книги А.В. Погорелова «Четвёртая проблема Гильберта», у него подход к построению геометрий Eвклида, Лобачевского и Римана аксиоматический, как, впрочем, и у Eвклида, Лобачевского и Римана.

А именно, Погорелов выполняет следующие операции.

1. Он берёт для каждой из этих геометрий соответствующую ранее этим геометриям известную систему аксиом, удовлетворяющую условиям независимости, непротиворечивости и полноты, что уже сделано до него усилиями Евклида (геометрия Евклида), Пуанкаре, Бельтрами, Лобачевского (геометрия Лобачевского), Римана (геометрия Римана) и других авторов. Реализация этих геометрий с этим набором аксиом уже давно была известна до Погорелова. Таких реализаций было известно конечное число.

2. Среди этих аксиом для каждой из этих трёх геометрий встречаются две аксиомы конгруэнтности (в смысле равенства)

Аксиома конгруэнтности отрезков

Если два отрезка конгруэнты (равны) третьему отрезку, то они конгруэнты между собой

Аксиома конгруэнтности углов

Если два угла конгруэнтны (равны) третьему, то они конгруэнтны между собой.

3. Погорелов выбрасывает аксиому конгуэнтности углов, заменяя её аксиомой неравенства треугольника: «длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон». В случае такой замены для каждой из этих геометрий аксиома конгруэнтности углов становится ТЕОРЕМОЙ, если реализовывать геометрии Евклида, Лобачевского или Римана. В противном случае, система аксиом Погорелова не может удовлетворять трём условиям: независимости, непротиворечивости и полноты. После фактического доказательства этой теоремы, каким бы изящным методом она не получена, состоящей в реализации этих аксиом, автоматически восстанавливаются все прежние системы аксиом для геометрий Eвклида, Лобачевского и Римана.

В этом, как нам кажется, и состоит вклад Погорелова в четвёртую проблему Гильберта, и, следовательно, то что он сделал, не есть полное решение четвёртой проблемы Гильберта.

4. Вот когда Н.И.Лобачевский вместо аксиомы Евклида (пятый постулат Евклида) (Аксиома параллельных прямых. «Через любую точку, лежащую вне прямой, можно провести другую прямую, параллельную данной, и притом только одну» предложил свою аксиому «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её», сохранив при этом все остальные аксиомы, то это действительно была революция в геометрии.

В геометрии Римана (эллиптическая геометрия) аксиома о параллельных звучит так.«Каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Эта аксиома противоречит системе аксиом евклидовой геометрии , если не исключить аксиому о параллельных Евклида..

5. Ведь вместо аксиомы параллельных прямых мы могли бы использовать в качестве аксиомы свойство углов треугольника («сумма углов треугольника равна 180є для геометрии Евклида, меньше 180є для геометрии Лобачевского и больше 180є для геометрии Римана»). Но тогда необходимо доказывать аксиому о параллельных прямых в ситуации для Евклида, Лобачевского и Римана, которая в этом случае становится ТЕОРЕМОЙ.

Эта теорема доказывалась у нас в университете для студентов, когда нам читался курс «Основания геометрии». Но никто же никогда не говорил тогда да и теперь, что это есть решение четвёртой проблемы Гильберта»

Я полагаю, что эта цитата – лучшее объяснение сути решения Погорелова.

И последнее. Алексей Васильевич Погорелов, действительно, выдающийся геометр современности, внесший огромный вклад в развитие всех направлений геометрической науки. Именно поэтому меня удивляет, почему при мощной поддержке в России, Украине и за рубежом его имя, как автора решения 4-й проблемы Гильберта (пусть даже частного решения), не упоминается ни в российской, ни в англоязычной Википедиях. Наверное, его поклонники должны выступить единым фронтом и добиться того, чтобы с этой проблемы был снят постыдный статус «расплывчато сформулирована», а имя Погорелова было включено в перечень авторов решений этой проблемы.

формате PDF (181Кб)