Линейные аддитивно-рекуррентные последовательности, обобщающие широко известные числа Фибоначчи, базируются на добротной теории возвратных (разностных) уравнений [1].

Решение таких уравнений для линейного однородного случая обычно находится в виде взвешенной суммы степеней корней характеристических полиномов.

Числовые константы или коэффициенты пропорциональности определяются с помощью априори задаваемых начальных условий.

Особых затруднений здесь не возникает.

Новые наработки в математических журналах основном связаны с усложнением постановочных задач в рамках уже готового решения. Как правило, они совершенно не связаны с потребностями практики и главным образом сопряжены с синтетической игрой мыслительных способностей и аналитического воображения. Во всяком случае, всё лучше, чем занимать пытливые умы мотивировкой негативного толка.

Как говорится, ладно с ней ... с прикладной полезностью. Лишь бы не во вред...

Исторические параллели. Идею поделиться некоторыми соображениями-наработками в области числовых моделей Фибоначчи подсказала недавняя работа [2].

Автор представил на обозрение комбинаторные формулы для суммы и разности целых степеней n корней αⁿ ± βⁿ обычного квадратного уравнения.

Приведенные соотношения правильные. Но, увы, давно и хорошо известные.

При этом выполненные преобразования выглядят неотчётливо. Без анализа работ предшественников. Описание материала в основном построено на частных примерах без строгих математических обоснований. Равно как и последующие попытки его уточнения [3]. Когда, наоборот, на очевидных положениях выстраивается цепочка теорем, напоминающих незамысловатые схемы [4].

Хотя де-факто речь идёт о простых и хорошо изученных на сегодня обобщённых моделях Фибоначчи второго порядка, история которых восходит, как минимум, к 60-м годам прошлого века [5–7]. Задолго до публикаций В. Шпинадель (1998), В. Шенягина (1997), Г. Аракеляна (1989) и ряда других авторов, известных по материалам виртуального Института золотого сечения.

Оценивая общее состояние в развитии событий и проводимых исследований, невольно вырисовывается следующая картина: после провозглашения тезы о развитии задачи золотого сечения /согласно алгебраическим квадратичным решениям общего вида/ данная тема в золотоискательской среде "забуксовала" на полпути.

Что говорить, если даже так называемые гиперболические функции Фибоначчи [8], на которые возлагались определённые надежды, основательно застопорились в своём движении-развитии на уровне неполного квадратного уравнения x² = px+1.

Совершенно без каких-либо перспектив дальнейшего совершенствования.

Хотя бы для базовой квадратичной модели x² = px+q. Как самого простого случая повышения уровня сложности, со снятием ограничения q = 1. Однако не выходит...

Разве что следует полностью отказаться от привнесенных искусственных форм и перейти на обычные в математике огибающие линии, которые позволяют свободно расширить уровень обобщения до алгебраического полинома n-го порядка!

формате PDF (275Кб)