|
|
Грант Аракелян
Тысячелетиями в математике всё вращалось вокруг натуральных чисел. Они - необходимый элемент счета, используемый еще в доисторические времена, понятие натурального числа всегда казалось настолько привычным, простым, изначальным и незаменимым, что долгое время не возникало потребности в его определении посредством других понятий. Знаменательно и то особое место, которое натуральные числа занимали в науке и философии, мифологии и религии, магии и оккультизме, в обыденном сознании и т.д. Однако все попытки обоснования математики сведением ее к арифметике натурального ряда оказались безуспешными. В основе любой программы обоснования лежит идея ее унификации путем редукции к тому или иному минимальному базису исходных положений и простейших, далее неразложимых понятий, играющих роль "атомов", первичных объектов. Детальный анализ оснований математики, отвергая идею первичности натурального ряда, приводит, в качестве решения проблемы "кирпичиков-первоатомов" числового континуума, к системе двух исходных функций и нескольких фундаментальных математических констант.
Оглавление
1. Натуральный ряд обычно начинают с единицы, но последняя, несмотря на свою кажущуюся элементарность при более глубоком рассмотрении оказывается в теории чисел и анализе отнюдь не простым, а наоборот, весьма сложным математическим объектом. Можно, конечно, начинать с 2 или 3 или даже, как это иногда делают, с 4, считая именно двойку (тройку, четверку) первым натуральным числом, однако наша математическая интуиция восстает против этого: ряд, начинающийся не с нуля и даже не с единицы, выглядит надуманно и не очень привлекательно. Хуже всего то, что единицу так или иначе ввести надо, как и нуль, который всегда почему-то очень плохо вписывается в идею изначальности натурального ряда.
2. Концепция, основанная на идее первичности натуральных чисел по отношению ко всем остальным математическим объектам, вынуждена для построения всех чисел – действительных и комплексных – прибегать к искусственным приемам. В частности, отрицательные целые числа –1, –2, –3,… так же как нуль, не могут быть получены из натуральных чисел без дополнительных допущений. Наверное не случайно, что отрицательные числа лишь в XIII веке были завезены Леонардо Пизанским (Фибоначчи) в Европу с Востока, где они также появились позже дробных чисел и тоже далеко не сразу – вначале в Древнем Китае, с VII века в Индии. Нельзя упрощенно представлять себе дело так, что из понятия натурального числа логически вытекает понятие отрицательного натурального ряда –1, –2, –3, … Для введения последних необходим какой-то новый принцип, допустим, делающий возможным установление взаимно-однозначного соответствия между теми и другими. Здесь существенно, что новые объекты вроде отрицательных чисел и нуля не строятся из натуральных, а фактически определенным образом вводятся в дополнение к ним.
Между тем основная цель любой концепции, стремящейся к унификации математики путем выявления ее первоосновы, остается всё той же: из минимального базиса исходных математических объектов и правил оперирования ими построить все остальные объекты – здесь это множество всех чисел, – не выходя за пределы первоначально выбранного базиса. Конечно, в данном случае в исходный базис с самого начала могут быть включены и такие объекты как бесконечный ряд отрицательных чисел вместе с нулем, раз уж процесс их получения нарушает указанное условие. Расширенный подобным образом базис оказывается достаточным для того чтобы уже без помех построить множество всех действительных чисел. Но, во-первых, это уже не натуральный базис, во-вторых, он слишком громоздок, а главное, всё равно не способен решить некоторые очень важные вопросы.
Полный текст доступен в формате PDF (905Кб)
Грант Аракелян, Фундаментальные математические константы как начало всех чисел и новая ФМК // «Академия Тринитаризма», М.,
 |