Введение. Принято считать, что гармония больше тяготеет к природным явлениям или культурным срезам общества. Действительно, мироустройство вызывает неподдельный трепет и восхищение, несмотря на отдельные проявления небезопасных процессов, связанных со стихийными бедствиями.

Хотя с точки зрения планетарного уровня иерархии, например, те же вулканы столь важны и необходимы, как и кислород. В противном случае возникновение жизни на Земле было бы под большим вопросом.

Поэтому в общей картине эволюции Земли вулканическая деятельность, равно как и сопутствующие землетрясения и цунами, не менее гармоничны восхода и захода солнца.

Но есть еще один удивительный, ни на что непохожий гармоничный мир – это абстрактный мир математики.

Симбиоз гармонии и математики как взаимодействие, взаимопроникновение и взаимно-полезное существование (совместная жизнь) проистекает от гармонизирующего начала числовых отношений и пропорций.

Подобно единению науки–искусства в симбиозе закономерностей математики и гармонии воссоздаются творения головы и рук человеческих, преображая зримый хаос и энтропию в удивительную симфонию идеальных форм и безукоризненных образов.

Математика – не только царица наук. Это муза гармонии и музыка природы.

Практически все математические понятия, так или иначе, опираются на понятие числа, а конечный результат любой математической теории, как правило, выражается на языке чисел [1, с. 4]. Даже в аналитической геометрии главная цель – это выразить геометрические понятия на языке чисел.

Вот и получается, что числа – единственный предмет изучения в математике.

С этим хорошо корреспондируется и знаменитая максима "все есть число", которая достаточно точно передает основную доктрину раннего пифагореизма [2].

Числовые структуры. Числа – чисто умозрительная сущность, используемая для описания счета и количества.

Многие из них, особенно натуральные числа по тем или иным признакам и свойствам группированы в отдельные структуры (совокупности) и имеют собственные имена:

• четные–нечетные, простые–составные и взаимно простые (без общих делителей);
• простые числа-близнецы (отличаются на 2);
• дружественные числа (каждое из них равно сумме делителей другого числа);
• фигурные, многоугольные;
• совершенные числа (равны сумме своих делителей);
• числа-палиндромы (равны своему "отражению");
• харшад (делятся на сумму своих цифр);
• самовлюбленные (числа Армстронга, равны сумме своих цифр, возведенных в степень, равную количеству его цифр);
• числа Смита (сумма цифр числа равна сумме цифр всех его простых сомножителей с учетом кратности);
• числа Софи Жермен (такие простые p, что 2p + 1 тоже простое);
• числа Цукермана (делятся на произведение своих цифр);
• числа Серпинского (нечетное k, если для любого n число k·2ⁿ+1 –составное);
• числа Лейланда (представимы в виде целых x^y+y^x);
• числа Кармайкла (составные n, если b^n–1≡1(mod n) для всех b, взаимно простых с n);
• автоморфные (квадрат числа оканчивается самим числом в его цифрах);
• самопорожденные;
• круглые (натуральные степени основания системы счисления);
• магические числа (в физике соответствуют количеству нуклонов в атомном ядре, при котором полностью заполнена какая-либо его оболочка).

В процессе развития отдельных направлений математики, особенно комбинаторики, выделены также особые классы целых чисел, как правило, допускающих рекуррентно-аналитическое представление:

числа Бернулли, Мерсенна, Ферма, Фибоначчи, трибоначчи, Каталана, Стирлинга, Моцкина, Белла, Шрёдера, Деланноя, Эйлера и др.

В гармоничной мозаике числовых форм особое место занимают палиндромы, которые отличаются формой записи, совпадая со своим зеркальным отражением, и одинаково читаются слева направо и справа налево.

А среди них – частный случай моноцифрового написания чисел одинаковыми знаками.

Общие сведения. Моноцифровое число или репдигит (от англ. repdigit – repeated digit) – число с повторяющимися цифрами. Его также называют как "репдиджит" [3, с. 10].

Достаточно удобной, на наш взгляд, является его визуализация (обозначение) с применением нижнего индекса:

m_n – число, запись которого в выбранной позиционной системе счисления содержит n одинаковых цифр (знаков) m.

То есть цифра m повторяется n раз. Например, 1₄ = 1111, 6₃ = 666, 4₂ = 44 и т.д.

Понятно, что запись m₀ буквально означает "пустое место".

В репдигитах геометрическое и арифметическое среднее их цифр совпадает.

Частный случай m = 1 в математике выделен отдельно.

Репьюниты (repunit [4] от англ. repeated unit – повторенная единица) – натуральные числа, которые в любой позиционной системе счисления записаны одними единицами [5; 6, с. 379]. Это слово всё чаще появляется в зарубежных статьях, приобретая силу нового международного термина.

Репьюнит порядка (длиной) n – число, состоящее из n единиц: R_n = 1_n.

Это частный случай числа-палиндрома – "симметричного" числа (типа 16461), которое остается неизменным при прямом и обратном (реверсном) прочтении.

Очевидно, что репьюниты относятся к таким палиндромам, которые делятся на произведение своих цифр.

Еще Бернулли, Люка и другие известные математики занимались разложением на простые множители чисел, записываемых одними единицами. Интерес к этим числам, снова возрос в последнее время, особенно в связи с развитием теории арифметических кодов и методов помехоустойчивого кодирования в компьютерной технике [7].

В работе [8] собраны воедино известные, а также авторские находки свойств широко известного числа-репдигита 666 в самых разных математических интерпретациях. Показано, что существует немалое количество фантастически увлекательных трактовок такого притягательного своим изяществом числа. Многие из них имеют правдоподобную доказательную основу и, вопреки сложившимся малообоснованным стереотипам, характеризуют число 666 как символ совершенства.

формате PDF (330Кб)