|
|
С.Л. Василенко
В статье [1] исследован ряд аналитических методов построения магических квадратов (МК) сколь угодно большого порядка (размерности). Определение элементов МК в явном виде позволяет максимально формализовать вычислительные процедуры и непосредственно находить содержимое любой ячейки квадратной матрицы.
Целью настоящей работы является распространение указанного подхода для синтеза квазисовершенных идеальных магических квадратов (СИМК). Основные сведения по терминологии. Магический квадрат (МК) – квадратная таблица (матрица) размером n×n, заполненная n2 числами таким образом, что суммы чисел во всех ее строках, столбцах и на двух главных диагоналях одинаковы. Характерная сумма чисел в строках, столбцах и на диагоналях называется магической константой. Традиционный (классический) МК содержит все натуральные числа от 1 до n2. Пандиагональный (panmagic) или дьявольский МК – если с суммой S совпадают и все ломаные диагонали (в обоих направлениях), образующиеся при сворачивании квадрата в тор. Ассоциативный (симметричный) МК – если сумма любых двух чисел, симметрично (наискось) расположенных относительно центра матрицы, равна 1 + n2. Идеальный (ultramagic) МК [2] – одновременно пандиагональный и ассоциативный. То есть магическая константа присутствует во всех ломаных диагоналях, а сумма любых двух чисел в центрально противолежащих ячейках равна 1+n2. Идеальные МК отличаются строгой симметрией рисунка относительно главных осей. Идеальных МК порядка 4k+2 не существует. Это доказано строго математически. Совершенный (most-perfect) МК [3, с. 154] – пандиагональный квадрат (обычно порядка двойной четности n = 4k), в котором:
Числовые формы СИМК представляет исключительный интерес. В них одновременно сосредоточено наибольшее количество уникальных числовых свойств. Поэтому особое внимание может быть сосредоточено на поиске решений, допускающих наряду с замечательными особенностями магических квадратов (МК) и возможности их аналитического представления. Можно высказать мысль, что подобное сочетание гармонии и математики является одной из главных задач синтеза общих структур, подобных МК.
Нечто подобное мы наблюдаем при создании фракталов, когда незамысловатые формулы комплексной переменной в комбинировании со случайным (вероятностным) поиском на заданном участке плоскости приводит к изумляющим глаз и гармонически насыщенным геометрическим образам.
Как отмечалось выше, в идеальном МК таблица n×n заполняется неповторяющимися числами так, что во всех строках, столбцах и диагоналях (включая ломаные) суммы чисел равны магической константе, а сумма любой пары центрально симметричных ячеек равна одной и той же величине.
Для n = 2k + 1 и n = 4k (k = 2, 3, 4,…) идеальный МК удается заполнить всеми числами от 1 до n2. При n = 4k + 2 идеальные МК также существуют, но числа в них уже не являются частью начального натурального ряда. Поэтому такие идеальные МК могут быть только нетрадиционными [4].
Один из методов создания и подсчет СИМК можно найти в работе [5].
Общее количество существенно различимых (с точностью до поворотов и отражений) совершенных МК порядка 4k образуют числовую последовательность A051235 [6].
Так, для n = 36 существует около 2,7 × 1044 нетривиально различимых СИМК [7].
Квазисовершенные идеальные МК проще всего строить при помощи ортогональных латинских квадратов [8, с. 261–282]. Важным обстоятельством здесь является доказанная теорема, что для всякого n>6 существует пара ортогональных латинских квадратов порядка n [8, с. 277]. Весь вопрос теперь сводится к поиску таких подходящих пар.
А их нахождение, как оказывается, не такое уж и простое.
Полный текст доступен в формате PDF (221Кб)
С.Л. Василенко, Синтез квазисовершенных идеальных магических квадратов // «Академия Тринитаризма», М.,
 |