Волшебные или магические квадраты (МК) известны уже не одно тысячелетие.

Свое название они получили из-за удивительных аддитивных свойств, и издавна почитаются разными народностями.

От этих форм всегда веяло некой тайной, силой и особой привлекательностью.

В условиях отсутствия компьютеров и ограниченного пространства доступных числовых конструкций, магические квадраты десятки веков приводили людей в неописуемый, доходящий до экзальтации восторг, когда они как чуду внимали совершенству незатейливых суммирующих закономерностей.

Сегодня этим уже никого не удивишь. Человек научился строить МК самой разной природы и порядка. И то, что раньше казалось таинством, сегодня представляется ремеслом.

Составление МК превратилось в своеобразное решение числовых кроссвордов, а само словосочетание «магический квадрат» стало научным математическим термином и составляющей комбинаторного анализа.

Многие посвятили лучшие часы своего творчества на то, чтобы как музыку выписывать все новые и новые конфигурации "магических признаков", которым, как потом стало очевидным, нет ни конца, ни края.

Оказалось, что числа могут быть организованы и в другие аналитико-геометрические модели с интересными свойствами [1]: треугольники, звезды, круги, шары и т.п.

Они также безграничны, как и числа в своем невероятном марафоне от нуля до воображаемого финиша, имя которому "пресловутая бесконечность". Никто в мире толком и не знает что это такое. Но самое интересное в этой ситуации – другое: практически ни у кого эти слова не вызывают чувства душевного дискомфорта.

Бесконечность? – Пусть будет бесконечность.

Очень даже удобная точка зрения и подходящий принцип, которые не требуют особых усилий мозговых клеток. Достаточно только принять это должным как догму или на веру.

С развитием вычислительной техники исследования МК в последние десятилетия приобрели второе дыхание. Вполне объяснимо, что наибольшие успехи в развитии теории и практики МК были достигнуты в Европе, США и Японии.

В начале 21 века образовалась достаточно развитая сеть Интернет-ресурсов. Среди них можно выделить сайты МК [2–6], а также описание более сложных фигур, таких как кубы, тессеракты [7] – четырехмерный аналог МК [8–10] и др.

Кроме того, в работе [8] представлена обширная англоязычная библиография, в [9] – вебсайты по квадратам, кубам и гиперкубам. Развивается аналитическая подоснова.

В частности, получило развитие [11] применение теории графов с использованием базы Гильберта для создания целочисленных точек, в том числе на примере известных МК Франклина. Русскоязычная литература, посвященная МК, на этом фоне выглядит менее представительно. Среди исследований можно выделить работы М. Постникова [12], Ю. Чебракова [13, 14], Н. Макаровой [15, 16], Г. Александрова [17–21] и др.

Вполне естественно, что со временем и эти ресурсы покажутся "детской забавой" на фоне многоплановых обобщений в данной сфере.

Не исключено, что и сакраментальный вопрос: "А что они (МК) дают?" – найдет свое логическое продолжение в виде новых теоретических и прикладных разработок.

Пока же «ценность теории построения магических квадратов определяется не только возможностью ее практического использования, для чего именно она была разработана, но также ее способностью воспитывать наш ум, доставлять ему питание, поддерживающее его жизнь, отыскивать новые истины и выяснять их назначение без помощи извне.

С этой точки зрения изучение свойств уже построенных магических квадратов и многоугольников, не требуя сравнительно глубоких знаний, представляют собой превосходную умственную гимнастику, развивающую способность понимать идеи размещения, сочетания, симметрии, классификации, сообщения» [22].

Представляется, что открытие самых увлекательных и необычных закономерностей чисел еще впереди. И в этом контексте МК вполне могут оказать действенную помощь.

Так что совершенствование методов синтеза и анализа МК – не только "пища для ума", но и вполне реальное перспективное направление развития в теории чисел.

Однако оставляя за собой исторически сложившийся и принятый по достоинству термин, магия таблиц уходит на второй план, уступая место трезвым арифметическим расчетам. И одним из главных аспектов здесь становится поиск и совершенствование аналитических методов, позволяющих исследовать МК любой сложности и конфигурации.

Но все ли числа в своем беге к бесконечности одинаково красивы и элегантны?

Всем ли им суждено в равной степени отвечать тем или иным особенностям?

Или все же это удел избранных? – И большей частью, зависит от человека. Поскольку именно люди дают им названия, наделяют характеристиками, возводят на пьедесталы и т.п. Иные просто замалчивают, а другие восхваляют.

Почему-то никому в голову не приходит считать, например, число 34 происками злых сил или кознями фантасмагории на том основании, что оно является удивительной константой "дьявольского магического квадрата" 4x4, слившего воедино сразу несколько десятков изумительно-завораживающих числовых тождеств.

Трудно удержаться от соблазна, чтобы не привести этот шедевр человеческой мысли, которому сродни такие вехи как изобретение часов, колеса, элементов письменности и т.п.

формате PDF (554Кб)