В математике гармонии часто используются повторные радикалы для получения приближенных значений корней уравнений второго, третьего и более высоких порядков. Часть таких корней связано с золотым сечением, часть – с металлическими сечениями Веры фон Шпинадель, с уравнениями Алексея Стахова и Мидхата Газале и др. сечениями. В ряде работ автора (Мартыненко, 2009) предприняты попытки систематизировать эти уравнения и связанные с ними повторные радикалы. В данной работе эта систематизаторская работа продолжена.

Предельные значения некоторых повторных радикалов являются целыми числами. Их роль в теории гармонии не совсем ясна, но их математические особенности столь интересны, что весьма трудно отказаться от их систематизации. Это тем более интересно, что повторные радикалы напрямую связаны с теорией чисел, которая изучает арифметические свойства чисел натурального ряда и принадлежит к группе старейших разделов математики. Нет сомнений, что здесь существует связь с диафантовыми уравнениями – уравнениями с целочисленными коэффициентами и неизвестными, которые могут принимать только целые значения (Башмакова, 1972; Гельфонд, 1978). Эти уравнения названы в честь греческого математика Диофанта (IV н. э.). Он написал свою знаменитую «Арифметику» в 13 книгах, из которых сохранилось 6. Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма.

В данной работе мы будем иметь дело с радикалами любой степени, т. е. со структурами вида:

которой соответствуют неполные уравнения произвольной целочисленной степени, причем коэффициенты в уравнениях тоже целочисленные.

Начнем с радикалов и уравнений второй степени.

формате PDF (119Кб)