Математика есть наука о бесконечном, её целью является постижение человеком, который конечен, бесконечного с помощью знаков.

Г.Вейль, физик

В числе имеет место то, чего нет в куче, которая едина случайно, но есть в человеке, единство которого скрепляет его душа

А.Д.Мордухай-Болтовский, математик и психолог

Ни логика, ни математика не имеют задачи исследовать душу и содержание сознания… Скорее их задачей можно было бы считать исследование духа…

Г.Фреге, основатель логической семантики

Краткое содержание. В рамках математического платонизма, которого стихийно придерживается большинство математиков, полагается естественное упорядочение континуума действительных чисел, подчиняющееся целостной организации в «золотой пропорции». С учётом выявленной ранее направленности последней бесконечное числовое множество теперь «оживает», неся в своей иррациональной «золотой» части общий замысел и дух мира, воплощающийся в наблюдаемой рациональной структуре. А объективное отношение целостности, выражаемое идеальным и трансцендирующим взаимодополнением двух частей «в золоте», проявляется во вселенской объединяющей тенденции, с одной стороны, - через всеобщий закон тяготения материальных тел, а с другой и субъективно, - в чувстве любви, сплачивающей сердца. Так истина Откровения полностью согласуется с наукой, означая торжество единого мировосприятия.

По поводу «непостижимой эффективности математики» высказывались многие авторитеты, начиная с Пифагора: «числа управляют вселенной»; а согласно Дж.К.Максвеллу, числа заведуют лишь «количественной стороной природы». «Бог руководствуется геометрией – считал Платон. Да и вообще «великий Творец вселенной всё более начинает казаться чистым математиком» (Дж.Х.Джинс), а «каждое новое открытие является по форме математическим» (К.Дж.Дарвин- физик-теоретик) и... «Бог руководит арифметикой».

Последнее изречение Л. Кронекера (1823-1891), занимавшегося в основном теорией чисел, попадает «в масть» со всем нижеследующим изложением. А глубинную подоплёку преобладающего отношения к математическим объектам в плане стихийного платонизма неплохо передал Б Рассел: «...Математика является главным источником веры в вечную и точную истину, а также в сверхчувственный интеллигибельный мир...и всякое точное размышление имеет дело с идеалом, противостоящим чувственным объектам ...Мысль благороднее чувства, а объекты мысли более реальны, чем объекты чувственного восприятия. Математические сущности, например числа, являются вечными и вневременными... и могут быть истолкованы как мысли Бога (!).Отсюда платоновская доктрина, согласно которой Бог выступает геометром, а также представление сэра Джемса Джинса о том, что Бог предаётся арифметическим занятиям». Прямо скажем - неожиданные откровения для убеждённого логика и позитивиста!

На мельницу «математических платоников», доминировавших особенно в XIX в., льют воду и слова Ш.Эрмита (1822-1901): «Я верю, что числа и функции анализа не являются произвольными созданиями нашего разума... а существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, и мы их встречаем или открываем...». Аналогичное положение в неменьшей степени справедливо, очевидно, и по поводу геометрии: её структуры могут отображать идеальные сущности, лежащие в основе мироздания.

В то же время известна плохая соединимость арифметики с геометрией, называемая иногда «АГ-конфликтом». Но не следствие ли он «разделяющей руки» рационализма, стремящегося всё систематизировать и разложить по полкам? Указанная хромающая соединяемость отчасти преодолевается математическим анализом, когда два основных способа исследования – наглядный и численный – стали снова, как и в пифагорейской философии, выступать в единстве. Эпохальный рывок здесь сделал Декарт, сам датировавший его 10 ноября 1619 г. – когда якобы страшный вихрь поднял его во сне на большую высоту, откуда он мог наблюдать движение воздушных масс. Заметив в картине развития вихря некие закономерности, философ понял, что будучи познаны, они развеют всякие опасения относительно разрушительной силы вихревого движения. Вскоре был создан знаменитый метод координат на плоскости, заявленный чуть раньше ещё П.Ферма, в то время как у грандиозной с виду декартовской панорамы космогонических вихрей оказалась куда более скромная участь.

Хотя сновидение «отца новой философии» было явно провидческим, он не додумал его до конца. Казалось бы, напрашивалось связать законосообразность вихря с открытой им же логарифмической спиралью, чьё подобие могло ассоциироваться с таковым в платонически ориентированной философии, где оно указывало на причастность низшего высшему и соотносилось с единым. Да и трансцендентность этой замечательной кривой говорила сама за себя...

Не исключено, что основатель рационализма не видел логспираль в своей прямоугольной системе, поскольку она более привычно «располагается» в других ортогональных - полярных координатах. А совсем просто наша спираль даётся вообще вне координат - через натуральное уравнение, определяющее любую кривую с точностью до движения в пространстве. В данном случае оно напрямую фиксирует подобие через пропорциональность дуги и радиуса кривизны. Можно ли тогда назвать чудесную логспираль кинематическим символом или образом подобия?

В самом деле, весь нюанс в том, что пока мы игнорируем вращение, логспираль не имеет подобия по длине, хотя и служит образцом гладкого самоподобного объекта, что резко отличает её от обычных фракталов и других недифференцируемых функций типа потрясшей математический мир «колючки» Вейерштрасса(1861). Рука, вычерчивающая её, должна замереть в точках отсутствия производной, из каковых эта «дикая» кривая сплошь и состоит…

Выявленные на конкретном примере перипетии познания характерны, по-видимому, для эпистемологии в целом. На ранней стадии развития знания в любой сфере превалируют полуинтуитивные представления – типичные, скажем, для древнегреческих натурфилософов – когда мыслитель стремится более открыть, чем построить. А затем, по мере возрастания требований к предсказательной силе науки и необходимости количественного изучения объектов, на сцену выходит формально-логический понятийный аппарат. Нейрофизиолог сказал бы, что всё объясняется большей активацией логически-временного полушария нашего мозга по сравнению с образно-пространственным. Так примерно и обстояло с «левополушарным» Аристотелем, сменившим своего «правополушарного» учителя. И примечательно, что у Платона вовсе нет стройного и завершённого учения об эйдосах, ставшего, тем не менее, определяющей парадигмой на века, тогда как его любимый ученик только и занимался систематизацией и наведением порядка во всех мыслимых областях.

Ясно, что нет-нет да надо сверять формально-категориальный подход с интуицией, поскольку последняя может быть фрагментарной, а логический вывод вдруг уйдёт в сторону и разойдётся с ней на каком-то отдалённом этапе. К счастью, такое знаменательное соитие и свершилось в математике на теории множеств. Как писал академик П.С.Александров (1972), «по мнению многих выдающихся математиков, это учение лежит уже вне их науки, а быть может, и вне науки вообще...». То, что дело обстоит именно так, и будет показано ниже.

Истинное слияние арифметики и геометрии в учении о совокупностях. Такими словами Ф.Клейн передаёт сокровенную цель изысканий своего близкого друга Г.Кантора. Он констатирует, что через всю историю математики, как и философию, проходит различие между дискретным в арифметике и непрерывным в геометрии, причём в новейшее время на первый план выдвигаются именно дискретные величины «как наиболее лёгкие для понимания».

Потрясшее математику «менгенлере» - учение о множествах - Кантора было призвано, таким образом, урегулировать пресловутый «АГ-конфликт» и показать, что целые числа и геометрические образы «вырастают» из понятия множества, выступающего более первичной категорией, открытой самым глубинным слоям нашей интуиции. Абстрактное множество заняло центральное положение в иерархии рассматриваемых математиками сущностей – статус объекта, который «существует сам по себе». Кантор классифицировал множества, отвлекаясь от конкретной природы составляющих элементов и учитывая лишь их «количество» и порядок. А так как дело касалось в основном бесконечных совокупностей, проблема их «величины» оказалась не столь тривиальной.

Всё замкнулось вокруг «неудобной» абстракции актуальной бесконечности – застарелой и философской проблемы, всегда доставлявшей много головной боли. Некоторые даже видели в теории бесконечных множеств опасную форму математического умопомешательства и предостерегали от превращения «царицы наук» в сумасшедший дом. Но туда реально попал Кантор, претерпев под занавес нервный срыв и будучи расстроен, в частности, всплывшими в его теории парадоксами типа «множества всех множеств». Тут же стали создаваться различные аксиоматические теории, в которых непротиворечивость построения достигалась наложением определённых ограничений на исходные постулаты наивной канторовской модели. Однако сам факт формализации её по крайней мере четырьмя выдвинутыми системами навевает мысль о каком-то непреодолимом неблагополучии ситуации...

На наш взгляд, здесь кроется некий «гносеологический барьер», разделяющий интуицию и логику. Попросту говоря, озарения, блеснувшие по ведомству первой, не всегда выразимы во второй. О «непостижимости» подобного рода прекрасно писал наш религиозный философ и психолог С.Франк, продолжавший линию апофатики Н.Кузанского и Вл.Соловьёва. И в его «онтологической гносеологии», придерживающейся духа интуитивизма, рациональное знание восполняется в религиозном «знании-жизни» как благодатной форме цельного существования человека. А что может быть важнее столь гармоничного сочетания?...

Явственный свет тут проливает и семиотика. Считается, что слова необходимы для поддержки мысли как на стадии её формулировки, так и при коммуникации; но вот «внутренняя мысль, особенно когда она творческая, охотно использует другие знаки, более гибкие и менее стандартизированные, чем речь, и которые оставляют больше свободы и подвижности творческой мысли...» (Р.Якобсон). О роли неречевых элементов в мышлении – «обычно визуального или изредка двигательного типа» - писал и А.Эйнштейн. Оказывается, «слова ...приходится подыскивать с трудом только на вторичном этапе, когда игра ассоциаций дала уже некоторый результат...». Что же лежит в основе столь интригующей смысловой и даже, вероятно, эмоциональной связи в «потёмках» нашего сознания?

Будем, во-первых, исходить из лейбницевской «предустановленной гармонии», воспринятой и Энгельсом в виде «соответствия между разумом и природой...поскольку продукты человеческого мозга...не противоречат остальной природной связи». Во-вторых, в теории множеств было воскрешено синтетическое мышление, искавшее в «чувственном представлении» совокупности образ некой целостности и понимания её как «многого в едином». Математическая мысль как бы перекинулась, оставаясь на «территории непрерывного», от бесконечно малого в анализе к трансфинитно большому в синтезе, а «время раздирать», как делился мудростью Соломон, сменилось «временем сшивать» (Еккл.3:7). На этом-то пути и следует ожидать желанного объединения.

Попытаться «сшить» оба «конца» бесконечности можно, разумеется, только уповая на предполагаемый в ней сквозной порядок, схватывающий её в монолитное единство.

И прецедент известен: на «аксиомах порядка» как раз и базируется описание множества R действительных чисел – тривиального соотношения «больше», «равно» или «меньше». Но такое очевидное упорядочение типа простого следования, восходящее к ряду натуральных чисел, ещё далеко от понятия целостности. Чтобы восполнить пробел, попробуем взять тройку чисел, рассматриваемых с позиции целого и его двух частей и потребуем, чтобы они были сцеплены ещё и одним отношением.

Ограничимся бесконечным и счётным множеством Р рациональных чисел, оставляя пока в стороне «несоизмеримые» иррациональные числа, образующие континуум. Тогда для любого числа Р, как целого, примем едшествующие ему два партнёра за его меньшую и большую части, выраженные в долях х единицы: Р(1-х) и Рх. Множество Р «всюду плотно», и потому наверняка найдётся тройка чисел, удовлетворяющая указанной целостности. Теперь, исходя из упомянутого подобия и вспоминая Платона, мы вправе написать:

Родоначальник платонизма восхищался в «Тимее» пропорцией как «прекраснейшей из связей», в которой из трёх чисел первое так относится к среднему, как последнее к третьему, ибо «два члена сами по себе не могут быть хорошо сопряжены без третьего». А говоря современным языком, аддитивность в (1) идеально сочетается с мультипликативностью, которая в свою очередь может ассоциироваться с «фрактальным устройством» числовой оси. Собственно, фрактальность просматривается и в известном методе определения любого числа через последовательность вложенных друг в друга отрезков. Та же идея «кинематического» подобия на «числовой плоскости», равномощной оси, отображается, очевидно, сворачивающейся логарифмической спиралью. Впрочем, и сама по себе апелляция к фрактальности не должна вызывать протеста – учитывая её тотальную распространённость в природе (Б.Мандельброт). Сюда же примыкает и непременный «фликер-эффект», аккомпанирующий почти всем динамическим системам от музыки до транзистора и подробно обсуждавшийся ранее (БМВ, 1992, 96, 2000)...

Будучи по определению непрерывной, наша пропорция с лёгкостью разворачивается до бесконечности в обе стороны:

Спрашивается: «покрывают» ли компоненты (2) посредством перебора всех Р континуум действительных чисел? Ответ на поставленный вопрос даёт

Золотая пропорция. Нужно выяснить, пополняют ли все «вторичные» Р(х), рассматриваемые как функции таинственного х, числовую ось до континуума. Не вызывает сомнений, что уже в силу «двусторонней» бесконечности (2) множество Р(х) не эквивалентно натуральным числам, превосходя их, а потому несчётно. Как мы помним, согласно канторовской континуум-гипотезе, не существует несчётного множества, мощность которого меньше мощности континуума, и следовательно... мы сразу попадаем в последний. Для вящей убедительности возьмём в качестве исходного и условного «целого» ещё и натуральные числа...

Итак, числовой континуум, будораживший умы со времён Аристотеля, обретает смысл в естественном целостном порядке, имеющем фрактальное строение. Оно таково и буквально, и фигурально – если считать, что простейшие целые числа, созданные, по Кронекеру, самим Богом, порождают рациональные, а через них и «тёмные» иррациональные. Так окончательно торжествует «математика гармонии», введённая недавно в оборот «золотосеченцами» и воплотившая, по сути, мечту А.Лосева о «философском осмыслении математики, переходящей от конструирования отвлечённых «логических цепей» к целостному отображению мира». Именно!

Тот факт, что математика, по мнению Г.Вейля, должна быть чем-то большим вместо простой игрой в формулы, коррелирует с плохой приспособленностью нашего мышления к формальным выкладкам. Есть что-то более ценное помимо них.... Нам трудно производить или воспринимать длинные и громоздкие вереницы цифр или других знаков, если неизвестна цель, на которую направлены преобразования, и отсутствует руководящая идея. Анри Пуанкаре, отличавшийся блестящей геометрической интуицией и пренебрегавший часто педантичной строгостью доказательств, отмечал важность определённой нити в своей аргументации и... порядка, который – внимание! - «гораздо важнее самих подчиняющихся ему элементов мышления и силлогизмов». Что же это за «сквозная идея», требуемая нашим мозгом, или его некий ориентирующий настрой? И нельзя ли назвать последний без обиняков духом целостности?...

Оказывается, наша психика лучше справляется с «группами движений» и операциями, чем со статикой «графем или фонем» (В.Тростников). Но тут вместе с идеей целого вспоминается «гештальткачество» переживания – специфическая характеристика, сохраняющаяся при изменении отдельных частей, скажем, при музыкальных вариациях и аранжировках, и наоборот, теряющаяся при сохранении оных – когда мелодия в той же тональности проигрывается «с конца». Сторонники гештальтпсихологии особо подчёркивают функциональную и динамическую структуру целого. А «процесс нахождения смысла подобен отысканию гештальтов» (В.Франкл). Но не точнее ли и уместнее говорить о направленности нашего сознания? Эта интенция ведь явственно проявляется уже в словах и самой речи – за исключением разве что некоторых оригинальных и забавных палиндромов. Да и на бумаге мы пишем в одну сторону...

Нечто аналогичное, а именно - устремлённость к целому – мы неожиданно находим и в «золотой пропорции», чья «юрисдикция», простёртая на числовой континуумом, сразу проливает свет на его смысл как «среды свободного становления» (Г.Вейль).

Обратимся к общей и «школьной» записи знаменитой пропорции

и разрешим её численно с помощью итерации. Последняя, начатая с левого отношения, быстро сходится к «аттрактору» или «притягивающей неподвижной точке» х=0,618..., и расходится в противоположном случае. Вся процедура наглядно иллюстрируется графически, а сам нетривиальный результат требует философского осмысления.

Ещё Аристотель направленность становления связывал с энтелехией – своим неологизмом, который он часто смешивал с понятием энергии и который позже употреблялся в смысле целесообразно действующей жизненной силы (!). У Гегеля под становлением подразумевается переход мысли в определённость, и абсолютная истина трактуется как становящееся целое. «Последний философ» говорит также о «самосознающем» духе, независимом от какого бы то ни было земного носителя и тождественном с чистым Божественным духом, рассматриваемым как идеальное целое. И дух же - «самопознание абсолютной идеи». Не вертится ли всё вокруг всеобъемлющей «золотой целостности», а математическая итерация, как суперпозиция функции на саму себя, элегантно копирует... рефлексию?...

Уникальность непрерывной пропорции (3) заключается в том, что в развёрнутом виде она органически сочетает в себе свойства геометрической и арифметической прогрессий. Её «арифметичность» обусловлена изящным способом задания целостности, а «геометричность» - тоже законом получения её членов, но уже в аспекте отношения. Обе идеи сливаются в единстве, нивелируя АГ-конфликт...

Нет нужды воспевать дифирамбы категории отношения – настолько она универсальна в философии, матлогике и.. литературе. Вспомним: разбором отношений в конечном счёте и в своём жанре занимались Шекспир, Толстой и Достоевский. А недавно разработана даже «релятивная онтология» (П.Колычев), и отмечалась особая связь отношения именно с идеальным. Но ведь и отношение как таковое и само по себе тоже идеально!

Отсюда и напрашивается соотнести «поток» золотых чисел с «потоком сознания» (Д.Джемс) или духом целостности, лежащим в основе мира. В самом деле, наше сознание только и занимается, что «берёт» отношения, ища сходство и различия во внеположенных ему объектах (D.Bohm). А по П.Флоренскому, процесс мышления и познания представим рекуррентным рядом следующих друг за другом актов «знания о знании», идентичных как раз непрерывной пропорции («Пределы гносеологии»).

Тогда итерирование в нашем случае действительно имитирует обращённость сознания на себя – которую ещё Платон и Аристотель приписывали демиургу и Божественному разуму, объединяющему мыслимое и мысль. А философская рефлексия – осознание и осмысление предельных оснований бытия и мышления, или эвристический источник нового знания. По Гегелю же, рефлексия мирового духа выступает движущей силой его развития. а также внутренней формой саморазвития культуры.

Итак, нелинейная итерация открыла неожиданный факт – неравноправность двух направлений вдоль бесконечной золотой пропорции. Каузальная связь, задаваемая направленной обусловленностью меньших членов пропорции большими, действует в одну сторону, определяя предшествование целого своим частям – когда на сцену выступает «конечная причина», или цель. А последнюю Аристотель толковал как «то, ради чего» нечто существует, а «целое прежде своих частей».

Да собственно и любая вещь, пересекающая прилавок, существует и востребована в силу своей завершённости, позволяющей ей в полной мере выполнять своё предназначение. Другое дело, что в современной техногенной продукции, увы, отсутствует «золотой дизайн» - обрекающий её на выпадение из предустановленной природной целостности. Это – прямо скажем, фатальное и ещё не вполне осознанное обстоятельство, мгновенно раскрывает суть нынешнего кризиса и экологических нестроений...

...Так, на наших глазах застывшая идея «золотой» гармонии «динамизируется», становясь направленно действующим мирообъемлющим началом. А только целенаправленные мысли и действия творчески созидательны. Напротив, «в обратимых процессах физики, - как с прискорбием отмечал Н.Винер, - ничего нового не возникает». Новое и неповторимое «в золоте» творится лишь в головах талантливых деятелей искусства, дарующих нам неувядающие шедевры, созданные под наитием вдохновения. А чем как не общим духом оно может быть инициировано – одной и той же целостной организацией как таковой, не зависимой от её материального воплощения в глине, нотах или красках?...

«Отец кибернетики» смотрел в корень: все микропроцессы физики и в самом деле обратимы, будучи инвариантными относительно времени, тогда как «видимый мир» упорно стремится к увеличению энтропии и хаоса. Поэтому-то, исследуя только наблюдаемые явления, нам никак не удаётся физическими средствами обнаружить глобальный антиэнтропийный фактор, долженствующий противостоять деструктивному напору второго начала термодинамики. Он попросту выходит за компетенцию науки, так как обитает вне материи, имея духовную природу живой рефлектирующей мысли...

Впечатляюще зримой манифестацией всепроникающего духа служит, на наш взгляд, уже упомянутый фрактальный фликер – столь же вездесущий, хотя и всё более подавляемый и вытесняемый, с поступью цивилизации, одиозным «белым шумом». Он олицетворяет собой размеренный и уравновешенный ритм многих процессов, в том числе и в человеческом организме. Так флуктуируют, в частности, «спайки» нервной импульсации, сердцебиение и обменная диффузия ионов через мембрану клетки. С другой стороны, всестороннее исследование симметрийных атрибутов деятельности сердца также констатировало наличие «золота» в его архитектонике и гемодинамике (В.Д.Цветков). И по-видимому, невообразимое долголетие библейских патриархов объяснимо их стихийным следованием «от века налаженному» темпу жизни…

И вот, настало время объединить накопленное – восходя к единой и высшей инстанции, задающей порядок. Почему бы, скажем, не свести вместе понятие метра, употребляемого в стихосложении и музыковедении, с фликером, зарегистрированном и в речи диктора, и в мелодичной музыке, начиная с группы «Битлз» и кончая Бахом и Дебюсси?... Речь идёт, конечно, о единстве структурно-функциональной организации – общей для всех! Замечательно, что и в математике вводится идея соразмерности и меры, которая передаётся через

Метрическое пространство. Оно обозначает множество с определённой на нём некоторой метрикой, или проще – расстоянием между любыми двумя его точками. Тем самым между элементами множества задаются соотношения, характерные вообще для привычного нам пространства, в частности, - для трёхмерного евклидова.

Следующий шаг состоит в упорядочении метрики через представление её в виде сходящейся «фундаментальной» последовательности (Коши). Причём, во множестве рациональных чисел, рассматриваемых как метрическое пространство, последовательность десятичных дробей, аппроксимирующих какое-нибудь иррациональное число, например π с недостатком, оказывается, не имеет предела. Эта последовательность сходится только при «пополнении» рациональных чисел всеми действительными, множество которых характеризуется полнотой, а соответствующее пространство – как полное.

Но с другой стороны, множество рациональных чисел считается «всюду плотным» - любой сколь угодно короткий промежуток содержит рациональное число. Где же тогда помещаются иррациональные «собратья»? Это вечно преследующее нас недоумение живописуется и в популярной книге «Что такое математика?» (2001, с.85) Р.Куранта и Г.Роббинса: «Наивному сознанию, несомненно, может показаться странным и парадоксальным, что везде плотное множество рациональных точек не покрывает всей прямой. Никакая наша «интуиция» не помогает «увидеть» иррациональные точки или отличить их от рациональных... и несоизмеримость продолжает оказывать провоцирующее воздействие на людей, склонных к углублённому мышлению».

Проблема снимается – когда, углубляясь, наша мысль приходит к родственной себе самой и объективной мысли. Это – квинтэссенция изложения и как бы «золотая середина» между, с одной стороны, философски-словесным описанием, которое мы, наверное, не смогли бы завершить и до конца своих дней, и математически-знаковым подходом, приспособленным в основном для «конструктивных» объектов, - с другой. Тогда-то и происходит «прорыв к трансцендентному» (П.П.Гайденко) и реализуется столь лелеямая М.Хайдеггером метафизическая «трансценденция», обеспечивающая полнокровную «экзистенцию». Симптоматично, что в последние годы жизни немецкий философ тоже окончательно разочаровался в рациональном постижении бытия...

К близким соображениям пришёл и Дж фон Нейман, полагая, что при определённой степени сложности любая система являет описание самой себя. И нам ничего не оставалось, как уловить это промыслительное «самовыражение в золоте» целостной «системы мира». Так математика решительно переходит от «интенсивного» взгляда на отдельные фрагменты к «экстенсивному» охвату всеобщего.

Дело за малым – надо «озолотить» сходящуюся последовательность, присущую метрическому пространству, придав ей онтологический смысл трансцендентного целого. Вообще говоря, любое множество допускает введение различных расстояний, порождающих соответствующие метрические пространства. Но мы выбираем единственный и вполне обоснованный вариант, к тому же объединяющий одной плодотворной идеей все последовательности.

Теперь канторовское видение действительных чисел сквозь призму ансамбля эквивалентных фундаментальных последовательностей становится на твёрдую почву. А трактовка каждого рационального числа как предельной точки множества иррациональных чисел видится сейчас через итог стягивания вложенных друг в друга отрезков-сегментов числовой оси, образующих фрактальное целое и описываемых бесконечной «золотой пропорцией».

Возникающую картину разделяет и обыденное сознание: исходя из интуиции, что иррациональные числа распределены более непрерывно и «мощно», а рациональные, несмотря на их плотность, рассеяны там и сям, легко представить, что при общем бесконечном «собрании» чисел, теснящихся на конечном промежутке, они обязательно будут иметь где-нибудь в нём точку сгущения, или конденсации. Другими словами, поскольку числа на вещественной прямой расположены «сплошняком» и неразделимо перетекают одно в другое, то должно быть и нечто общее для всех, к чему они стремятся...

Но метрическое пространство суть важнейший частный случай топологического пространства, а топология в первое вводится именно через понятие расстояния. Топология изучает свойства фигур или пространств, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеивания, или – при взаимно-однозначных и непрерывных отображениях. Можно сколь угодно долго и по-всякому мять кусок пластилина, но он так и останется гомеоморфным шару или кубу. Все три – одинаковые многообразия.

Иногда удобно, пользуясь таким соответствием и с комфортом изучая соотношения между образами «множества прибытия», составить представление о ситуации с прообразами в исходном «множестве отправления». В философском же плане и в унисон сказанному звучит давний обнадёживающий тезис о сходстве (или совпадении!) порядка идей и вещей...

Обсуждение и заключение.

Щекотливая проблема адекватности любой теории реальному миру, будь то в математике или физике, поднимается регулярно. Насколько исходные посылки в лице аксиом или постулатов, да и вообще – отношения между идеальными объектами выдвигаемых моделей равноценны таковым среди действительных сущностей?

По большому счёту и если брать не только профессионалов, но и простых «людей с улицы», всё сводится к согласованию отдельных умов и приведению их к некому единству. А после эпохального переворота К. Гёделя (1931), совершённого в математической логике, новая эпистемология должна как-то сводить вместе непротиворечивость и полноту. И на кухне финитной математики раздались настойчивые голоса о выходе за её пределы (П.Бернайс), или попросту – призывы легализовать актуальную бесконечность.

Последняя и без того всегда беспокоила, а с подачи Кантора внесла явную сумятицу в математическое сообщество. По горькому признанию одного из его выдающихся адептов П. Коэна, «жизнь была бы гораздо приятнее, не будь гильбертовская программа потрясена открытиями Гёделя». Но блестящей антитезой сказанному служат слова современного математика А.Н.Паршина: «Если бы не было теоремы Гёделя, то жизнь не только не оставалась бы приятнее, а её просто не было бы».

Существенный момент! Познание, рефлексируя, становится экзистенциальным, и мы овладеваем истиной не отстранённо, препарируя её левым полушарием, а будучи вовлечены в неё всем своим существом через правую половину мозга и – NB! - сердце. Отныне истина видится не формальной, а «внелогичной» и содержательной, да ещё и впрямую связанной с актуальной бесконечностью (А.Тарский, Дж.Парис и Л.Харрингтон).

Для нового броска в понимании нам осталось только окончательно осмыслить математический континуум, переходя от его линейного геометро-числового образа к равномощному с ним много- или даже бесконечно-мерному. Принимая его за «вместилище» непрерывно-духовного, интересно было бы выявить переход к дискретно-материальному.

По свидетельству Фомы Аквинского, существенный признак количества заключается в упорядоченной распространённости частей, имеющей, разумеется, место как в непрерывном, так и в дискретном. Причём видовое отличие для первого будет состоять в слитности частей, согласно аристотелевскому определению непрерывности, тогда как для второго – в раздельности их.

Рассмотренная выше «свободно становящаяся последовательность», типичная для метрического пространства, которой была придана решающая «онтология в золоте», уже наделяет континуум смыслом и содержит намёк на появление дискретного через предельную точку. Но есть шанс продвинуться и дальше – если прибегнуть к принципу сжатых отображений.

Суть его заключается в отображении f(x) в себя замкнутого множества S (содержащего все свои предельные точки) полного метрического пространства, при котором происходит «сжатие» исходной метрики (Г.Корн...Справочник по математике. М.1977. с.382). В случае выполнимости такой операции в данном множестве обнаруживается неподвижная точка отображения f, удовлетворяющая уравнению f(x_j) = x_j, решением которого будет предел последовательности х_n+1 = f(x_n), (n = 1,2,3…) для произвольной (!) начальной точки x из S.

Но неподвижная точка всплывает и при так называемом гиперболическом отображении, которым занимался ещё Гаусс, выведя многие его свойства и дав повод потомкам именовать его гауссовым. Если применить его в виде x_n+1= 1/x_n и произвести итерацию, то её неподвижной точкой как раз и будет φ = 0,618...Тем же приёмом мы приходим и к представлению φ через непрерывную, или цепную дробь: [1,1,1,…] – в известном смысле более естественному, чем запись φ в «детской» десятичной системе счисления или в «двусмысленной» двоичной (0,100111...) (М.Шредер). Причём, в согласии с излагаемым звучит и замечание о том, что цепные дроби вообще «априори несут в себе физический смысл движения» и динамику (С.Л.Василенко).

И наконец, выясняется полная общность «сжатия», гауссова отображения и нашей итерации «золотой пропорции» (3), описанной вначале. Нетрудно убедиться в эквивалентности (3) «сдвинутой» гиперболе х_m+1 = 1/{1+x_m}, дающей тот же конечный результат, хотя у нас – и это ключевой момент – итерация сопоставлялась с рефлексией. Спрашивается: нельзя ли видеть в точке сгущения первый сгусток энергии-материи?…

Теперь же, соединяя всё вместе, настало время осознать за математическим флёром философский смысл. Произошла конкретизация смутной и навязчивой интуиции о динамике континуума, начиная с аристотелевского понимания непрерывности и кончая «становлением» у Гегеля и Г.Вейля. Скажем прямо: континуум, мыслимый непременно через некое движение, становится мыслящим. Так, по ходу, была «реабилитирована» и первичная интуиция непрерывности, которую в XIX в. почти изгнали из математического анализа как «нестрогую». Но интуиция внелогична, и вопрос заключается лишь в доверии к ней. А преувеличенное стремление к формальной строгости сплошь и рядом заслоняет от философии животрепещущие экзистенциальные проблемы – приобретающие именно сегодня особую значимость.

Наша интуиция сработала на полную мощь, идентифицировав в загадочном континууме мысль, ибо последняя и есть сама непрерывность, а ища истину, наша мысль и успокаивается только тогда, когда совпадает с родственной ей самой...

Где-то рядом ходил и упомянутый Джон фон Нейман, много думавший над механизмом мышления и склонявшийся к утверждению, что описание достаточно сложной системы должно быть значительно более громоздким, чем собственно её устройство. Такой архисложной системе легче функционировать и предъявить себя, чем давать некое описание на определённом языке. Скажем, человеческий мозг, как самая сложная из всех нам известных систем, познаётся скорее по своей интеллектуальной продукции. А самое тщательное изучение его морфологии так и не проливает свет на то, как рождается мысль – в полном согласии с простейшим резюме гёделевских теорем, гласящим о невозможности для любой системы познать самоё себя, не выходя за свои пределы....

Вот и в нашем случае, сверхлогическая эвристика, питаемая интуицией, уходящей в глубины математики, открыла духовную реальность, чьё познание, подчеркнём, особенно важно ради взаимодействия с ней. Активный и деятельностный характер духовного начала обязывает определиться в отношении к нему.

Но всякое отношение, и в частности бинарное – как основа всех прочих отношений - взаимно. Сказанное затрагивает и гносеологию – в плане соотнесения «душевных явлений» с объективной истиной и вещами. С первыми коррелировали, очевидно, различные мнения об абстрактной теории множеств, но когда под последнюю удалось подвести «независимый» принцип организации, всё встало на незыблемый объективный фундамент.

Также обстоит и с нравственными чувствами любви или дружбы и патриотизма: всегда находится заповедь или абсолютный императив, т.е. нечто побуждающее и независимое от моих переживаний – а иначе было бы нелепо говорить о подчинении ему. Исключительное место, конечно, занимает любовь – как «жажда целостности и стремление к ней» (Платон).

...Известен поразительный феномен, занимавший многих писателей и философов – когда люди, потерпевшие крах в личной жизни и трагически расставшиеся с любимым человеком, вдруг испытывали явное сочувствие и ободрение. Не восполняется ли тем самым духовная целостность пострадавшего, потерянная им не по своей вине? Подобную ситуацию, случившуюся с главной героиней, гениально описал Ги де Мопассан в своём романе о курортной жизни «Монт-Ориоль», хотя так и не нашёл ответа на мучивший его вопрос...

Но вот любопытная коллизия: ещё Платон видел в любви отношение неравных – любящего и возлюбленного. И та же идея неравенства двух частей заложена и в «золотой пропорции»! Следующий отсюда и из всего изложенного вывод однозначен:

«Математика гармонии» наконец-то сказала своё решающее слово и переоткрыла своими средствами дух целостности – вседержителя мира, данного ещё в Откровении и безраздельно господствующего на просторах Вселенной. Дух подвигает к соединению в дополнительности части мира: всё материальное – посредством безусловной гравитации, а сознательные существа – через избираемую сердцем любовь. Так неукоснительно утверждается смысл мира, увы, безответственно нарушаемый нашими техническими амбициями, влекущими к продуцированию артефактов, не обладающих сквозной «золотой» целостностью. Таков неутешительный вывод!

Примечательно, что даже хвалёная интуиция «конструктивной математики» считается «итогом внедрения в нашу психику опыта оперативного вмешательства в окружающий мир». А известный психолог Ж.Пиаже тоже пишет о перенесении операций, выполняемых над объектами, к таковым над символами и в мыслях. Не узнаём ли мы тут современного «левополушарника», самозабвенно плодящего неповторимое своё в интеллектуальной и практической сферах?...

Итак, потребовался лишь трезвый философский взгляд на предельные основания самой абстрактной из наук и привлечение для их осознания не притянутых за уши аксиом, чью валидность можно и оспаривать, а естественного порядка, предначертанного «сверху». Силу предпринятого подхода проиллюстрируем ещё одной неожиданной аллюзией. Ничто не мешает под новым углом рассматривать семью как плод «сжатого отображения» государства в себя – когда «золотая математика» оборачивается духом любви, долженствующим цементировать и любое «гражданское общество», и его «элементарную ячейку», - высшей и созидательной любовью, окончательно торжествующей, правда, лишь в христианской общине...

Мимо такого «гармонично-двухполушарного» взгляда на вещи проходит однобокий рационалист, захваченный линейным и плоским «однодумьем» - поучительным разве что в плане эпистемологических параллелей. Действительно, к непрерывному и сплошному – но только по форме, а не по содержанию и смыслу! – философская и физическая мысль стремилась всегда, ища в нём ответы на все вопросы. Достаточно вспомнить апейрон Анаксимандра, воду Фалеса, пятый элемент Аристотеля, современные поля - гравитационное, электромагнитное, цветные(!) лептонные и кварковые поля и т.п. и особенно - модное торсионное, понятие физического вакуума, концепцию активного времени в причинной механике Н.Козырева, четырёхмерное пространство-время А.Эйнштейна, и снова... возрождаемый сегодня эфир, изгнанный из умов основателем теории относительности за ненадобностью...

К общей слабости всех «полевых гипотез» можно отнести «отсутствие руководящей идеи» - в чём горько признался – касательно нашумевшей теории суперструн – один из видных её разработчиков (Б.Грин. «Элегантная Вселенная»). На фоне блистательных математических изысков остаются висеть вопросы: «ради чего?» и «каков конечный смысл всей затеи?» Но неудовлетворённость в теоретическом плане с лихвой компенсируется громкими обещаниями в прикладном - многочисленными проектами использования энергии вакуума, эфира и т.д., повергающими в шок академический истеблишмент… хотя, вроде бы, уже реализованными на «торсионных генераторах», неких самодвижущихся тележках и тепловых преобразователях с невероятным КПД более 100% (!).

Как же подобные сенсации увязываются с непреложным законом сохранения энергии? Да просто надо перестроить своё мышление и принять новую парадигму – уже не столько рационально-научную, сколько всеобъемлющую и гармоничную, впускающую в себя как материальную сторону бытия, так и духовную, определяющую всё и вся. Тогда спадает всякая мистика со «скандальных» устройств, поставляемых «паранаукой»» и отвергаемых принятой окостеневшей системой мышления, давно требующей «ремонта» и устранения вопиющих паралогизмов. Но вот - ирония: называя эпатирующие изобретения очередными «перпетуум мобиле», скептики по сути попадают в десятку!...

Энергия и в самом деле черпается из беспредельного и вечного источника! В богословии – а обращение к нему в нашем контексте теперь законно – она называется «нетварной» и часто отождествляется с духом (Г.Палама, В.Лосский. С.Хоружий и др.). «Золотая» метафизика нашла у этой первоэнергии высшую и целесообразную организацию, постепенно, увы, теряемую по мере диссипации и перехода в «броуновское движение». А упомянутые устройства, вероятно, заимствуют «забортную» энергию за счёт пространственного синхронизма по типу радиоволновой антенны.

Глубокая аналогия просматривается и дальше - стоит только другими глазами посмотреть на электромагнитные волны – порождаемые разрывом молекулярных связей. «Свёрнутая» в материи первоэнергия стала с конца XVIII в. и с лёгкой руки Л.Гальвани и А.Вольты выпускаться на свободу – когда для человечества началась эра как бы «рукотворного духа». Но всякий «джин», выпущенный из бутылки, далеко не всегда приносит одно благо...

Вместо эйфории по поводу дармовой энергии эфира или космоса, неплохо бы, проявляя мудрость и взвешивая все «за» и «против», задуматься и о смысле складывающейся ситуации. Не бес-цельны ли помпезные прожекты о новой «энергетике III тысячелетия» - как промахивающие мимо главной цели по обеспечению и сохранению цельности?...

Ибо первозданный дух в первую очередь предназначен для поддержания жизни и даже - вечной, согласно Писанию. А в лице винтообразного строения мышцы сердца найдено и ещё одно феноменальное свидетельство тому. Спиральная закрутка волокон миокарда, да ещё - с увеличением частоты витков у верхушки сердца, изоморфна нашему вихреподобному представлению о духе или... фрактальному фликеру(!). И тогда нас осеняет: сверхмощная пульсация духа, резонируя с нашим главным «мотором», бережно «выкручивает» его – по типу отжимания руками белья – помогая перегонять по нему до одного ведра крови в минуту – невероятное количество, просто непосильное, очевидно, для сугубо механического и «бездуховного» насоса. А прогрессирование сегодня сердечной недостаточности вопиёт, несомненно, о разрыве этой благой и жизнедающей связи. Да и требование пожизненного поддерживающего лечения для страдающих этим недугом наводит на мысль, что у них просто «недозакручивается» мускулистая сердечная спираль – из-за того, что, суетясь, человек отдаляется от самого источника жизни…

Но физиологический резонанс, действующий почти «на автопилоте», неотделим от произвольного духовного, только и вводящего нас – через любовь! - в высшую целостность бытия. По В.Соловьёву, межличностная любовь – «соединение с другим для взаимного восполнения жизни», когда «самоотрицание существа и утверждение им другого...приводит к его высшему самоутверждению». И о том же библейское: «блаженнее давать, нежели принимать». Напротив, голое самоутверждение – будь то через претенциозные модели и теории или гигантские сооружения в металле и бетоне – оканчивается крахом. Как сказано: «погибели предшествует гордость, а падению надменность» (Прит.16:18). Суетное «знание надмевает, а любовь назидает» ... ибо «кто любит Бога, тому дано знание от Него» (1Кор.8:1,3).

Завершая, возвратимся к нашему континууму. Его решающая онтологизация «в золоте» сдвинула с места извечную математическую «заковыку» по сведению в единстве арифметики с геометрией. Фатальная непреодолимость «АГ-конфликта» на протяжении 2500 лет, как и беспомощность в его преодолении новейшими аксиоматическими средствами, гласят об одном - что он окончательно устраняется не «внизу», а «наверху». Абсолютно «всё едино» только в горнем мире, в том числе и математики, а в дольнем происходит общее разделение, олицетворяемое даже в «царице наук» «алгебраистами» и «геометрами»...

В самом деле, ещё Кант проводил параллель между временем и пространством, с одной стороны, и арифметикой (порядком следования) и геометрией (порядком расположения), - с другой. Первая пара, согласно кёнигсберскому мыслителю, - это априорные формы чувственного созерцания, или – по Беркли и Маху – формы упорядочения комплексов ощущений и опытных данных. А вторая, скажем так – способы интеллектуального обозрения двух абстрактных порядков. Но подобный взгляд согласуется с мнением отцов церкви в лице Августина и других, а также Ньютона - о порождении Богом пространства и времени вместе с миром. Обратим внимание на то, что еврейское эрец, переведённое в самом первом стихе Библии словом «земля», имеет также значение и «пространства»! Бог сотворил (бара) пространство, создав (аса) гравитирующие – в духе! - материальные тела, а запустив их периодически двигаться по небосводу, позволил отсчитывать и время...

Таким образом, подступаясь к духовному миру, мы смиряемся с его непостижимостью в деталях и частях. Наше познание смещается с амбициозного «левополушарно-логического» к более сдержанному «правополушарно-эмоциональному», апеллирующему к сердцу и открывающему нам «путь жизни». Такой гармоничный «целоличностный» подход обеспечивает, помимо собственно знания, ещё и встраивание в высшую целостность бытия, постигаемую только на духовном уровне.

Новое видение континуума, сочетающее в себе – в терминах Гёделя – непротиворечивость и полноту, позволяет объять в единстве библейскую и научную картины мира. Упрощённо говоря, именно смысл, как исключительное достояние первой, с решающим эффектом передался на вторую. А «нейтральная» для обеих «золотая пропорция» – эта непризнанная «золушка» - успешно справилась с «третейской» ролью соединительного звена, примирив наконец-то оба хронически дистанцирующихся взгляда на мир. И в итоге, вобрав в себя две восполняющие друг друга части, из пепла восстало Целое...

Так сработала рекомендация о «согласовании математики и философии» логика Г. Фреге, считавшего, кстати, и вопреки мнению многих своих коллег, что символы служат не объектами, а средствами математических исследований. Что убедительно и продемонстрировал П.Флоренский на иррациональных числах в своей программной диссертации (1914). Эти «глухие числа» - как назвал их Леонард Пизанский - «требуют разрыва рассудочной области» и выхода в «по-ту-сторонний и трансцендентный круг арифметических сущностей, невыразимых в конечных символах». Флоренский опирается на канторову интерпретацию иррационального числа в виде сходящейся последовательности «имманентных рассудку символов» и подчёркивает, что именно их совокупность, как единый объект, отображает идею целого.

Но «имманентность и трансцендентность в области сущностей разума подобна таковым в...онтологии: Бог трансцендентен миру, с точки зрения последнего, но мир не трансцендентен Богу, а всецело пронизывается Божественными энергиями».

Именно! А теперь выяснилась и метафизика «благих энергий» - стоило лишь нам внести устрояющую «золотую» организацию не только в «глухонемые» иррациональные числа, но и в сам числовой континуум. Отныне он предстаёт как окружающее и пронизывающее нас пространство жизни как таковой – откуда она и низводится в материю. В самом деле, упомянутые вначале сжатые отображения легко трактуются сейчас как сведение в точку «нетварной энергии» - спиральное сгущение, дающее по известной формуле - спасибо Эйнштейну! – первые элементарные частицы, наделённые поэтому обязательным механическим моментом. Отображение с «выколотой точкой»!

Так проясняется простой механизм таинственного «творения из ничего», и следовательно, один из центральных богословских тезисов на законных основаниях входит в репертуар науки. К сожалению, рациональный ум, до сих пор носящийся с «Большим взрывом», движется больше по линии редукции – от «низшего» к «высшему», да и на практике преуспел более в обратном процессе - рассотворении – создавая всё новые взрывчатые вещества, напротив, высвобождающие «упакованную» в их молекулах энергию...

Но изложенное выше взывает обратиться к созидательному духу мира, в чьей реальности уже не остаётся сомнений. Думать иначе – что всё вершит бездумная самоорганизация – запрещает ныне простая логика вменяемого ума. Разве может возникнуть сам собой столь прекрасный мир или самопроизвольно и без всяких творческих усилий составиться любой – и тоже «в золоте»! - шедевр искусства? Художник служит проводником духа, воспроизводя в своих произведениях по «образу и подобию» великолепный «дизайн» нашего Создателя…

В заключение нельзя обойти молчанием ближайшую «сподвижницу» духа – воду, которую Леонардо да Винчи назвал «соком жизни на Земле». Молекула воды – тетраэдр, а валентный угол в треугольной цепочке Н-О-Н равен в точности «золотому» - 108 (Наука и жизнь. №10.2004, с.2-5). Отмечается, что в трёхатомных гомологах, где вместо кислорода стоят атомы серы, селена или теллура, данный угол равен 90, а сами вещества являются газами. Как же уплотняются «самые маленькие трёхкомпонентные молекулы» в жидкость с непревзойдёнными свойствами? Напрашивается предположить, что популярная кластерная модель скорее всего имеет фрактальное строение с конформационными колебаниями, управляемыми духом, который и «оживляет» воду...

...«Земля же была безвидна и пуста, и тьма над бездною; и Дух Божий носился над водою» (Быт. 1:2). Последний глагол на древнееврейском (мерохефет) означает также «согревать» и «животворить» (о. Константин Пархоменко.2008). Первозданную водную бездну как бы согрело животворящее Божие дыхание, поскольку допустимо и так переводить словосочетание «Руах Элохим». А во второй день Бог, продолжая упорядочивать своё творение, разделяет воду небесным куполом ...используя то замечательное свойство, что плотность парообразной воды меньше плотности воздуха...

Не вдаваясь в дальнейшие подробности, согласимся с выводом из цитированной работы (НиЖ) об удивительно «выверенных эстетических качествах молекулы воды» и необходимости выхода «за рамки традиционного мышления, чтобы посмотреть на взаимную любовь воды и жизни...со стороны гармонии и красоты». Но теперь, оставляя метафоры и суммируя изложенное, мы понимаем, что куда важнее приобщиться - уже не только головой, но и всем существом - к третьей и верховной инстанции – духу любви и подателю самой жизни...

bmw639@mail.ru