Словно невидимой паутиной окутали земной шар, Вселенную и человека различные числовые образы-последовательности, создавая ажурно-фрактальные кружева мироздания.

Достаточно посмотреть на захватывающие дух многоликие снимки неба, выполненные с помощью мощных телескопов, или на кристаллические структуры под микроскопом.

Самих чисел в природе мы не наблюдаем.

Вернее то, что мы выявляем, на самом деле ими не является, поскольку числа – человеческая абстракция. Но это с лихвой восполняется проявлением их разнообразных свойств, с помощью которых изучаем и познаем мир.

Так, мы не знаем, что такое число 7, не можем его потрогать, измерить или во что-то завернуть, но зато располагаем косвенной информацией о свойствах и качествах числа 7, прекрасно ощущая (осязая) его признаки в виде радуги, дней недели, нот и т.п.

Как правило, числовые ряды создаются, описываются, квалифицируются, регистрируются и ... складываются на полку, надо полагать до лучших времен,

Но возможно, к ним уже никогда и никто больше не обратится.

И лишь немногие из них время от времени находят применение в теории и практике исследований. Ничего не поделаешь, – таковы законы тернистого пути к знаниям.

Апостериори известное или разгаданное становится мало интересным.

Одно время, например, довольно любопытно было наблюдать за ноу-хау Н. Косинова в виде построения счетного множества последовательностей [1, 2] в энциклопедии Нейла Слоэна. Взяв за основу обычное, известное со школы квадратное уравнение с его двучленно-аддитивным разностным аналогом, он начал буквально штамповать многочисленные числовые последовательности, различаемые лишь сочетанием двух коэффициентов.

На сегодня созидательный процесс приостановлен, хотя теоретически мог бы спокойно продолжаться до пенсии праправнуков и далее. Мало того, можно было бы еще видоизменять исходные условия (затравочные числа), "все опять начиная сначала".

Воистину велик человеческий гений, и неукротима его энергия.

В любом случае, жизнь без мира чисел стала для нас немыслима.

Часто даже говорят "живой мир чисел" или просто "живые числа". А по образному выражению Пифагора с его глубоким философским содержанием "Числа правят миром".

Некоторые из них мы выделяем особо, и тогда они становятся хрестоматийными константами и своеобразными эталонами для сравнения.

Поэтому, получая в процессе исследований те или иные числовые значения-результаты, часто задаемся вопросом, а не являются ли они проявлением (коррелятором) других известных чисел (величин).

Например, определив (в процессе решения какой-либо задачи) число 144, на ум сразу приходит 12 в квадрате. А 64 шахматным клеточкам мы сопоставим число 2⁶ и т.д.

Только на базе обычного квадратного уравнения с разными коэффициентами можно сформировать миллиарды различных последовательностей.

Но так уж они все необходимы? И надо ли их все время держать в поле зрения?

Конечно, нет, и "сохранять" их лучше в свернутом архивированном виде, задавая (когда нужно) затравочные числа и рекуррентную процедуру, например, одну общую на все квадратные уравнения. В противном случае мы приходим к дискредитации идеи об энциклопедическом собрании действительно уникальных числовых последовательностей с особыми и неповторимыми свойствами.

Так, в работе [3] доказано, что любое натуральное число может быть представлено элементом обобщенной последовательности Фибоначчи в общем случае с произвольными начальными условиями.

В теории систем подобные модельные структуры называются причинно обусловленными [4, c. 25], когда значение элементов ряда ("выходного сигнала") на произвольном шаге зависит от его значений в более ранние моменты, начиная с исходных значений.

То есть не существует такого целого положительного числа, которому нельзя было бы сопоставить пару начальных условий последовательности Фибоначчи, воспроизводящей это число на некотором шаге аддитивно-последовательной рекурсии.

Поэтому нам не нужно держать в памяти все эти числа. Достаточно при необходимости организовать нетрудную поисковую процедуру и выйти на начальные условия Фибоначчи.

Вполне естественным становится повышенный интерес и к другим подобным рядам, формируемым по аддитивной схеме разностных (возвратных) уравнений общего вида.

При этом без потери общности рассуждений можно ограничиться рассмотрением только целочисленных переменных.

Итак, мы подошли к понятию идентификации рекуррентного ряда – восстановлению вида и начальных условий линейного разностного уравнения для заданного числа N.

Напомним, что в общем случае предметом теории идентификации является «решение задач построения математических моделей динамических систем по данным наблюдения за их поведением» [4, с. 15].

В качестве математической модели у нас выступает исходное линейное разностное уравнение заданного типа. Роль данных наблюдения играет натуральное число N.

Например, простая задача. Имеем число 123456789, найти начальные условия последовательности Трибоначчи, воспроизводящей это число.

Или определить последовательность 7-боначчи, содержащую куб числа 137.

формате PDF (341Кб)