Вечное, единое и неизменное бытие Парменида, о котором только и возможно иметь строгое знание, структурированное бытие Демокрита и вечно изменяющееся бытие Гераклита, Платон круговым движением геометрически синтезировал в бытие, в котором царствуют математические идеи-первообразы, являющиеся идеальными геометрическими моделями всех чувственно воспринимаемых вещей.

Четыре вида материи Демокрита (земля, вода, воздух и огонь) в физической «мифологии» Платона — не постоянные элементы, а – четыре структурно оформленных состояния бытия материи. Они могут превращаться друг в друга, поскольку сами состоят из некой первичной бесформенной материи, которую не следует называть «ни землёю, ни воздухом, ни огнём, ни водою, ни тем, что произошло из них или из чего произошли они сами».

Царство идей Платона — это совокупность постигаемых умом математических сущностей Пифагора. Заметим, Пифагор говорил, что все возникает не из числа, а согласно числу, так как в числе – первый порядок, по причастности к которому и в счислимых вещах устанавливается нечто первое, второе и так далее. Платоновская философия есть страстный порыв к абсолюту, к вечному и божественному. Он до конца прошёл путь поисков умозрительной истины, объединив все сильные стороны предыдущих учений. Выше воспарить было уже некуда. Космос, по Платону, совершенное живое разумное существо, само бытие которого наполнено глубоким смыслом.

Для объяснения представлений о бытии Космоса, Платон использовал пифагорейские идеи «тетрактиса» в гармонии космического бытия и геометрию правильных многогранников (куба, тетраэдра, додекаэдра, октаэдра и икосаэдра), разработанную афинским математиком Теэтет (около 410—Зб9 до н. э.).

У тетраэдра, октаэдра и икосаэдра все грани одинаковы и представляют собой равносторонние треугольники, каждый из них может быть разбит на шесть прямоугольных треугольников. Куб обладает гранями, которые можно разбить на четыре равнобедренных прямоугольных треугольника. Додекаэдр же имеет пятиугольные грани, вообще не делимые на одинаковые треугольники. Следовательно, делает вывод Платон, три вида материи могут иметь формы тетраэдра, октаэдра и икосаэдра, которые способны, распавшись на одинаковые треугольники, вновь собраться друг в друга. Куб и додекаэдр не могут превращаться ни друг в друга, ни в остальные три геометрических тела. При этом Платон указывает способ движения, посредством которого они могут «распадаться» и «собираться». Это способ – «кругового движения». Тайны этого способа Платон не открыл потомкам, а, возможно, и сам не знал. Поэтому одни из последующих философов полагали учение Платона сакральным, а другие – наивным и надуманным. В действительности Платон стремился, говоря современным языком, познать посредством философии и математики (геометрии и числа) биофизику вечной Жизни, которая управляется принципами: единства сохранения и изменения (гармоничного развития), кругового движения (цикличности) и наименьшего действия.

«ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО»

Переосмысливая математические начала, автор 10 лет назад [1] исследовал суть онтологии различия между «действительным» и «вещественным» числами, которые в математике как бы отождествляются:

«Действительное число, вещественное число имеет аналитическое выражение в виде бесконечной десятичной дроби. Если дробь периодическая, то Д.ч. является рациональным, а в остальных случаях — иррациональным. Между Д.ч. и изображающими их точками координатной прямой существует взаимно-однозначное соответствие (биекция). Множество всех Д.ч. обозначают R и называют числовой прямой. R есть промежуток .» [2].

Попробуем вникнуть в то, какую смысловую нагрузку несет в себе выражение (понятие) «действительное число, вещественное число». Думается, что оно отражает смысл действительности существования бесконечного множества символов (знаков) и то, что число — это отношение («дробь»). Во-вторых, данное выражение можно понимать как отождествление «действительного числа» с неким «вещественным числом» и вкладывание в данные понятия одного и того же естественного смысла. Вместе с тем из данного выражения можно сделать вывод, что существует все-таки два рода чисел: действительные числа и вещественные числа, которые чем-то отличаются друг от друга, иначе они не назывались бы по-разному. Думается, что здесь математика, руководствуясь теорией отражения, под «вещественным числом» понимает (подразумевает) саму действительность, а под «действительным числом» подразумевается образ действительности. Не имея какого-то знакового отличия между ними, математика отождествляет их. В-третьих, туманным остается смысл слова «вещественное» в анализируемом выражении. Данное слово может нести смысл «вещественных» отношений (субстанциальных) и отношений между вещами («вещь-вещь»). Однозначного, непротиворечивого понимания здесь не существует. Коротко говоря, смысл естественной сущности числа как отношения схвачен, а смысл отношения «чего к чему» остается неясным. При этом следует заметить, что официальная математика придерживается смысла «вещь-вещь».

Современная математическая наука представляет собой в основном свод фундаментальных идей о бесконечностях. Данное содержание, по словам Гильберта, представляет собой «настоящий вызов нашему духу». В природе нет ни потенциальной, ни актуальной бесконечностей, поскольку «дурной» бесконечности нет аналога в окружающей действительности. Бесконечной и вечной может мыслиться только субстанция. Все остальное — конечно и временно. В этой связи автор предлагает свое представление о «вещественном числе».

Число – это абстрактная мера отношения количеств. Самой простой и всеобщей, абстрактной мерой количественного деления и внутреннего взаимодействия целого и частей в самом себе, на всех стадиях эволюции Единого (Целого), как отмечалось в предыдущей публикации, является его половинная часть («вещественное число»).

«Одним из фундаментальных обобщений символических (математических) логик является отображение противоположных сущностей на двухэлементное множество{0,1}. «Ноль и единица от Бога, остальное дело рук человеческих» (Кронекер). Триалектика добавляет к этим «магическим» числам число «1/2=0,5». Действительно, «1/2» является единственным числом инвариантным к унитарной операции инверсии чисел на интервале [0,1] числовой оси:

0,5=(0+1)-0,5=0,5, где 0,5*(0+1) есть центр интервала [0,1], мощность которого эквивалентна мощности континуума [ –, ] (часть целого «равна» целому)» [3].

Принцип сохранения целостности посредством движения вещественного числа может быть выражен тождеством:

,

где n – целое число.

Данное уравнение выражает собой закон «сохранения движения количества», т.е. – закон конечного деления Целого при последовательном делении каждой его половинной части на половинные части, при любом заданном значении n частей. Таким образом, закон бесконечно убывающей геометрической прогрессии для «вещественного числа» справедлив только при n=∞. При всех остальных значениях n бесконечно убывающая геометрическая прогрессия является конечной. В этой связи следует заметить, что частое толкование, выведенной из закона бинарности Мира, известной теоремы Гёделя о неполноте, как доказательстве непознаваемости природы, может быть признанным «истинным» только когда n=∞, а Мир не являет собой бинарную структуру (систему). В относительном же смысле, природа познаваема, т.е. познаваема до некоторого n-го предела познания.

Можно предположить, что вещественной «порождающей моделью» идей о гармонии Жизни Космоса и его реальном бытии, о егоцелостности Платон полагал, не геометрическую точку, а гармонию геометрического «тетрактиса» (Рис.2) пифагорейцев и их эзотерическую систему исчисления. Эзотерическое число последовательного деления «тетрактиса» на бесконечное множество фрактальных «тетрактисов» являет собой бесконечную периодическую дробь «0,99999999...». В отличие от точки, «тетрактис», посредством кругового движения может делиться на половинные, гармоничные части (отрезки линии и треугольники), а так же может делиться на множество изоморфных (фрактальных) «тетрактисов» и, как бы слагаться из них. Количественной, изначальной мерой «вещественного тетрактиса», как уже отмечалось ранее, является «триединая монада» пифагорейцев, т.е. «1», как изначальная мера длины линии, как изначальная мера кругового движения и как мера триединой целостности. В таком понимании «тетрактиса», Платон предстает не только философом, введшим в обиход понятие «материя», но и родоначальником материалистической, а не идеалистической философии. Доказательством тому служат его глубокие геометрические исследования и выводы. Например, он, в итоге своих геометрических исследований, резюмирует.

«Итак, нам приходится отдать предпочтение двум треугольникам, как таким, из которых составлено тело огня и (трех) прочих тел: один из них равнобедренный, а другой таков, что в нем квадрат большей стороны в три раза больше квадрата меньшей» [4].

Как из вращающегося пространства образуются названные треугольники, остается тайной до наших дней. Развивая геометрические идеи Платона о началах, я пытаюсь постигнуть тайну онтологии его «порождающей модели». Атрибутами «порождающей модели» идей и Жизни у Платона являются геометрия и число, поскольку геометрическая форма обладает мерой числа, а за идеальной мерой числа всегда скрыта пространственно-временная (материальная) форма.

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ В ГЕОМЕТРИИ

Никто не станет отрицать, что многообразие форм бытия Природы существует в согласии с принципом наименьшего действия. То есть Природа пользуется минимумом всеобщих мер, посредством которых выстраивается гармоничное сосуществование бесконечного многообразия ее пространственных форм и их количественных отношений. Познанию их человечество стремится со времени своего рождения и до наших дней. Подробно, красочно и прекрасно об этом нам рассказал А.П.Стахов [5]. Свою задачу я вижу в том, чтобы, в согласии с принципом наименьшего действия, гармонично, синтезировать изначальные (элементарные) меры симметрии и асимметрии. Например, в равностороннем треугольнике («тетрактисе») отрезок, делящий пополам угол (биссектриса), соединяющий вершину треугольника с срединой противоположной стороны (медиана) и перпендикуляр (высота), опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону, являют собой один и тот же отрезок т.е. – меру проявляющуюся в трех ипостасях. Принцип наименьшего действия так же присущ, как утверждает Платон, круговому движению, в котором синтезируется семь разных движений: вперёд, назад, влево, вправо, вверх, вниз. В круговом движении мерой в семи ипостасях является радиус круга. Посредством синтеза принципов наименьшего действия, присущих «тетрактису» Пифагора и «круговому движению» Платона, мне удалось создать довольно «экономичные» начала («порождающие модели») симметричных и асимметричных пространственных форм гармонии и геометрического построения их числовых аналогов. Начала «порождающей модели» асимметричной гармонии, строящейся по принципу наименьшего действия, нами уже рассмотрены (Рис.3).

Рассмотрим еще одну синтетическую, геометрическую «порождающую модель», построенную по принципу наименьшего действия (Рис.4). Эта модель демонстрирует симметричную гармонию и геометрическое движение «вещественного числа». Единой мерой данной модели за «1», принимается сторона «тетрактиса» 1-2-3. Рассмотрим некоторые замечательные количественные и пространственные свойства данной модели.

По построению и, в согласии с единой мерой:

отрезки 1-2 = 1-3 = 2-3 = 0-4 = 0-5 = 5-6 = 6-7 = 7-8 =0-8 = 1 и 0-1 = 0-3 = 0,5. (1).

Произведем вычисления.

Треугольник 0-1-2 – прямоугольный.

(2).

Площадь равностороннего ∆1-2-3 равна: 0,5(1-3)(0-2) = 0,5х1х 0,8660254 ≈ 0,4330127, то есть, равна половине площади прямоугольного ∆5-6-8. (3).

Треугольник 3-6-8 – прямоугольный.

(4).

1-6 = 0-2 ≈ 0,8660254 – высота прямоугольного треугольника 3-6-8.

Площадь ∆3-6-8 равна: 0,5(5-6)(6-8) = 0,5х1х1,7320508 ≈ 0,8660254. (5).

1-6 – средняя геометрическая величина отрезков 1-5 = 0,5 и 1-8 = 1,5, и вычисляется:

(6).

1-6 – синус угла 1-8-6 равен: (1-8) : (6-8) = 1,5 : 1,7320508 ≈ 0,8660254 (7).

Следовательно, в круговом движении числовая мера отрезка 0-2 ≈ 0,8660254 является одной и той же многофункциональной числовой мерой разных геометрических атрибутов:

- высоты, медианы и биссектрисы треугольника 1-2-3;

- площади треугольника 5-6-8;

- средней геометрической величиной отрезков 1-5 и 1-8;

- числовым значением синуса угла 1-8-6:

- «вещественным» числом, то есть половиной стороны вписанного равностороннего треугольника со стороной 6-8 (0,5х1,7320508 ≈ 0,8660254).

Мера «вещественного» числа, является «ключом» к геометрическому построению чисел гармонии: 0,1180339, 0,6180339, 1,6180339 и других.

Таким образом, «порождающая модель» произвольного равностороннего треугольника, в которой единичной изначальной (элементарной) мерой кругового и прямолинейного движения взята его сторона, является более эффективной инженерной моделью по сравнению с традиционной моделью евклидовой геометрии, в которой за «1» изначальной меры принят радиус произвольного круга. Согласно началам данной модели, изящно и просто строятся и вычисляются стороны правильных многоугольников, например, стороны двенадцати и сорока двух правильных многоугольников (Рис.4).

Рис.4 Геометрическая «порождающая модель» движения «вещественного числа» и принципа наименьшего действия.

Рассмотрим прямоугольный ∆2-4-6: его стороны 2-6 = 0,5; 2-4 = 1 – 0,8660254 ≈ 0,1339746;

4-6 – сторона правильного 12-угольника вычисляется в согласии с теоремой Пифагора:

Сравним два алгоритма вычисления: (8).

Числовое значение стороны правильного 42-угольника (9-10) вычисляется еще проще:

9-10 = (9).

Я не ставлю своей целью рассматривать множество, можно сказать, неисчерпаемость геометрических фигур, «порождаемых» данной моделью. Главным открытием из данной «порождающей модели» – аксиома принципа наименьшего действия, которую можно сформулировать следующим образом:

Проекция любой точки окружности на диаметр ее круга есть отрезок прямой, численно равный числу площади вписанного в круг прямоугольного треугольника. Данная аксиома позволяет значительно упростить и сократить многие вычислительные операции в геометрических построениях.

Очевидно, что при более детальном рассмотрении разных геометрических фигур «порождающей модели» (Рис.4) и произведении разных вычислений, мы сплошь и рядом будем встречаться с проявлением симметрии вообще и масштабной симметрии в частности, управляемой законом движения «вещественного» числа.

Следует отметить, что введенный автором метод изначального отсчета начал и аксиома принципа наименьшего действия кругового движения ранее в геометрии не применялись. Полагаю, что изложенное новшество должно быть включено в программу формирования курса математики гармонии.

Литература:

1. Сергиенко П.Я. Триалектика. Новое понимание мира. Пущино – 1995, с. 19-30.
   
2. Математический словарь высшей школы. М., МПИ, 1989.
   
3. Волгин Л.И. Триалектика и комплементарная алгебра. Философские, технические, методические и социальные аспекты преподавательской, научной и производственной деятельности (Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 2). Самара-1997. С.63.
   
4. Платон. Собр. соч. в 4-х т. «Мысль», М., 1994. Т.3. С.457-458.
   
5. Стахов А.П. «Код да Винчи», Платоновы и Архимедовы тела, квазикристаллы, фуллерены, решетки Пенроуза и художественный мир Матюшки Тейи Крашек // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12561, 07.11.2005