Французский математик и астроном Ивон Вилларсо (1813—1883) заметил, что на торе помимо двух стандартных семейств окружностей (рис. 1) существует еще два неожиданных семейства, возникающие при сечении тора дважды касающейся его плоскостью (рис. 2). Теперь такие окружности называются окружностями Вилларсо, о них и пойдет речь в этой статье.

Рис. 1. Окружности на торе

Рис. 2. Окружности Вилларсо

Что такое тор?

Тор — это фигура, похожая на поверхность бублика. С таким определением не очень удобно что-либо доказывать, поэтому дадим строгое определение. Тор — это поверхность, получающаяся при вращении окружности (образующей) относительно прямой (оси) лежащей в плоскости этой окружности (рис. 3). Если образующая окружность пересекает ось или касается её, тор будет иметь точки самопересечения (рис. 4) — кроме случая, когда ось проходит через центр образующей окружности (тогда при вращении получится сфера).

Мы будем изучать только случай, когда образующая окружность не пересекает ось — т. е., когда получается, так сказать, тор с дыркой.

Рис. 3. Тор как поверхность вращения

Рис. 4. Тор с самопересечениями

Назовём окружность, по которой двигается центр образующей окружности, осевой окружностью. Далее мы будем обозначать через R радиус осевой окружности, а через r — радиус образующей.

Тор можно определить как множество точек на фиксированном расстоянии от осевой окружности.

Упражнение 1. Пусть на плоскости лежит тор, у которого радиус образующей окружности равен 1, а радиус осевой окружности равен 4. На тор положили сферу так, что она коснулась плоскости. Чему равен радиус сферы?

Упражнение 2 (спортивный набор). В цилиндрическую коробку положили теннисный мяч, на него — эспандер (резиновое кольцо в виде тора), и сверху — такой же мяч. Все три предмета вплотную прилегают к поверхности коробки и касаются друг друга. Во сколько раз ширина коробки больше толщины эспандера?

Упражнение 3. В торе, сделанном из резины, вырезали маленькую дырочку. Можно ли его вывернуть наизнанку?

Существование окружностей Вилларсо

Если разрезать тор плоскостью а, проходящей через его ось, то мы увидим две окружности радиуса r, центры которых находятся на расстоянии R от оси. К этим двум окружностям можно провести две общие внутренние касательные. Плоскость s проходящая через одну из этих касательных и перпендикулярная а, можно назвать дважды касающейся тора. Оказывается, что плоскость s пересекает тор по двум окружностям (рис. 5). Давайте покажем это.

Обозначим центр осевой окружности через O, а плоскость её содержащую через b. Отметим, что синус угла между плоскостями s и b равен r/R. Обозначим этот угол за α (рис. 6). Через P₁, Q₁, Q₂ и P₂ обозначим точки тора, лежащие на прямой образующейся при пересечении плоскостей s и b. Пусть ω — это окружность, лежащая в плоскости s и построенная на диаметре P₁Q₂, длина этого диаметра равна

OQ₂ + OP₁ = R - r + R + r = 2R.

Нам надо показать, что эта окружность лежит на поверхности тора.

формате PDF (1372Кб)