От редакции АТ

Редакция АТ хотела бы привлечь особое внимание научной общественности к этой статье проф. А.П. Стахова, которая является развитием его предыдущих публикаций в этой области.

Математика гармонии, «золотая» информационная технология, «золотая» научная революция – новые научные понятия, введенные в современную науку проф. А.П.Стаховым. Они касаются глубинных процессов в развитии современной математики, информатики и всей науки в целом, поэтому вряд ли стоит их игнорировать российским научным учреждениям и университетам.

Профессор А.П.Стахов подготовил тезисы лекции «Математика Гармонии, «Золотая» Информационная Технология и «Золотая» Научная Революция», которые прилагаются к этой статье. Эту лекцию он готов прочитать во всех ведущих научных учреждениях и университетах России. Профессор Алексей Петрович Стахов имеет огромный опыт подобных выступлений, начиная с кибернетического и компьютерного обществ Австрии (1976 г.), Дрезденского технического университета (1988 г.), Президиума Академии наук Украины (1989 г.) и заканчивая Московским университетом (2003 г.). Поэтому редакция АТ обращается к высшим научным инстанциям России, в частности, РАН, РАЕН, Министерству науки и образования РФ с предложением рассмотреть возможность организации тура выступлений доктора технических наук, профессора Алексея Петровича Стахова, которому РАЕН присвоила в 2009 г. почетное звание «Рыцарь науки и искусств», с указанной лекцией в ведущих научных институтах и университетах России.

Я живу в Канаде с 2004 г. Мой «канадский» период стал по настоящему «золотым» периодом в моей научной биографии. Мне удалось установить научные контакты с известными американскими учеными, авторами широко известных книг в этой области, и опубликовать около 30 статей в ведущих западных журналах. В 2005 г. по моей инициативе на сайте «Академия Тринитаризма» (Россия) был организован Институт Золотого Сечения, пока единственный в мире институт с таким названием. Под флагом этого института удалось объединить всех фибоначчистов России, Украины, Белоруссии и др. стран, что значительно активизировало исследования в области чисел Фибоначчи и «золотого сечения» в странах СНГ. И я думаю, что на данном этапе славянская «золотая» группа стала бесспорным лидером в мировой науке в этой области. Так случилось, что на всех этапах развития этого направления в СССР и затем после его распада в 1991 г. я стоял в центре научных событий в этой области. По моей инициативе были проведены международные симпозиумы «Золотая Пропорция и Проблемы Гармонии Систем» сначала в Киеве (1992, 1993) и затем – в Ставрополе (1993, 1994, 1995). По моей же инициативе в Виннице в 2003 г. была проведена международная конференция по «золотому сечению» и тогда же был учрежден Международный Клуб Золотого Сечения (я стал его первым президентом), в 2005 г. по моей инициативе создан Институт Золотого Сечения (я являюсь его директором). Я горжусь дружбой с выдающимися славянскими исследователями Эдуардом Сороко (Белоруссия), Олегом Боднаром (Украина), Михаилом Марутаевым, Сергеем Петуховым, Григорием Мартыненко (Россия), а также с зарубежными учеными Яном Грежздельским (Польша), Скоттом Олсеном, Джеем Капраффом (США), Верой Шпинадель (Аргентина), Дарио Саласом Соммэром (Чили) и другими замечательными исследователями.

Главным событием моего «канадского» периода является написание новой книги «The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science”, которую международное издательство “World Scientific” планирует выпустить в свет в октябре 2009 г. Эта довольно объемистая книга (11 глав, 700 страниц), которую я писал на английском языке, является итогом моих 40-летних исследований в этой области. Я горжусь тем, что я – первый украинский ученый, которому удалось опубликоваться в этом знаменитом международном издательстве, в котором не считают зазорным публиковать свои книги Лауреаты Нобелевской Премии.

Я думаю, что публикация моей новой книги закрепит приоритет славянской науки в этом важном направлении. О чем моя книга? Эта книга – о развитии в современной науке «идеи о числовой гармонии мироздания», которая была выдвинута Пифагором и Платоном и затем воплощена в знаменитых «Началах» Евклида. «Идея гармонии» в античной науке всегда связывалась с так называемыми «Платоновыми телами», геометрическая теория которых была изложена Евклидом в заключительной (13-й) книге его «Начал», и знаменитым «золотым сечением», которое было введено Евклидом во 2-й книге «Начал». Свое восхищение «золотым сечением» и «античной космологией» гениальный российский философ Алексей Лосев выразил в следующих словах:

"С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления - Золотого Сечения... Их (древних греков) систему космических пропорций нередко в литературе изображают как курьезный результат безудержной и дикой фантазии. В такого рода объяснениях сквозит антинаучная беспомощность тех, кто это заявляет. Однако понять данный историко-эстетический феномен можно только в связи с целостным пониманием истории, то есть используя диалектико-материалистическое представление о культуре и ища ответа в особенностях античного общественного бытия».

«Идея гармонии», связанная с «золотым сечением», относится к разряду «вечных» проблем науки. Может быть, не все математики согласятся со мной, что эта идея оказала решающее влияние на развитие математики на этапе ее зарождения. Согласно «гипотезе Прокла», главной целью Евклида при написании «Начал» было построение геометрической теории «Платоновых тел», то есть, в «Началах» Евклида была отражена античная «идея гармонии», а сами «Начала» можно рассматривать, как первую попытку создать «Математическую теорию гармонии», основанную на «Платоновых телах» и «золотом сечении». «Гипотеза Прокла» кардинальным образом изменяет историю и цели математики, восходящей к «Началам» Евклида, и самое главное – подход к математическому образованию.

Интерес к «идее гармонии» всегда усиливался в эпохи наивысшего расцвета человеческой культуры. В эпоху Возрождения под влиянием Леонардо да Винчи выдающийся итальянский математик и монах Лука Пачоли публикует книгу «Божественная пропорция», первую книгу по «золотому сечению». С «золотым сечением» тесно связаны так называемые «числа Фибоначчи», открытые в 13 в. итальянским математиком Фибоначчи. Возрождение «идеи гармонии», которая выражается в повышении интереса к «Платоновым телам», «золотому сечению» и числам Фибоначчи, является одной из важнейших тенденций в развитии современной науки. «Математика Гармонии» является отражением этой важной тенденции в современной математике.

Я благодарен судьбе, которая вывела меня на научное направление, которым увлекались Пифагор, Платон, Евклид, Леонардо да Винчи, Лука Пачоли, Иоганн Кеплер, а в 19-м и 20-м столетиях Бине, Люка, Цейзинг, Феликс Клейн, Гика, Гримм, Воробьев, Хоггатт, Алексей Лосев, Павел Флоренский и многие другие выдающиеся ученые.

В каком же направлении должна развиваться «Математика Гармонии»? Я бы назвал 2 основные направления. Это, во-первых, – использование «Математики Гармонии» для создания новой информационной технологии – «Золотой» Информационной Технологии - и, во-вторых, для реализации программы «Золотой» Научной Революции.

Начнем с «Золотой» Информационной Технологии. В своей статье «Десять прорывных технологий 21-го века и «золотая» информационная технология», Академия Тринитаризма, http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/012a/02322041.htm, я написал следующее: «Человечество становится заложником современной компьютерной технологии, основанной на «Неймановских принципах». «Неймановские компьютеры», использующие двоичную систему, являются принципиально ненадежными и не могут эффективно использоваться во многих важных приложениях, в частности, для управления сложными технологическими объектами, где проблема надежности компьютеров выступает на передний план.

Мне не совсем понятно, почему этот, казалось бы, очевидный вывод до сих пор не стал предметом серьезного обсуждения всех компьютерных специалистов, которые, по-видимому, давно должны были бы забить тревогу по поводу «ловушки», в которую попали современные компьютерные технологии, встав на рельсы «неймановских принципов». Суть моих предложений чрезвычайно проста: информационные технологии будущего должны создаваться не на основе классической двоичной арифметики, которая лежит в основе «Неймановских принципов», а на основе «золотой» двоичной арифметики, которая позволяет обнаруживать ошибки в процессорах и компьютерах в момент их возникновения и не допускать выполнения «ложных команд». И та страна, которая первой перейдет на «золотую» двоичную арифметику, а также на разработанную мною «золотую» троичную арифметику (по поводу которой мне прислал восторженное письмо выдающийся американский ученый Дональд Кнут), получит серьезные технологические преимущества. Хотелось бы надеяться, что такой страной станет Россия, которая является правопреемницей 65 патентов в этой области, полученных в советское время.

Теперь несколько слов о «Золотой» Научной Революции. Количество современных научных открытий, основанных на «Платоновых телах», «золотом сечении» и числах Фибоначчи и полученных в различных областях теоретического естествознания, как говорится, уже «зашкаливает». Приведу только некоторые примеры: квазикристаллы Дана Шехтмана, фуллерены (Нобелевская Премия по химии-1996), «плитки Пенроуза», элементарные частицы и Платоновы тела, «золотые» резонансы Солнечной системы (Бутусов), «золотая пропорция» и сердечная деятельность млекопитающих (Цветков), фибоначчиевые резонансы генетического кода, «золотые геноматрицы» Сергея Петухова, новая геометрическая теория филлотаксиса (Олег Боднар), «закон структурной гармонии систем» Эдуарда Сороко, фибоначчиева интерпретация Периодической Системы Менделева (Шило и Дринков), решение 4-й проблемы Гильберта (Стахов, Арансон), «золотая» интерпретация специальной теории относительности (Стахов, Арансон) и т.д. Какие еще нужны доказательства того факта, что современная наука вступает в новый этап своего развития, который я назвал «Золотой» Научной Революцией. Я готов прочитать лекцию «Математика Гармонии, «Золотая» Информационная Технология и «Золотая» Научная Революция» в российских научных учреждениях и университетах, в частности, в РАН, РАЕН, МГУ и т.д. (тезисы такой лекции я прилагаю к этой статье). Хорошо известно, что очень часто новые научные идеи возникают не там, где их ожидают. И эти идеи необходимо подхватывать и использовать для создания новых технологий, как это сделали японцы, сделав «технологический прорыв» на основе зарубежных патентов. Но надо поторопиться. Дело в том, что после публикации моей книги, концепция и идеи «Золотой» Информационной Технологии станут достоянием всего мирового научного сообщества. И есть высокая вероятность того, что эти идеи будут подхвачены западной информационной технологией.

Еще одно направление «Золотой» Научной Революции - это внедрение идей Гармонии и «золотого сечения» в современное образование. Выдающийся украинский математик академик Юрий Митропольский в своей статье «Математика Гармонии» профессора Стахова» (http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/012a/02322020.htm) написал следующее:

«Своими новейшими публикациями проф. Стахов по существу завершил цикл многолетних исследований по созданию нового направления в математике – Математики Гармонии. Возникает вопрос, какое место в общей теории математики занимает созданная Стаховым Математика Гармонии? Мне представляется, что в последние столетия, как выразился когда-то Н.И. Лобачевский, «математики все свое внимание обратили на высшие части Аналитики, пренебрегая началами и не желая трудиться над обрабатыванием такого поля, которое они уже раз перешли и оставили за собою». В результате между «элементарной математикой», лежащей в основе современного математического образования, и «высшей математикой» образовался разрыв. И этот разрыв, как мне кажется, и заполняет «Математика Гармонии», разработанная А.П. Стаховым. То есть «Математика Гармонии» — это большой теоретический вклад в развитие, прежде всего, «элементарной математики», создание которой началось в Древней Греции, и отсюда вытекает важное значение «Математики Гармонии» для математического образования».

Таким образом, академик Митропольский обращает особое внимание на использование «Математики Гармонии» в современной математическом образовании. По моему мнению, «Платоновы тела», «золотое сечение» и числа Фибоначчи должны стать такими же важными элементами математического образования как «Теорема Пифагора» и «аксиомы Евклида». И в этом состоит суть моего предложения по реформе математического образования, основанного на идеях Гармонии и Золотого Сечения. Необходимо возвратиться к «Началам» Евклида, пересмотреть их с точки зрения «гипотезы Прокла» и начать развивать новую математику и новое математическое образование, основанные на таких представлениях. При этом в качестве основы математического образования мы должны использовать не только «аксиомы Евклида» и «Теорему Пифагора», но и всю «гармоничную математику», изложенную в «Началах» Евклида, в частности, «золотое сечение» и «Платоновы тела». Введение идей Гармонии и Золотого Сечения в математическое преобразование значительно повышает интерес учащихся к изучению математики, которое превращается в интереснейший поиск математических закономерностей природы и искусства, основанных на золотом сечении и числах Фибоначчи (пентагональная симметрия, «золотые» спирали, «золотые» треугольники и прямоугольники, «золотые» пропорции человеческого тела, пирамида Хеопса, египетский календарь, Парфенон, Венера Милосская, Аполлон Бельведерский, картины Шишкина и Васильева, современное прикладное и абстрактное искусство, основанное на золотом сечении и т.д.) И я рад, что все большее количество преподавателей в школах, колледжах и университетах разных стран мира приходят к этой идее, используя при этом мой Музей Гармонии и Золотого Сечения http://www.goldenmuseum.com/. В 2000/2001 учебном году я прочитал специальный курс лекций «Золотое Сечение и Математика Гармонии» для студентов физико-математического факультета Винницкого государственного университета. И я готов прочитать теперь уже обновленный курс «Математика Гармонии и «Золотая» Научная Революция» для студентов и аспирантов российских университетов, если мне позволит здоровье.

Свою статью я хотел бы закончить знаменитым высказыванием Иоганна Кеплера:

«В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».

Напомню, что старинная задача о делении отрезка в крайнем и среднем отношении, о которой упоминается в этом высказывании, – это и есть золотое сечение!

Многие математики высказывают мнение, что сравнение Кеплером «Золотого Сечения» с «Теоремой Пифагора» - величайшей геометрической теоремой – является слишком большим преувеличением для «Золотого Сечения». Я хотел бы напомнить, что Кеплер был не только гениальным астрономом, но и гениальным математиком (в отличие от тех математиков, которые его критикуют). В отличие от современных математиков, которые, возможно, и не слышали о «гипотезе Прокла» и «икосаэдрической идее» Феликса Клейна, Кеплер был последовательным проводником идей Платона и Евклида и использовал их в своих книгах. И его высказывание нельзя воспринимать иначе, как пророческое высказывание, имеющее большое значение для всей математики и математического образования.

Тезисы доклада

Кризис в математике и «стратегические ошибки» в ее развитии

Основной тезис: Современная математика находится в состоянии глубокого кризиса, который возник в математике в начале 20-го века после обнаружении противоречий в «теории бесконечных множеств Кантора». Основные причины этого кризиса проанализированы в книге американского математика Мориса Клайна «Математика. Утрата определенности» [1]. В процессе развития математики было допущено ряд «стратегических ошибок» [2]. Главные из них: разрыв математики с теоретическим естествознанием, пренебрежение «началами», игнорирование «гипотезы Прокла», недооценка «золотого сечения», некритический подход к «теории бесконечных множеств Кантора». Современная математика отличается большой «фрагментарностью», то есть, представляет собой набор математических теорий, не связанных общей целью. Разрешение этого кризиса возможно только путем анализа истоков математики, в частности, новым прочтением «Начал» Евклида.

Гипотеза Прокла [3]. Согласно «гипотезе Прокла» Евклид создавал свои «Начала» не с целью изложения «аксиоматического подхода» и основных достижений греческой математики, а с целью построения завершенной геометрической теории «Платоновых тел» (тетраэдра, гексаэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра), которые выражали в «космологии Платона» гармонию Мироздания и его «основные элементы» (вода, огонь, земля, воздух). То есть, «Начала» Евклида отражали главную идею античной математики – идею Гармонии, а сами «Начала» можно рассматривать как первую попытку создания «Математической теории Гармонии», основанной на «Платоновых телах». Для того, чтобы построить геометрическую теорию додекаэдра, Евклид в Книге II ввел задачу о «делении отрезка в крайнем и среднем отношении» (о «золотом сечении»).

Иоганн Кеплер и Феликс Клейн. В 17 в. идеи Евклида были развиты в работах Иоганна Кеплера, который, используя «Платоновы тела», создал «Космический кубок» - оригинальную геометрическую модель Солнечной системы, а в 19 в. – в работах Феликса Клейна, который выдвинул идею о том, что «Икосаэдр», основанный на «золотом сечении», является «главным геометрическим объектом математики», на основе которого можно объединить все основные разделы математики.

«Классическая Математика» и «Математика Гармонии». Таким образом, начиная с Евклида, в математике начали развиваться два направления: «Классическая Математика», основанная на аксиомах Евклида, и «Математика Гармонии», основанная на «золотом сечении» и «Платоновых телах». Современная «Математика Гармонии» [5], которая является продолжением и развитием «теории чисел Фибоначчи», является отражением в современной науке важнейшей тенденции ее развития – возрождение пифагорейской доктрины о числовой гармонии Мироздания. Это подтверждается современными научными открытиями в области естествознания (квазикристаллы, фуллерены, новая геометрическая теория филлотаксиса, «золотые» геноматрицыи др.)

«Стратегические ошибки» в развитии математики. В процессе развития математики было сделано ряд «стратегических ошибок», важнейшими из них являются [4, 5]: разрыв с теоретическим естествознанием, «пренебрежение началами», игнорирование «гипотезы Прокла», недооценка «золотого сечения», некритический анализ «теории бесконечных множеств Кантора», игнорирование «икосаэдрической» идеи Феликса Клейна и др., что в конечном итоге, привело к кризису в современной математике. Преодоление этих «стратегических ошибок» и восстановление тесных связей с теоретическим естествознанием, которое всегда было основным источником математических идей и теорий, и есть главное направление в преодолении кризиса в современной математике.

Математика Гармонии – новое междисциплинарное направление современной науки

1. Цель «Математики Гармонии» – изучение и обобщение рекуррентных соотношений и математических констант, выражающих «гармонические процессы и явления», и их приложений в Природе, Науке и Искусстве.

2. «Математика Гармонии» [5] включает в себя три математических теории:

- теорию золотого сечения и чисел Фибоначчи, введенных итальянским математиком Фибоначчи в 13 в.; основы этой теории описаны в работах [8, 9];

- теорию р-чисел Фибоначчи и «золотого р-сечения» (р=0, 1, 2, 3, ...), которые вытекают из «алгоритмической теории измерения» [8] и отражают новые математические свойства «треугольника Паскаля»;

- теорию λ-чисел Фибоначчи и «металлических пропорций» [11-13], которые являются обобщением «золотой пропорции»

3. «Теория золотого сечения и чисел Фибоначчи» [8, 9] включает в себя замечательные математические и геометрические свойства «золотого сечения» и математические тождества для чисел Фибоначчи (числа Люка, формулу Кеплера, формулу Кассини, формулы Бине и др.), а также новые математические результаты: гиперболических функции Фибоначчи и Люка, Q-матрицу Фибоначчи и др. Создание теории гиперболических функции Фибоначчи и Люка, основанных на формулах Бине [14-16], является важным современным математическим результатом этой теории, а создание новой геометрической теории филлотаксиса, основанной на этих функциях, является основным прикладным результатом в этой области (Олег Боднар [17]). “Геометрия Боднара» [17] показывает, что гиперболические функции Фибоначчи и связанные с ними «золотое сечение» и числа Фибоначчи являются «естественными» соотношениями Природы, которые существуют независимо от нашего сознания и нашего существования, откуда вытекает, что «Теория золотого сечения и чисел Фибоначчи», согласно Фурье, относится к разряду фундаментальных теорий современной науки.

4.Теория р-чисел Фибоначчи и «золотого р-сечения», возникшая в последние десятилетия из алгоритмической теории измерения [10], включает в себя новые математические тождества для р-чисел Фибоначчи и золотой р-пропорции, выражающих новые свойства nреугольника Паскаля, обобщение формул Бине, рекуррентное соотношение для р-чисел Люка, теорию Q_p-матриц Фибоначчи и др. Важным прикладным открытием данной теории является «Закон структурной гармонии систем», сформулированный Эдуардом Сороко [18]. Этот закон значительно расширяет количество «гармонических пропорций» Природы и утверждает, что именно «золотые р-пропорции» являются этими «гармоническими пропорциями».

5. Теория λ-чисел Фибоначчи и «металлических пропорций» [11-13] вводит в современную науку новые рекуррентные числовые последовательности и новый класс математических констант, названных «металлическими пропорциями» [11]. Основным математическим результатом является создание общей теории гиперболических функций [19], названной «золотой» фибоначчиевой гониометрией [20, 21]. Эта новая гониометрия приводит к решению 4-й Проблемы Гильберта [20, 21], что является фундаментальным результатом современной математики.

«Золотая» Информационная Технология

1. Под «Золотой» Информационной Технологией понимается комплекс технических решений, основанных на «золотой» арифметике («золотые» процессоры и компьютеры), «золотых» кодах и алгоритмах («золотые» аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи), новой теории корректирующих кодов, основанной на матрицах Фибоначчи, и новом методе криптографии – матричной криптографии.

2. «Золотая» арифметика основана на двух позиционных представлениях – коде Фибоначчи [10] и «золотом» коде [23]. Она сводится к выполнению четырех «базовых микроопераций», которые контролируются с помощью специальной схемы контроля, что позволяет обнаружить ошибки в момент их возникновении. На основе такого подхода в 1989 г. был спроектирован «золотой» микропроцессор. Разработка финансировалась Министерством общего машиностроения, и на ее основе планировалось создание специального бортового помехоустойчивого процессора.

3. «Золотой» код [23] представляет собой двоичное (0 или 1) позиционное представление чисел, основанием которого является «золотая пропорция». Такое основание приводит к «многозначности» кодового представления одного и того же числа. Это позволяет создавать самоконтролирующиеся и самокорректирующиеся аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи. Спроектированный на этой основе «золотой» 18-разрядный АЦП в течение 80-х годов 20-го столетия считался лучшим советским АЦП для сигналов звукового диапазона.

4. Новая теория корректирующих кодов [24] основана на матричном умножении исходного сообщения, представленного в виде квадратной матрицы, на специальную кодирующую матрицу – матрицу Фибоначчи. Уникальные математические свойства матрицы Фибоначчи позволили резко (в миллионы раз) повысить корректирующую способность кода по сравнению с известными корректирующими кодами.

5. Новый метод криптографии («матричная криптография») основан на умножении исходного сообщении, представленного в матричной форме, на специальную («неособенную») матрицу. В сочетании с «гибридной криптографией» метод позволяет повысить скорость шифрации-дешифрации, что позволяет применять метод для криптографической защиты сигналов в реальном режиме времени.

1.Квазикристаллы Шехтмана [25]

2.Плитки Пенроуза

3.Фуллерены (Нобелевская Премия по химии-1996) [26]

4.Платоновы тела и элементарные частицы [27]

5.Закон структурной гармонии систем Эдуарда Сороко [18]

6.Закон преобразования спиральных биосимметрий Олега Боднара [17]

7.Резонансная теория Солнечной системы Константина Бутусова [28]

8.Сердце и Золотое Сечение [29, 30]

9.Ритмы мозга и Золотое Сечение [31]

10.Волны Элиота [32] и гармоничный менеджмент [33-34]

11.Фибоначчиево деление биологических клеток [35]

12.Фибоначчиевы резонансы генетического кода

13.«Золотые» геноматрицы Сергея Петухова [36]

14.Фибоначчиева интерпретация Периодической Системы Менделеева [37]

15.Золотая» интерпретация специальной теории относительности Эйнштейна и «золотая» эволюция Вселенной [20, 21].

16.Золотое сечение и метаязык живой природы [38]

17.«Золотая» фибоначчиева гониометрии и решение 4-й Проблемы Гильберта [20, 21]

18.«Золотая» Информационная Технология [39, 40].

19.Реформа математического образования, основанная на «Математике Гармонии»

20.Музей Гармонии и Золотого Сечения [41]

Литература:

1.М. Клайн. Математика. Утрата определенности (пер. с англ.). Москва: Мир, 1984.

2.А.П. Стахов, «Стратегические ошибки» в развитии математики // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14555, 27.08.2007 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321070.htm

3.А.П. Стахов, Гипотеза Прокла: новый взгляд на "Начала" Евклида и Математика Гармонии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15195, 28.03.2009 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/012a/02322026.htm

4.А.П. Стахов. Три «ключевые» проблемы математики на этапе ее зарождения и «Математика Гармонии» как альтернативное направление в развитии математической науки. Totalogy-XXI. Постекласичні дослідженняю № 1718. – Київ. ЦГО НАН України. – 2007. - c. 274-323.

5.A.P. Stakhov. The Mathematics of Harmony: Clarifying the Origins and Development of Mathematics. Congressus Numerantium (USA, Canada). – 193 (2008), pp. 5-48.

6.A.P. Stakhov. The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. New Jersey, London, Singapore, Beijing, Shanghai, Hong Kong, Taipei, Chennai: World Scientific, 2009.

7.Ю.А. Митропольский, «Математика Гармонии» профессора Стахова. Totalogy-XXI. Постекласичні дослідженняю № 1718. – Київ. ЦГО НАН України. – 2007. - c. 323 - 336 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/012a/02322020.htm

8.Н.Н. Воробьев Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1978.

9.Verner Hoggat. Fibonacci and Lucas Numbers. - Boston, MA: Houghton Mifflin, 1969.

10.А.П. Стахов. Введение в алгоритмическую теорию измерения. Москва: Советское Радио, 1977.

11.Vera W. de Spinadel. From the Golden Mean to Chaos. Nueva Libreria, 1998 (second edition, Nobuko, 2004).

12.Midhat Gazale. Gnomon. From Pharaohs to Fractals. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1999 (русский перевод, 2002 г.)

13.Jay Kappraff. Beyond Measure. A Guided Tour through Nature, Myth, and Number. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific, 2002.

14.А.П. Стахов, И.С.Ткаченко. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. Доклады Академии наук УССР, том 208, № 7, 1993 г.

15.A. Stakhov, B. Rozin. On a new class of hyperbolic function. Chaos, Solitons & Fractals 2004, 23(2): 379-389.

16.A. Stakhov B. Rozin. The Golden Section, Fibonacci series and new hyperbolic models of Nature. Visual Mathematics, Volume 8, No. 3, 2006 (http://members.tripod.com/vismath/pap.htm)

17.О.Я. Боднар. Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусcтве. Львов: Свит, 1994.

18.Э.М. Сороко. «Структурная гармония систем». Минск: Наука и техника, 1984.

19.А.П. Стахов. Формулы Газале, новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка и усовершенствованный метод «золотой» криптографии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14098, 21.12.2006 (http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321063.htm)

20.А.П. Стахов, С.Х. Арансон. Золотая фибоначчиевая гониометрия, преобразования Фибоначчи-Лоренца и четвертая проблема Гильберта // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14816, 04.06.2008 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321087.htm

21.A. Stakhov, S. Aranson. “Golden” Fibonacci Goniometry, Fibonacci-Lorentz Transformations, and Hilbert’s Fourth Problem. Congressus Numerantium, 193 (2006), pp.119-156

22.А.П. Стахов. «Золотая» арифметика как основа информационных технологий 21-го века и важный прикладной результат «современной теории чисел Фибоначчи» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15352, 19.06.2009 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321122.htm

23.А.П. Стахов. Коды золотой пропорции. Москва, Радио и связь, 1984 г.

24.A.P. Stakhov. Fibonacci matrices, a generalization of the “Cassini formula”, and a new coding theory. Chaos, Solitons & Fractals, 2006, Volume 30, Issue 1, 56-66.

25.Д. Гратиа. Квазикристаллы. Успехи физических наук, 1988, том 156, вып. 2, с. 347-363

26.А.В. Елецкий, Б.М. Смирнов. Фуллерены. Успехи физических наук, 1993, том 163, №2.

27.Л.И. Верховский. Платоновы тела и элементарные частицы. Химия и жизнь, 2006, №6.

28.К.П. Бутусов. Золотое сечение в Солнечной системе. – Астрономия и небесная механика. Серия «Проблемы исследования Вселенной», 1978, вып. 7. – 475-500.

29.В.Д. Цветков. Гармония сердца и золотое сечение. В кн.: Проблемы гармонii, симетрii i золотого перетину в природе, науцi та пристецтвi. Винница, 2003, с. 169-175.

30.В.Д. Цветков. Золотая гармония и сердце. Пущино: Фотон-век, 2008 г.

31.А. Соколов. Тайны «золотого» сечения. Техника – молодежи, 1978, №5.

32.Robert Prechter. The Wave Principle of Human Social Behavior and the New Science of Socionomics. Gainseville, Georgia: New Classics Library, 1999.

33.А.И. Иванус. Код да Винчи в бизнесе или гармоничный менеджмент по Фибоначчи. — М., Комкнига, 2006.

34.А.И. Иванус. О ключевой роли Золотого Сечения в концепции общества, основанного на знаниях // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13854, 05.10.2006 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321036.htm

35.C.P. Spears, M. Bicknell-Johnson. Asymmetric cell division: binomial identities for age analysis of mortal vs. immortal trees, Applications of Fibonacci Numbers, Vol. 7, 1998, 377-391.

36.С.В. Петухов. Метафизические аспекты матричного анализа генетического кодирования и золотое сечение. Метафизика. Москва, Бином, 2006. — 216-250

37.Н.А. Шило, А.В. Динков. Фенотипическая система атомов в развитие идей Д.И.Менделеева // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14630, 09.11.2007 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321073.htm

38.И. Шевелев Метаязык живой природы. М.: Воскресенье, 2000 г.

39.А.П. Стахов, Тьюринг, филлотаксис, математика гармонии и «золотая» информационная технология. Часть 1. Математика Гармонии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14876, 16.09.2008

40.А.П. Стахов, Тьюринг, филлотаксис, математика гармонии и «золотая» информационная технология. Часть 2. «Золотая» Информационная Технология // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14878, 19.09.2008

41.А.П. Стахов, А.А. Слученкова. Музей Гармонии и Золотого Сечения http://www.goldenmuseum.com/

Алексей Стахов в 1961 г. закончил с отличием радиотехнический факультет Харьковского авиационного института. С 1961 по 1963 гг. работал инженером в Харьковском Конструкторском Бюро Электроприборостроения (сейчас – НПО «Хартрон»), где получил хорошую инженерную практику. В 1966 г. защитил кандидатскую диссертацию в Харьковском институте радиоэлектронике, а 1972 г. – докторскую диссертацию в Киевском институте инженеров гражданской авиации. С 1971 по 1977 работал зав. кафедрой информационно-измерительной техники Таганрогского радиотехнического института, а с 1977 по 1995 – зав. кафедрами Винницкого политехнического института, с 1997 по 2004 – зав. кафедрой информатики Винницкого аграрного университета. Работал визитинг-профессором многих университетов мира (Венский технический университет, Австрия, 1976; Университет Йена, ГДР, 1986; Дрезденский технический университет, ГДР, 1988; Университет Аль Фатех, Ливия, 1995-1997; Университет Эдуардо Мондлано, Мозамбик, 1998-2000). С 2004 г. живет в Канаде.

Опубликовал свыше 500 научных работ, среди них – 65 патентов США, Японии, Англии, Франции, ФРГ, Канады и др. стран и 130 авторских свидетельств СССР, 15 книг, 30 статей в известных западных журналах (The Computer Journal, Chaos, Solitons and Fractals, Visual Mathematics, Congressus Numerantium).

C 2003 г. является Президентом Международного Клуба Золотого Сечения, а с 2005 г. – Директором Института Золотого Сечения Академии Тринитаризма (Россия). В 2004 г. избран Почетным Профессором Таганрогского радиотехнического университета. В 2009 г. в связи с 70-летием и в знак признания заслуг и научных открытий Российская Академия Естественных Наук присвоила проф. Стахову Почетное звание «Рыцарь науки и искусств».

Проф. Стахов является создателем “Математики Гармонии» - нового междисциплинарного направления современной науки. Международное издательство “World Scientific” планирует в октябре 2009 г. опубликовать его книгу “The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science” – итог 40-летней научной работы в этой области.

Владеет русским, украинским, английским и немецким языками.